II. Partie 2 jeux sous forme extensive en information imparfaite PDF

Preview

Summary

Cours...

Description

Partie 2: jeux sous forme extensive en information imparfaite (JEIP) Intro de partie Un jeu sous forme extensive en information imparfaite est la description complète de la structure séquentielle des décisions des joueurs placés en situation stratégique. Dans un JEIP, les joueurs peuvent formuler différents plans d’action dans le temps suivant les étapes du jeu. Pour cela, il faut modifier les primitives du jeu pour que les joueurs puissent reconsidérer leurs choix d’action(s) au jeu et à mesure que le jeu se déroule.

I. Chapitre 4: JEIP A. Intro Dans ce cadre, le concepte d’équilibre de Nash est insatisfaisant si on ignore la structure séquentielle des décisions. C’est pourquoi il faudra définir un concept alternatif dit d’Équilibre Parfait en Sous-Jeux EPSJ

B. Définition d’un JEIP par Selten (1975) Définition: Un JEIP consiste en: - N={1,...,n} est un ensemble de joueurs Ou bien N=[n,nbarre] - Un ensemble de séquence H vérifiant - Ø∈H → la séquence vide fait partie de l’ensemble des histoires. Ø s’appelle histoire initiale. - si (ak )k=1,...K ∈ H (y compris K → infini) k et L= H est l’ensemble des histoires P(h)=1 si h impair 2 si pair ≳i → Z Les joueurs sont sensibles à 3pts 1- Le fait qu’un accord soit conclu 2- le temps mis pour y parvenir 3- contenu de l’accord Une solution est un couple (xi,t)xi∈X t∈T L’ensemble des H et de différents types possibles Scénario I: Ø(x0 ,R);(x’,R)..(xt, A xt+1  ou R) 0 t t+1 II. (x ,R);(x’,R)...(x ,R)x A III. xinfini  A 0 (x ,A) La relation ≳i est définie sur (X X T)U{D} Hypothèses H1 Aucun accord n’est pire qu’un désaccord (x,t)≳i D ∀i∈N ∀x∈X, t∈T

H2 Le temps a de la valeur (x,t)≳i(x,t+1) ∀∈N ∀t∈T ∀x∈X H3 Les préférences sont stationnaires (x,0)≳iD

H4 les préférences sont continues si xn ∈ X ∀n∈|N, xn → x∈X si yn∈ X yn → y∈X (xn,t)≳i(yn,s) ∀n ⇒ (x,t)≳i(y,s) Si H1 H2 H3 H4 alors il existe δ∈[0,1]

il existe ui continue

Ainsi, (x,t)≳i(y,s) ⇔ δtui(x)≳δsui(y) Remarque: Attention, εt ui(x) représente les mêmes préférences que δt ui(x) donc si ε>δ on ne peut PAS conclure que l’un des joueurs soit plus impatient que l’autre. Remarque: Si est un JEIP alors on définit le jeu associé avec les offres alternatives On remarque que H n’est pas nécessaire car il n’est pas tenu compte des offres passées. Exemple: couper le gâteau X=ensemble des accords possibles ⇔ ensemble des partages possibles du gâteau On peut définir X comme suit

Les relations de préférences sont parfaitement définies car chaque joueur préfère plus que moi. {X x T} U {D} (x,t)≳(y,t) ⇔

xi≳iyi i=1,2 (x1,1-x1)≳(y,1-y1) (x1,x2)≳(y1,y2)

D1~((0,1);0) et D2~((1,0);0) Les préférences peuvent être représentées par :

Wi =

X x T → |R (x,t) → δtwi(x) ∀δ∈[0,1] wi(0)=0

L’ensemble des équilibres de Nash est très grand ∀x*∈X; il existe un équilibre de Nash acceptable 1 a une stratégie d’équilibre xØ* joué à h=Ø Si 2 accepte → Fin Si 2 refuse et propose x1* et 1 accepte → fin Si la négociation n’aboutit JAMAIS, chacun a 0. Rien n’empêche d’exclure les menaces non crédibles

3. Équilibre parfait en sous jeux (EPSJ)

a) Caractérisation Pour qu’un jeu possède un UNIQUE équilibre de Nash, il faut 4 hypothèses: H1: Aucun accord n’est pire qu’un désaccord et on n’a jamais (x,y) tq (x,0)~(y,0) càd que 2 accords différents ne peuvent pas rendre indifférent un des joueurs On préfère continuer H2: (bi;1)~j (bi;0)~jD i=1,2 ji bi est la meilleure réponse de i H3: La frontière de Pareto de x est strictement monotone. Si x est un accord efficient, alors on ne peut pas trouver de y tq (y,0)≳i(x,0), i=1,2 H4: Il existe un unique couple (x*,y*) tq (x*,1)~(y*,0) et (y*,1)~(x*,0) avec (x*,y*) efficient y*=u-1[1/δ u(x*)] Lorsque ces hypothèses sont vraies, attendre est coûteux et de plus en plus avec le temps. La perte est croissante dans le temps. Si la frontière de Pareto est l’ensemble des accords,

{x∈|R² ; x2g(x1)} avec g concave décroissante et les relations de préférences sont définies par δt xi δ∈[0,1] alors on a la proposition suivante: Proposition: Soit (X,≳i) un jeu de Marchandage avec offres alternatives. Si ce jeu vérifie les quatre hypothèses alors il possède un équilibre parfait en sous jeux. Soit (x*,y*) l’unique paire d'accords efficients tels que (x*,1)~(y*,0) (y*,1)~(x*,0)

Dans chaque EPSJ, J1 propose toujours x*, accepte y* et n’importe x∈X tq (x,0)≳(y,0) Il rejette x tq (y*,0)≳i (x,0) J2 propose toujours y*, accepte x* et n’importe quel x tq (x,0) >2 (x*,0) et (x*,0) >2 (x,0) y* >2 x >2 x*

b) Propriétés de l’équilibre 1. Efficience: Sous H1 H2 H3 H4 l’équilibre est atteint à Ø3 2. Stationnarité des stratégies 1 propose toujours x* et 2 propose toujours y* 3. Le premier joueur a un avantage Proposition: Soient 2 jeux de marchandage avec offres alternatives , Chaque jeu satisfait H1 H2 H3 H4 Si ≳’i=1 traduit une impatience au moins aussi grande que ≳i=1 et ≳’i=2 = ≳i=2 Si x* représente un EPSJ, de (X,≳i) et x’ est l’accord atteint dans alors (x*,0)≳1(x’,0)

4. Variations et extensions a) Importance de la procédure Supposons qu’en h=Ø le 1er joueur fait toutes les offres possible et laisse choisir le joueur 2. Dans ce cas, n’importe quelle offre du joueur 2 est un équilibre de Nash, et il est unique. En effet, il correspond à b1 . Mais tous les joueurs ne sont pas traités symétriquement.

b) Plus que 2 joueurs Soient un jeu de marchandage avec offre alternative

i=1,2,3

X=(x1,x2x3)∈X3 tq

x3=1-x1-x2 δt ui(xi)

xi>= 0 xi...