I - Démonstration : Loi de composition des vitesses PDF

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I - Démonstration : Loi de composition des vitesses...

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0.1

Loi de composition des vitesses  

   

ℜ

et 

indique le r´ef´erentiel dans lequel les coordonn´ees sont exprim´ees. x, y, z et x′ , y ′ , z ′

ℜ′

d´esigne les coordonn´ees correspondant a` ℜ et ℜ′ , respectivement.    OM(t) ℜ  ′ OO (t) ℜ  ′  O M(t)

ℜ

   =xM (t)i(t) ℜ  =xO′ (t)i(t) ℜ   ′ ′  =xM (t)i (t)

ℜ

      + yM (t)j(t) + zM (t)k(t) ℜ ℜ   + yO′ (t)j(t) + zO′ (t)k(t) ℜ ℜ     ′ ′ ′ ′  + y M (t)j (t) + zM (t)k (t) ℜ

ℜ

La d´eriv´ee temporelle des vecteurs unitaires dans leur propre r´ef´erentiel est nulle par d´efinition : dj(t)  dz(t)  di′ (t)  dj′ (t)  dz′ (t)  di(t)  = = = = = =0 dt ℜ dt ℜ dt ℜ dt ℜ′ dt ℜ′ dt ℜ′ 





mais :







di′ (t)  dj′ (t)  dz′ (t)  6 0 = = 6 0, = 6 0, dt ℜ dt ℜ dt ℜ On peut exprimer la vitesse comme la d´eriv´ee du vecteur position, ce qui donne, apr`es utilisation de la relation de Chasles : 





dOM  dOO′  dO′ M  = + dt ℜ dt ℜ dt ℜ 





La loi de composition des diff´erentielles donne par la suite :  di dj  dk  dxO′  dyO′  dzO′  d i + j + k +  xO′ +  yO′ +  zO′ = vO′ /ℜ OO′ (t) = dt ℜ dt ℜ dt ℜ dt ℜ dt ℜ dt ℜ dt ℜ        ′  ′ ′ ′  ′  dO′ M  dj dx′M ′  dyM dz di dk′  ′ M ′ ′ ′    i + j + k + = x +  yM + z dt ℜ dt ℜ dt ℜ M dt ℜ dt ℜ dt ℜ dt ℜ M 



Or,

di′ dt



′









= ω ∧ i′ , dj = ω ∧ j′ , dk = ω ∧ k′ , donc : dt dt ′

  dO′ M ′    = vM/ℜ′ + ω ∧ O M(t)  dt ℜ ℜ ℜ 

Donc :





    dOM  ′      = va = vO′ /ℜ  + vM/ℜ′  + ω ∧ O M(t)  dt ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ 









soit :   va

ℜ

=

  vr 

ℜ

  + ve 

ℜ

avec :      – va  , la vitesse absolue ou vitesse du point M dans ℜ : va = vM/ℜ ℜ

ℜ

ℜ

– –

  vr  , ℜ  ve  ,

′

la vitesse relative ou vitesse du point M dans ℜ :

  vr

=

  vM/ℜ′ 

ℜ

ℜ ′

la vitesse d’entraˆınement qui d´ecrit le mouvement de ℜ par rapport a` ℜ :

ℜ

  vO′ /ℜ 

ℜ

+ω

  ve

ℜ

  ′  ∧ O M(t)

ℜ

Page 2

=...