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Leyes de Kirchhoff Objetivos:  Verificar el cumplimiento de las Leyes de Kirchhoff mediante mediciones de diferencias de potencial y/o intensidades de corriente en circuitos eléctricos. SUSTENTACIÓN TEÓRICA • Nodos, ramas y lazos. Una rama en un circuito eléctrico representa cualquier elemento que tenga dos terminales, por ejemplo, un resistor o una fuente de voltaje. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas, es decir, entre dos o más elementos. Usualmente suele indicarse como un punto en un circuito. Existen nodos principales y secundarios: los principales son los que conectan tres o más ramas, mientras que el nodo secundario conecta solamente dos ramas. Un lazo es cualquier trayectoria cerrada en el circuito, inicia en un nodo y pasa por un conjunto de nodos hasta retornar a la inicial, sin pasar más de una vez por ningún nodo. Una mala principal es la que no contiene un lazo en un interior.

Figura 1. Elementos, nodos y lazos en un circuito.

• Leyes de Kirchhoff Existen dos leyes de Kirchhoff, conocidas formalmente como ley de la corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de tensión de Kirchhoff (LTK). Ley de corriente de Kirchhoff (LCK) Establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a un nudo es igual a cero. Matemáticamente, N

∑ in=0 n=1

También se puede interpretar que la suma de las corrientes que ingresa a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo. Ley de tensión de Kirchhoff (LTK) Se basa en el principio de conservación de energía. Establece que la suma algebraica todos los voltajes o tensiones alrededor de una trayectoria cerrada en el circuito es igual a cero. Matemáticamente, N

v n=0 ∑ n=1 A la segunda ley de Kirchhoff se le puede interpretar también como: Suma de caidas de tensión=Sumas de aumento de tensión Usualmente se recorre la trayectoria en sentido horario, sin embargo, esto es arbitrario puesto que es equivalente. Al igual que, podemos tomar la tensión como positiva cuando el recorrido en la malla va de la polaridad positiva a la negativa del elemento, o, todo lo contrario, podemos tomarlo como tensión negativa, a la final obtendremos el mismo resultado.

PROCEDIMIENTO PRÁCTICO Elementos Se utilizó un computador con conexión a internet con el programa MATLAB y Simulink, contando con la librería de Simscape. Entre los elementos para la simulación del circuito, se utilizaron los siguientes:  Electrical Reference  Resistor  Voltage Source  Display  Voltage Sensor  Simulink-PS Converter  Current Sensor  Solver Configuration

Figura 2. Elementos implementados en Simulink

Procedimiento. El instructor explicó los objetivos de la práctica, también dio una breve explicación sobre los conceptos de mallas y nodos, que posteriormente serían utilizados en la ley de corrientes de Kirchhoff y en la ley de voltajes de Kirchhoff.  Simulink Ingresamos a Simulink por medio del Toolstrip de MATLAB, luego se elige Blanck Model para implementar el modelo a simular. Implementaremos la figura 4 de nuestra hoja guía a través de la librería de Simscape, en la sección Electrical en la cual estarán los elementos necesarios para el modelo a simular. En Simscape Utilities obtendremos el elemento Solver Configuration que es el que nos permitirá realizar la simulación. Se juntan todos los elementos para formar la figura 4. Para obtener los valores de corriente y voltaje ejecutamos el programa a través de Run, utilizamos el Current sensor y el Voltage sensor conectados a un display para obtener los valores en pantalla.

Figura 3. Modelo final

DATOS TEÓRICOS Y MEDIDOS.  Simulink

A partir del circuito implementado en Simulink, se obtiene los siguientes datos de corriente y tensión en cada elemento. Elementos Voltaje (V) Corriente (A) Fuente de voltaje 20 0,2 R1=200 ohms 13,33 0,06667 R2=100 ohms 13,33 0,133 R3=2500 ohms 0 −4,337∗10−18 ≈ 0 R4 =50 ohms 6,667 0,133 R5=100 ohms 6,667 0,0667

Figura 4. Mediciones de corriente.

Figura 5. Mediciones de voltajes

Errores de medición.

La tabulación de errores y sus cálculos se encuentra realizados en la pregunta 2 del Desarrollo del Cuestionario, previamente calculando los valores teóricos en la pregunta 1. DESARROLLO DEL CUESTIONARIO 1. Utilizando Leyes de Kirchhoff, resolver analíticamente el circuito de la figura 4 de la hoja Guía y obtener voltajes y corrientes en cada elemento. Tenemos las siguientes corrientes circulando por nuestro circuito:

b a

i c

Por lo que aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff obtenemos: En el nodo a: i1=i 2+ i3 En el nodo b: i2=i 4 + i5 En el nodo c: i6=i 3+ i4 Ahora aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff obtenemos: En la malla 20V-100Ω-50Ω: 100 i2 +50 i 5=20 En la malla 250Ω-100Ω-50Ω: 250 i4 +100 i6 −50 i5 =0 En la malla 250Ω-100Ω-200Ω: 200 i3 −100i2−250i4 =0 De los cuales tenemos 6 ecuaciones con 6 incógnitas, de los cuales resolviendo obtenemos: i1=0.2 A i2=0.1333 A i3=0.0667 A i4=0 A i5=0.1333 A i6=0.0667 A Ahora obteniendo por Ley de Ohm los voltajes en cada resistencia obtenemos: V 100Ω =100 ×i 2=13.33 V V 50 Ω=50 ×i 5=6.67 V V 200Ω =200 ×i 3=13.33 V V 250Ω =250 ×i 4 =0 V V 100Ω =100 ×i 6=6.67 V De donde obtenemos la siguiente tabla: Elemento Corriente Fuente 20 V. 0,2A. R1=100Ω 0.1333A. R2=50Ω 0.1333A. R3=250Ω 0 A. R4=200Ω 0.0667A. R5=100Ω 0.0667A.

Voltaje 20V 13.33V 6.67V 0V 13.33V 6.67V

2. Presentar un cuadro en el que consten: valores medidos, valores calculados analíticamente, y los respectivos errores de lectura expresados en % (adjuntar un ejemplo de cálculo para cada valor). Interpretar y justificar los errores cometidos. Asumir que el valor verdadero es el obtenido analíticamente en el punto 7.1. Elemento

Valores medidos Corriente Voltaje

Valores calculados Corriente Voltaje

Error relativo Corriente

Error relativo Voltaje

Fuente 20V.

0,2A.

R1=100Ω R2=50Ω R3=250Ω

0.133A. 0.133A.

R4=200Ω R5=100Ω

20V

0,2A.

20V

0%

0%

13.33V 6.667V 0V −4.33 ×10

0.1333A. 0.1333A. 0 A.

13.33V 6.67V 0V

0.2251% 0.2251% Indeterminación

0% 0.0449% indeterminación

0.06667A. 0.06667A.

0.0667A. 0.0667A.

13.33V 6.67V

0.0449% 0.0449%

0% 0.0449%

13.33V 6.667V

En la fuente de 20V en el cálculo del error de la corriente: Error absoluto=|valor real−valor medido|=|0,2−( 0,2 )|=0 Error absoluto × 100 %=0 Errorrelativo = valor real En R1=100Ω en el cálculo del voltaje Error absoluto=|13.33 −13.33|=0 Error absoluto × 100 %=0 Errorrelativo = valor real En R2=50Ω en el cálculo de la corriente: Error absoluto=|0.1333−0.133|=0.0003 Error absoluto Errorrelativo = × 100 %=0.2251% valor real En R3=250Ω en el cálculo del voltaje: Error absoluto=|6,67 −6.667|=0.003 Error absoluto × 100 %=0.0449 % Errorrelativo = valor real En R4=200Ω en el cálculo del voltaje: Error absoluto=|13.33 −13.33|=0 Error absoluto × 100 %=0 Errorrelativo = valor real En R5=100Ω en el cálculo de la corriente: Error absoluto=|0.0667−0.06667|=0.00003 Error absoluto Errorrelativo = × 100 %=0.0449 % valor real Como podemos notar los errores no llegan al 1%, por lo cual nuestras mediciones estarían bien realizadas. El error en algunos casos existe porque el valor que tomamos como “real” es el valor que obtuvimos mediante cálculos, pero en la práctica es diferente. En el caso de la resistencia de 250Ω en el valor calculado existe un valor de corriente sumamente pequeño que, si circula a través de esta, cuando teóricamente circula 0. En las demás existe un error debido a la aproximación decimal. 3. Resuelva en Simulink el circuito de la siguiente figura y compare con los resultados obtenidos en el Trabajo Preparatorio: (Utilizando las leyes de Kirchhoff, determine le valor de la corriente i que circula por la fuente de 15V y el voltaje v 0 )

Implementando el circuito anterior en Simulink y los bloques necesarios para obtener las mediciones de corriente y tensión, tenemos:

Figura 6. Medición de voltaje

Figura 7. Medición de corriente.

Elementos Fuente de voltaje R1=20 ohms R2=25 ohms R3=10 ohms R4 =20 ohms R5=10 ohms R6=20 ohms R7=15 ohms R8=30 ohms

Voltaje (V) 15 8,928 4,794 1,278 1,278 2,546 3,526 1,175 2,351

Corriente (A) 0,4464 0,4464 0,1918 0,1278 0,06392 0,2546 0,1763 0,07835 0,07835

Por LCK i=i2+ i5 =0,1918 + 0,2546 =0,4464 A Por LTK v o =v 6 −v 7=3,526−1,175 =2,351V Los valores teóricos obtenidos usando las Leyes de Kirchhoff en el preparatorio fueron: i=0,44639 A v o =2,3505 V |0,44639−0,4464| ∗100 %=0,00224 % e i= 0,44639 |2,351 −2,3505| ∗100 %=0,0213 % e vo = 2,3505 Entonces, los valores obtenidos en el trabajo preparatorio y los medidos en Simulink son precisos, los valores medidos tienen un error porcentual de 0,00224 % y 0,0213 % para la corriente i y la tensión v o respectivamente. 4. Explique por qué es importante considerar la polaridad de la fuente y la dirección de las corrientes para el cumplimiento de las leyes de Kirchhoff. Es importante considerar la polaridad de la fuente, ya que, a partir de esta podemos asumir la dirección de la corriente en los elementos restantes del circuito. Además, para el cumplimiento de las Leyes de Kirchhoff es necesario conocer las polaridades de todos los elementos, y si no es necesario asumirlas, puesto que, para aplicar tanto LCK como LTK nos fijamos en la polaridad de cada elemento y la dirección en la que circula la corriente en las mallas para obtener las expresiones. Puesto que, se necesita saber que corrientes están entrando y cuales están saliendo en un nodo para LCK, además para LTK conocer el signo algebraico de la tensión de cada elemento, es decir, si existe caída o aumento de tensión. Por otro lado, si asumimos erróneamente la polaridad de algún elemento, tendremos como resultado un valor negativo de corriente o voltaje. Esto implica que la dirección de la corriente en realidad está en sentido contrario al asumido, no obstante, esto no afecta al cumplimiento de las leyes de Kirchhoff. Cabe destacar que no se debe alterar la polaridad de la fuente, ya que esta ya viene dictaminada y alteraría al circuito, en consecuencia, el cumplimiento de las leyes. ANÁLISIS DE RESULTADOS En el proceso de medición de valores en corriente y voltaje mediante los bloques de Simulink, está involucrado un error, por lo cual es necesario obtener los valores teóricos de cada elemento del circuito, resolviendo el circuito a mano mediante las Leyes de Kirchhoff. Entonces, obtuvimos, Elemento Corriente Voltaje Fuente 20 V. 0,2A. 20V R1=100Ω 0.1333A. 13.33V R2=50Ω 0.1333A. 6.67V R3=250Ω 0 A. 0V R4=200Ω 0.0667A. 13.33V R5=100Ω 0.0667A. 6.67V

A partir de estos valores teóricos, que fueron considerados como reales y los valores medidos en parte de Simulink por el Current Sensor y por el Voltage Sensor, se calculó los errores en forma de porcentaje. De tal manera, que en las mediciones de corriente para la Fuente de 20V el error es de 0 % es decir, el valor medido fue exacto, puesto que es idéntico al valor real. De igual forma, esto ocurrió con los valores de voltaje medidos en la Fuente de 20V, las resistencias de R1=100 Ω , R 2=50 Ω y R 4=200 Ω . Por otro lado, se obtuvo un error de 0.2251 % para las mediciones de corriente de las R1=100 Ω, R 2=50 Ω , también un error de 0.0449 % para las resistencias de R resistencias de 4 =200 Ω , R2 =100 Ω . En cuanto, al error del voltaje fue de 0.0449 % para R2=100 Ω, R 5=50 Ω . A partir de esto, nos damos cuenta de que estos errores son inferiores al 1 % , lo que implica que nuestras medidas son fiables, ya que, no sobrepasan el 5 % . Estos mínimos errores, pudieron ser causados por la apreciación de los bloques de Simulink, el redondeo de cifras decimales que realiza al mostrar el valor medido en pantalla del bloque Display. Por otro lado, se obtuvieron dos indeterminaciones al momento de calcular los errores en forma de porcentaje, ya que, nuestro valor teórico que tomamos como real fue 0, esto ocurrió para la R3=250 Ω tanto para su corriente como para su voltaje. Mediante el uso de los bloques de Simulink, en la corriente se obtuvo un valor muy pequeño, que mostraba que circulaba un mínimo valor de corriente, esta indeterminación se pudo dar por el redondeo de decimales al momento de obtener los valores teóricos o simplemente un error sistemático de los bloques de Simulink. De igual forma, ocurrió con el voltaje de dicha resistencia, sin embargo, tanto el valor real como el valor medido fueron 0, lo que puede significar que son exactos a pesar de obtener una indeterminación en el proceso de cálculo de errores. APLICACIONES  Se utilizan todos los días en la resolución de circuitos electrónicos simples, que ayudan al reparador a determinar los valores de tensión y corriente, existentes en los circuitos. 

Son muy útiles para la resolución de circuitos resistivos ya que se convierte en una gran herramienta para el análisis de los circuitos.



Permite calcular corrientes, voltajes y resistencias en circuitos eléctricos, para calcular consumos de energía, calibración, y normatividad de cables y componentes eléctricos.



Su impacto abarca desde los transistores hasta los computadores.



Han servido para la evolución de las pilas alcalinas.



En escala muy pequeña gracias a las leyes de Kirchhoff, compara el tiempo de ejecución posible en cada nuevo reproductor de mp3 que sale al mercado.



En amplificadores multietapa ya que en estos sistemas se deben conocer los valores de corriente y voltaje para una correcta elección de los componentes pasivos.

CONCLUSIONES



Los valores obtenidos de la corriente y el voltaje mediante las Leyes de Kirchhoff son prácticamente iguales a los valores obtenidos experimentalmente, en nuestro caso, el error no consiguió superar el 1%.



Gracias a las leyes de Kirchhoff se pueden resolver circuitos sin la necesidad de tomar complicaciones innecesarias como reducir circuitos a una resistencia equivalente, por esto es imprescindible el conocimiento y el correcto uso de estas leyes.



Por medio del cálculo matemático en la ley de corrientes de Kirchhoff con los valores obtenidos experimentalmente se puede verificar que esta ley se cumple para todos los valores de corriente.



Por medio del cálculo matemático en la ley de voltajes de Kirchhoff con los valores obtenidos experimentalmente se puede verificar que la suma algebraica de los voltajes en cada malla es 0.

Bibliografía [1] Tecnología Eléctrica. A. Maldonado EPN, 2011, Quito-Ecuador, Capitulo 3: Leyes de Kirchhoff. pp.50. [2] Fundamentos de circuitos eléctricos. C. Alexander, M. Sadiku, 2006, McGraw-Hill. Capítulo 2: Leyes básicas. pp.37....