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de la Productiva y del Fortalecimiento de la FACULTAD DE CURSO : MATEMATICA : TEMA CICLO INTEGRANTES INTEGRALES DEFINIDAS : : IV YOVERA MOGOLLON, JONATAN BARRANZUELA CASTILLO, FRANKMARCO REQUENA GUZMAN, BREGMAN LEON RAVELLO, RUBEN DAGOBERTO DOCENTE : LIC. JORGE LUIS VIVAS GARCIA 2015 1 INDICE I. Con...

Description

“Año de la Diversificación Productiva y del Educación”

Fortalecimiento de la

FACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO

:

MATEMATICA III

:

TEMA

CICLO

INTEGRANTES

INTEGRALES DEFINIDAS

:

:

IV

YOVERA MOGOLLON, JONATAN BARRANZUELA

CASTILLO, FRANKMARCO REQUENA GUZMAN, BREGMAN LEON RAVELLO, RUBEN DAGOBERTO

DOCENTE

:

LIC. JORGE LUIS VIVAS GARCIA

PIURA-PERÚ 2015

pág. 1

INDICE

I.

Contenido

INTRODUCCION..................................................................................................................................3 I.

MARCO TEORICO........................................................................................................................4 1. INTEGRAL DEFINIDA...................................................................................................................4 2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA…………….………………………………………………………………...5 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO………………………………………………………………………………..5

4.INTEGRALES DEFINIDAS POR SUSTITUCION……………………………………………………………………………….8 II.

OBJETIVOS..................................................................................................................................7 3.1 Objetivo General......................................................................................................................7 3.2 Objetivos Específicos................................................................................................................7

pág. 2

INTRODUCCIÓN

El estudio de las integrales definidas área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos. Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonosenfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.

pág. 3

I.

MARCO TEORICO

1 INTEGRAL DEFINIDA Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, lahipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y lageometría de Riemann. Sumas de Riemann Aproximación del Área de una Región por Áreas de Rectángulos. Sea �: �, � ⇒ ℝ una función continua y no negativa (( �)) ≥ 0 ∀ ∈ [�, �]. Sea la región plana R limitada por las gráficas de � = ( �), las rectas x = a, x = b y el eje x (llamada región bajo la gráfica de f desde “a” hasta “b”)

n

A= lim

∑ f (ci )∆ x

n→ ∞ i=1

Ci = α + i ∆ x

∆ x=

b−a n

Integral Definida Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado a b,  Entonces existe un número real que se designa con: b

b

n

a

a

i=1

∫ f (x ) dx ,tal que :∫ f ( x ) dx=lim ∑ f (Ci )∆ x n →∞

❑

Observaciones:

pág. 4

b

1. El número

∫ f ( x ) dx

se llama la integral definida de f ( x ) desde a hasta b.

a

2. La función f ( x ) se llama integrando. 3. Los números a y b se llaman límite inferior y límite superior respectivamente. Propiedades de la integral definida: b

i.

∫ dx b  a a

a

ii.

∫f ( x)dx 0 a

b

iii.

Si a

c

a

a

∫f ( x)dx  ∫ f ( x )

iv.

b

a

b

b

∫ f ( x)  g( x)  dx ∫f ( x) dx  ∫a g( x) dx

a b

vi.

b

a

b

v.

c

a c b, entonces ∫f ( x)dx ∫ f ( x )dx  ∫ f ( x )dx

b

a

b

∫kf (x )dx k ∫f (x )dx a

a

b

vii.

Si f ( x) 0 , en

 a, b  , entonces : ∫dx 0 a

Teorema fundamental del cálculo Primer teorema fundamental del cálculo (Derivadas de integrales) Sea f una función continua en el intervalo [a. b].Entonces la función F definida por: � � = � � ��, � ≤ � ≤ � � � es derivable en [a, b]. y � ′ � = � �� �(�)�� � � = � � ; ∀�∈ [�, �] Nota: Si � � = � � �� ⇒ � ′ � = � � � . � ′ (�)

Integrales indefinidas por Sustitución: Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Unos es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable. Regla de sustitución para integrales definidas:

pág. 5

Si g’ es continua sobre [a,b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u = g(x) entonces

∫ f  g ( x ) g '( x )dx ∫ b

g (b)

a

g (a )

f (u )du

Demostración: Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(b)] – F[g(a)] En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral definida, debemos poner todo en términos de la nueva variables u, no solo x y dx sino también los límites de integración. Los nuevos límites de integración son los valores de u que corresponden a x=a y x=b. Ejemplo: 1.)

3

∫ 0

t t

2

 16

dt

Sustitución:

pág. 6

w  t2  16 dw  2t dt dw dt  2t si : t 3  w 25 t 0   w 16 25

∫

16

t dw 1 25   ∫w . 2 16 w 2t

1

2

dw

 1  1  w 2 25     2  1 16   2  1 25  2 w 16 2  25  16 5  4 1



II.

OBJETIVOS 1.





GENERAL

Conocer y manejar los conceptos de primitiva e integral definida de una función. 2.

ESPECÍFICOS



Ser capaz de reconocer las primitivas de algunas funciones.



Ser capaz de relacionar los problemas de cálculo de áreas con la integral definida.



Conocer y aplicar algunas técnicas de integración.

pág. 7...