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Resistencia eléctrica en un conductor eléctricoPatzi Tancara Leidy Laura Fis-132_”H 7 ”; Laboratorio de Física II Informática F.C.P - UMSA 7- 11- Resumen Se midió de manera directa con el simulador Phet de la Universidad de colorado los datos Área y Resistencia eléctrica de un conductor manteniendo ...

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Resistencia eléctrica en un conductor eléctrico Patzi Tancara Leidy Laura Fis-132_”H7”; Laboratorio de Física II Informática F.C.P.N - UMSA 7-11-2020 Resumen Se midió de manera directa con el simulador Phet de la Universidad de colorado los datos Área y Resistencia eléctrica de un conductor manteniendo la resistividad en constante con un valor teórico de 𝜌teo=0,53[Ω] y una longitud constante de L=15,10 [cm] para lo cual se aplicó el ajuste de curvas a un nivel de confianza del 98% el cual dio como resultado el modelo lineal de: R=K / (1248,1±1,6) A 𝑁𝐶: 98%

De manera que el nivel de decisión para la hipótesis nula está dado por 𝑡𝑐𝑎𝑙=0< 𝑡 (𝑣, 𝛼2)=2,202 entonces se acepta la hipótesis nula 𝐻0 Palabras clave: Resistencia de un conductor, Ajuste de curvas, modelo matemático. Abstract

It was measured in a direct way with the Phet simulator of the University of Colorado the data Area and Electrical Resistance of a conductor maintaining the resistivity in constant with a theoretical value of ρteo=0.53 [Ω] and a constant length of L=15.10 [cm] for which the adjustment of curves was applied at a confidence level of 98% which gave as result the linear model of: R=K / (1248,1±1,6) A 𝑁𝐶: 98%

So the decision level for the null hypothesis is given by 𝑡𝑐𝑎𝑙=0< 𝑡 (𝑣, 𝛼2)=2,202 then the null hypothesis is accepted 𝐻0 Keywords: Resistance of a conductor, curve fitting, mathematical model. 1. INTRODUCCION a la corrosión, su ductilidad o capacidad de deformarse sin 1. ¿Cuál es la diferencia entre resistencia y resistividad romperse, su baja resistencia eléctrica y su elevada eléctrica? conductividad térmica. 6. ¿Por qué será que en las instalaciones domiciliarias R1.-La resistencia es una propiedad que depende de la se exige un tipo de cable eléctrico?. resistividad y de su geometría. La resistividad, por otra parte, es una propiedad solamente del material. R6.-Para la mejor conducción eléctrica para todo el circuito 2. ¿La resistencia de un conductor eléctrico de qué que pueda ver en la casa y la mejor coordinación, factores depende? equivalencia entre la instalación eléctrica, para que tenga R2.-La resistencia de un conductor depende directamente de una mejor satisfacción al instalarlo. 7. El aislamiento de los cables eléctricos está en función dicho coeficiente, además es directamente proporcional a su de su composición química, los hay los termoplásticos y longitud (aumenta conforme es mayor su longitud) y es los termoestables. ¿Qué quiere decir esto? inversamente proporcional a su sección transversal (disminuye conforme aumenta su grosor o sección R7.-Termoplasticos: es un plástico que, a temperatura transversal). caliente, es plástico o deformable, se derrite cuando se 3. ¿Por qué es importante el uso de la resistividad calienta y se endurece en un estado vítreo cuando se enfría eléctrica en los sondeos geoeléctricos? lo suficiente. Los termoplásticos son polímeros de alto peso R3.-Porque es una corriente continua cuya finalidad es molecular. Termoestables: son polímeros infusibles e determinar la variación de la resistividad eléctrica del insolubles. Que ambos no s on compatibles entre ellos por subsuelo en función de la profundidad y a lo largo de un perfil, eso hay aislamiento de cables eléctricos entre ellos. es decir en 2 dimensiones. 4. En determinadas circunstancias, la resistividad 2. OBJETIVOS eléctrica depende de la temperatura, indique cuales son 2.1 OBETIVO GENERAL los por menores. 1. Estudiar el comportamiento de la resistencia eléctrica R4.-Resistividad eléctrica de metales puros a temperaturas en función de su sección transversal. entre 273 y 300 K (10฀8_m) si esta entre este intervalo 2. Manteniendo constante la resistividad eléctrica puede cualquier metal ser conducido por un conducto observar los cambios en la resistencia del eléctrico. conductor eléctrico. 5. La resistencia eléctrica depende del material que se 2.2 OBJETIVO ESPECIFICO utilice, entonces, ¿porque será que en los circuitos 1. Obtener el modelo matemático para la resistencia electrónicos se utilice se haga uso del oro?. eléctrica de un conductor eléctrico al nivel de R5.- Los hilos conductores de oro son muy utilizados en la confianza del 98%. industria de semiconductores. En general, el oro es el 2. Realizar una prueba de hipótesis nula Ho para el valor material preferido sobre otros debido a su altísima resistencia obtenido por ajuste de curvas, al valor teórico

𝜌teo=0,53 para la resistividad eléctrica, al nivel de confianza del 98%. 3. MARCO TEORICO La Figura a continuación muestra a título de ejemplo el primer plano cartesiano, en esta se observa los datos experimentales distribuidos aleatoriamente, el eje de abscisas x y el eje de ordenadas y más el título del gráfico.

Es un modelo matemático lineal, donde a y b son constantes o coeficientes de “mejor ajuste” a determinarse por el método de los mínimos cuadrados o regresión lineal. Sin embargo, dado los errores implícitos en el proceso de medición, la expresión (4) se corrige por las incertidumbres en a y b como: 𝑌 ∗=(𝑎 ± 𝐸𝑎 ) + (𝑏 ± 𝐸𝑏 ) ∙ 𝑋

(5)

𝑁 𝑁 𝑁 ∗ ∗ 2 ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑌𝑖 − ∑ 𝑖=1𝑋𝑖 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖 𝑁 2 𝑁 2 𝑁 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑋𝑖 − (∑𝑖=1 𝑋𝑖)

(6)

En ese entendido, los coeficientes de “mejor ajuste” a y b en la expresión (4) se calculan manualmente a partir de las siguientes expresiones: 𝑎=

𝑏=

𝑁 ∗ ∗ 𝑁 𝑁 ∙ ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖 − ∑ 𝑖=1 𝑋𝑖 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑌𝑖 𝑁 2 − (∑𝑁 𝑋 )2 𝑁 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑖=1 𝑖

(7)

El coeficiente de correlación de Pearson es una prueba que mide la correlación estadística entre la variable independiente Y y la dependiente X. Si los datos experimentales no tienden hacia la linealidad, entonces, se dice que poseen una naturaleza no lineal. Figura 3.1 Se muestra en la figura una idealización de los datos experimentales en el primer plano cartesiano, el eje de abscisas o x representa la variable física independiente y en el eje de ordenadas o y esta la variable física dependiente. Además, el título de la gráfica. La resistencia de un alambre conductor a una determinada temperatura es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área de sección transversal. Se calcula multiplicando un valor llamado coeficiente de resistividad (diferente para cada material) por la longitud del mismo y dividiéndolo por su área. La unidad para medir la resistencia eléctrica es el OHM (Ω ). Para realizar el cálculo de la resistencia que ofrece un material al paso de la corriente eléctrica, se utiliza la siguiente fórmula: 𝐿 𝑅 =𝜌 𝐴

(1)

Donde R es la resistencia del conductor, 𝜌 es la resistividad del material de que esta hecho el conductor (Ω m), L la longitud del conductor (m) y A el área de la sección transversal (m2):

El coeficiente de correlación r puede tomar un rango de valores de +1 a -1. Un valor de 0 indica que no hay correlación entre las dos variables. Un valor mayor que 0 indica una correlación positiva. Es decir, a medida que aumenta el valor de una variable, también lo hace el valor de la otra. Un valor menor que 0 indica una correlación negativa; es decir, a medida que aumenta el valor de una variable, el valor de la otra disminuye. En ocasiones, el coeficiente de correlación r es inferior a la unidad, como por ejemplo un valor de r = 0.436820730, entonces se puede pensar que los datos no tienden hacia la linealidad y proponer modelos no lineales que mejor ajusten a los datos experimentales. En ese entendido, el cálculo manual del coeficiente de correlación r es: 𝑟=

∗ ∗ 𝑁 𝑁 𝑁 ∙∑𝑁 𝑖=1𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖 − ∑𝑖=1 𝑋𝑖 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑌𝑖

2 ∗ ∗ 2 𝑁 𝑁 𝑁 2 √[𝑁 ∙ ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 − (∑ 𝑖=1 𝑋𝑖 ) ] ∙ [𝑁 ∙ ∑ 𝑖=1 𝑌𝑖 − (∑𝑖=1 𝑌𝑖 ) ] 2

(8)

Para las incertidumbres Ea y Eb dadas en la expresión (5) se Se propone el modelo matemático para la expresión (1) a una estiman a partir de las siguientes expresiones: función matemática inversa de la forma: (9) 𝐸𝑎 = 𝑡(𝑣,𝛼) ∙ 𝑆𝑎 𝑌=

𝐾 𝑎+𝑏∙𝑋

(2)

𝐸𝑏

La expresión (2) se linealiza de la forma: 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋 = 𝑌 ≡ 𝐾 ∙ 𝑌′ 𝐾

Donde 𝑌 ≡ 𝑌 ′ . 1

=𝑎+𝑏∙𝑋

= 𝑡(𝑣,𝛼 ) ∙ 𝑆𝑏

(10)

2

A su vez, las desviaciones estándar Sa y Sb se calculan a partir (3) de las siguientes expresiones:

Entonces, si denominamos 𝐾 ∙ 𝑌 ′ ≡ 𝑌 ∗ en la expresión (3). Por lo tanto: 𝑌∗

2

(4)

𝑆𝑎 = 𝑆

𝑌∗ (𝑋)

∙√

𝑆𝑏 =

∑𝑁𝑖=1 𝑋𝑖2

2

2 ∑𝑁 𝑁 ∙ ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 − ( 𝑖=1 𝑋𝑖 ) 𝑆 𝑌∗ ( 𝑋)

1 2 𝑁 2 √∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 − 𝑁 (∑ 𝑖=1𝑋𝑖 )

(11) (12)

𝑆

(

𝑌∗

𝑋)

=√

𝑁 𝑖=1

∑

[(𝑎

∗ ∗ ) − 𝐹 +𝑏 ∙ 𝑟 𝑚𝑎𝑔,𝑖 𝑖 𝑁−2

]2

(13)

Prueba de hipótesis para la pendiente. 1) Formulación de la hipótesis nula: 𝐻0: 𝐵𝑒𝑥𝑝 = 𝐵𝑡𝑒𝑜 𝐻1: 𝐵𝑒𝑥𝑝 ≠ 𝐵𝑡𝑒𝑜 2) Selección del cálculo estadístico. |𝐵 − 𝐵𝑡𝑒𝑜 | 𝑡𝑐𝑎𝑙 = 𝑆𝑏 3) Nivel de decisión para la prueba de hipótesis nula. a) 𝑡𝑐𝑎𝑙 < 𝑡(𝑣,𝛼 ), se acepta 𝐻0 b)

2

𝑡𝑐𝑎𝑙 < 𝑡(𝑣,𝛼 ), se rechaza 𝐻0 y se acepta 𝐻1 2

4. MARCO EXPERIMENTAL 4.1 Introducción El uso de simulaciones por ordenador parece ser una estrategia para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje y generar su uso y mejora a mediano plazo. Las simulaciones por ordenador son, sin duda, un excelente complemento al método de enseñanza tradicional, son muy útiles para hacer frente a experimentos costosos en lo material y estar disponible las 24 horas del día. Phet es un proyecto abierto para recursos educativos (REA) que tuvo su fundación en el año 2002 por el premio Nobel Carl Wieman Phet. La idea principal de Wieman era el crear una manera de hacer ciencia, enseñar y aprender al mismo tiempo. Declaraba que su misión era la de ‘Avanzar en la ciencia y alfabetización matemática”, así como también impactar en la educación del mundo, mediante simulaciones interactivas. El acrónimo “PhET” significa “Tecnología para la educación de la Física”, proyecto que al ver su potencial se fue extendiendo poco a poco a otras ramas de aprendizaje. Se ingresa al simulador PhET

observa el cambio en la resistencia en el valor de la resistencia, entonces se tiene un par ordenado (A1; R1) y de esa manera se va obteniendo los demás valores. A continuación se muestran 13 datos calculados desde el simulador para el área que se relaciona con la resistencia: A [cm^2] R[Ω] N 1 1,11 7,210 2 1,22 6,560 3 1,44 5,560 4 1,66 4,820 5 1,88 4,260 6 2,32 3,450 7 2,54 3,150 8 2,76 2,900 9 2,87 2,790 10 3,09 2,590 11 3,31 2,420 12 3,97 2,020 13 4,19 1,910 Tabla 4.2.1 Se muestra los valores experimentales obtenidos a partir del simulador dejando constantes la longitud y la resistividad, haciendo variar el área que se relaciona con la resistencia. 5. RESULTADOS Y ANALISIS Se muestra a continuación la tabla de datos con el área convertida de cm. Cuadrados a m. cuadrados y la inversa de resistencia con 1/R. X=A [m^2] N Y*=R^-1 [Ω] 1 0,000111 0,139 2 0,000122 0,152 3 0,000144 0,180 4 0,000166 0,207 5 0,000188 0,235 6 0,000232 0,290 7 0,000254 0,317 8 0,000276 0,345 9 0,000287 0,358 10 0,000309 0,386 11 0,000331 0,413 12 0,000397 0,495 13 0,000419 0,524 Tabla 5.1 Se muestran los datos de área en metros y inversa de resistencia en Ohmios. Se efectúa una gráfica de los datos Área A (m) y Resistencia inversa de la tabla 5.1

Resistencia electrica Y*=Resistencia R^1[Ω]

Figura 4.1.1 La Figura muestra una captura de imagen del simulador PhET a ser utilizado en la presente experiencia. 4.2. Datos Experimentales Una vez que se ingresa a la página, se puede seleccionar opciones de experimentación, tales como la resistividad 𝜌, la longitud del conductor eléctrico L, el área o sección transversal A. los valores teóricos a usar para la resistencia 𝜌 = 0,53(Ω𝑐𝑚)y una longitud de 15,10cm. Para iniciar la experiencia con las condiciones iniciales dadas, se presiona el botón perteneciente al área hacia abajo (próximo al valor de cero, pero NO necesariamente), se

0,600 y* = 1248,1X + 0,0002 0,400 R² = 1

0,200 0,000 0,000000 0,000100 0,000200 0,000300 0,000400 0,000500

Area A[m^2]

Figura 5.2 Tendencia lineal de los datos obtenidos y plasmados en la tabla 5.1

Para cuantificar la incertidumbre del valor más probable aplicamos la siguiente formula: 𝐸𝑎 = 𝑡(𝑣,𝛼 ) ∙ 𝑆𝑎

A partir del modelo lineal, se obtiene el modelo generalizado mediante la ecuación (4):

2

𝑌∗ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋

𝐸𝑎 = 2,202 ∙ 0,000202843 = 0,000446661

𝑌 ∗ = 0,0002 + 1248,1 ∙ 𝑋

𝐸𝑏 = 𝑡(𝑣,𝛼 ) ∙ 𝑆𝑏 2

Donde los valores para: 𝑎 = 0,0002 𝑏 = 1248,1

El coeficiente de relación es igual a 1.

Posteriormente se procede a calcular las incertidumbres, desviación estándar para los valores de a y b aplicando las formulas dadas en la sección del marco teórico para tal caso se hará uso de una calculadora científica marca CASIO modelo (fx-350EX) o en su defecto con una hoja de cálculo (EXCEL). Entonces a continuación se mostrará los valores de los límites de confianza para los coeficientes de mejor ajuste. 𝑌 ∗=(𝑎 ± 𝐸𝑎 ) + (𝑏 ± 𝐸𝑏 ) ∙ 𝑋

Donde E𝑎 y E𝑏 están dados por las sumatorias dadas en las formulas (11) y (12) que a su vez necesitan de la formula (13 ): 𝑆

𝑁

𝑌∗ ( ) 𝑋

= 0,00026375

∑ 𝑋𝑖 2 = 9,25938𝑥10^ − 7 𝑖=1

𝑁

(∑ 𝑋𝑖 𝑖=1

)2

= 0,00001047

𝑆𝑎 = 0,000202843

𝑆𝑏 = 0,760049196

Reemplazando los valores de Sa y Sb en las siguientes ecuaciones tenemos: 𝐸𝑎 = 𝑡(𝑣,𝛼 ) ∙ 𝑆𝑎

𝐸𝑏 = 2,202 ∙ 0,760049196 = 1,673628329

Una vez calculado estos valores reemplazamos en la ecuación lineal siguiente: 𝑌 ∗=(𝑎 ± 𝐸𝑎 ) + (𝑏 ± 𝐸𝑏 ) ∙ 𝑋

𝑌 ∗=(0,0002 ± 0,0004) + (1248,1 ± 1,6) ∙ 𝑋

Con las ecuaciones (1) (2) y (3) reemplazamos los datos: K (1/Y) = (1248,1±1,6) A + (0,0002±0,0001) K (1/R) = (1248,1±1,6) A + (0,0002±0,0001) R=K/ (1248,1±1,6) A + (0,0002±0,0001) Hacemos que el intercepto sea nulo y tenemos: R=K/ (1248,1±1,6) A R_1=K/1249,7 A R_2=K/1246,5 A Con los valores contantes de 𝜌 = 0,53 Ω𝑐𝑚 y 𝐿 = 15,10 𝑐𝑚 Convertidos a metros: 𝜌 = 0,0053 Ω𝑚 𝐿 = 0,1510 𝑚 Tenemos para 1 𝜌1𝑒𝑥𝑝 = = 0,005299285 [Ωm] 1249,7 ∗ 0,151 1 𝜌2𝑒𝑥𝑝 = 1246,5∗0,151 = 0,005312889[Ωm] < 𝜌 >= (𝜌1𝑒𝑥𝑝 + 𝜌2𝑒𝑥𝑝 )/2 =0,005306087 [Ωm]

Para la prueba de hipótesis para la pendiente, con 𝜌𝑡𝑒𝑜 =0,0053 m: 𝐻0: 𝜌𝑒𝑥𝑝 = 𝜌𝑡𝑒𝑜 𝐻1: 𝜌𝑒𝑥𝑝 ≠ 𝜌𝑡𝑒𝑜

En cuanto al cálculo del factor crítico tenemos: | < 𝜌 > −𝜌𝑡𝑒𝑜| 𝑡𝑐𝑎𝑙 = 𝑆𝑏 𝑡𝑐𝑎𝑙 =

2

Donde 𝑡

𝛼 (𝑣, ) 2

𝐸𝑏 = 𝑡(𝑣,𝛼 ) ∙ 𝑆𝑏 2

es el valor que usamos de la Tabla t-Student con

v = grados de libertad 𝑣=𝑁−2=13−2=11 Buscamos en la tabla t-Student el valor para 98% Nivel de Confianza y v=11 grados de libertad: 𝑡(𝑣,𝛼 ) = 2,202 2

Entonces remplazamos los valores para la incertidumbre de “a” y “b”:

|0,0053 − (0,0053)| =0 0,760049196

Entonces para el Nivel de decisión para la hipótesis nula tenemos: 𝑡𝑐𝑎𝑙 < 𝑡(𝑣,𝛼 ) 2

0 < 2,202 Como esto se cumple entonces se acepta 𝐻𝑜.

6. CONCLUSIONES Se aplicó el ajuste de curvas para posteriormente encontrar el modelo matemático lineal de la ecuación que relaciona Resistencia de un conductor con el área del mismo, con valor teórico de resistividad de 𝜌=0,53 cm y la longitud de L=15,10

cm trabajando a un nivel de confianza de 98%, hemos hallado el modelo lineal que está dado por: 𝑌 ∗=(0,0002 ± 0,0004) + (1248,1 ± 1,6) ∙ 𝑋 𝑁𝐶: 98% Con toda la informacion recabada, se acepta la hipótesis nula 𝐻𝑜. Teniendo así un resultado considerado como bueno. BIBLIOGRAFIA  Mediciones y Errores Alvares Huayta,3°ed”Catacora ” , 2018, La Paz- Bolivia  Serway, Raymond; Física, conceptos y aplicaciones, 5a edición, Mc Graw-Hill, México: 2007

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