Informe de Cuerpo Rígido PDF

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Índice: INTRODUCCIÓN FUNDAMENTO TEÓRICO ENERGÍA MECÁNICA: Cambios en energía mecánica para fuerzas no conservativas: Energía de un cuerpo rígido Energía cinética traslacional de un cuerpo rígido Energía cinética rotacional de un cuerpo rígido Energía cinética total de un cuerpo rígido Energía total ...

Description

Índice: 1.

INTRODUCCIÓN

1

2.

FUNDAMENTO TEÓRICO

2

ENERGÍA MECÁNICA:

2

Cambios en energía mecánica para fuerzas no conservativas:

2

Energía de un cuerpo rígido

3

Energía cinética traslacional de un cuerpo rígido

4

Energía cinética rotacional de un cuerpo rígido

4

Energía cinética total de un cuerpo rígido

5

Energía total de un cuerpo rígido

6

3.

JUSTIFICACIÓN:

8

4.

OBJETIVOS

9

Objetivo general:

9

5.

METODOLOGIA DE LA PRÁCTICA:

10

Materiales:

10

Procedimiento

12

6.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS:

15

7.

CONCLUSIONES

25

8.

RECOMENDACIONES

26

9.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

27

Bibliografía

27

ANEXO

28

1. INTRODUCCIÓN Un cuerpo rígido en un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, este es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes que pertenecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento. Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento. El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación, pero no rotando en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación. En el presente informe dividimos la información contenida para que sea más fácil su comprensión: Primero la introducción, dentro del cual se encuentra una breve reseña a lo que es la dinámica de rotación; el fundamento teórico, la importancia de la práctica realizada, los objetivos generales y específicos, la metodología de la práctica, la discusión de los resultados, las conclusiones, las recomendaciones, las referencias bibliográficas y por último los anexos.

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2. FUNDAMENTO TEÓRICO ENERGÍA MECÁNICA: La energía mecánica de un cuerpo o de un sistema físico es la suma de su energía cinética y la energía potencial. Se trata de una magnitud escalar relacionada con el movimiento de los cuerpos y con las fuerzas de origen mecánico, como son la fuerza gravitatoria y la de origen elástico, cuyo principal exponente es la Ley de Hooke. Ambas son fuerzas conservativas. La energía mecánica asociada al movimiento de un cuerpo es la energía cinética, que depende de su masa y de su velocidad. En cambio, la energía mecánica de origen potencial o energía potencial, tiene su origen en las fuerzas conservativas, proviene del trabajo realizado por éstas y depende de su masa y de su posición. El principio de conservación de la energía relaciona ambas energías y expresa que la suma de ambas energías, la energía potencial y la energía cinética de un cuerpo o un sistema físico, permanece constante. Dicha suma se conoce como la energía mecánica del cuerpo o del sistema físico.

Cambios en energía mecánica para fuerzas no conservativas: En los sistemas reales, las fuerzas no conservativas, como las fuerzas de fricción, están presentes y no se verifica la conservación de la energía mecánica de manera rigurosa. No obstante, si la magnitud de las fuerzas de fricción es despreciable en relación a las fuerzas de origen conservativo, la energía mecánica del cuerpo se modifica poco y su conservación se aplica como buena aproximación. Cuando las fuerzas de fricción son apreciables, debe aplicarse un principio de conservación de energía más general, donde se incluya el trabajo debido a las fuerzas de fricción. En el cálculo de la energía mecánica de un sistema físico o en la aplicación del principio de conservación de la energía, es determinante conocer el tipo de fuerzas, conservativas o no conservativas, a las que está sujeto el sistema físico, así como el entorno en el que se aplica ∑ W otras f uerzas − f k d = ∆K (1) En este caso, − f k d  es la cantidad por la que cambia la energía mecánica del sistema debido a la fuerza de fricción cinética.

2

En general, si actúa una fuerza de fricción dentro de un sistema aislado ∆F max = ∆K + ∆U =− f k d (2) Donde ∆U es el cambio en todas las formas de energía potencial. Note que la ecuación 2 se reduce a la ecuación si la fuerza de fricción es cero. Si el sistema en el que actúa la fuerza no conservativa es no aislado, la generalización de la ecuación 1 es:

∆F max =− f k d + ∑ W otras f uerzas (3)

Energía de un cuerpo rígido Energía cinética de un cuerpo rígido En la unidad de trabajo y energía, se encontró que a una partícula de masa mi ,con velocidad vi respecto a un sistema de referencia inercial determinado, se le asocia una energía cinética dada por E ki = 12 mv2 (4)

Para un cuerpo rígido, que es un caso particular de un sistema de partículas, la energía cinética total está dada por la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que lo conforman, esto es E k = ∑ 12 mi vi2 (5) i

Donde el término entre paréntesis corresponde a la energía cinética de la partícula i, que tiene masa mi y velocidad con magnitud vi . De acuerdo a la forma como se ha planteado la ecuación (5), se tiene que la energía cinética es una cantidad asociada a cualquier partícula que se encuentre en movimiento, independientemente del tipo de movimiento o de la trayectoria descrita. A diferencia del caso de una partícula, en un cuerpo rígido es necesario distinguir entre energía cinética traslacional y energía cinética rotacional, ya que generalmente las fuerzas externas tienden a imprimir movimiento de traslación del centro de masa y movimiento de rotación del cuerpo alrededor de un eje determinado.

3

Energía cinética traslacional de un cuerpo rígido Cuando las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido, sólo tienen efectos de traslación pura, la energía cinética de traslación del cuerpo rígido está dada por la energía cinética del centro de masa, ya que en lo referente a traslación, el cuerpo rígido se comporta como si todas la fuerzas actuaran sobre él y como si su masa M se encontrara concentrada en dicho punto. Por ello, la energía cinética de esta partícula es Ek =

1 m v 2 (6) 2 i c

Siendo v c la magnitud de la velocidad del centro de masa. Esta situación física se muestra en la figura Nº1, en el caso de movimiento paralelamente al eje x.

Energía cinética rotacional de un cuerpo rígido

La partícula i de masa mi , al describir la

4

trayectoria circular con centro en el eje de rotación, tiene una rapidez que está relacionada con la rapidez angular por vi = wi , donde r i es el radio de la circunferencia que describe la partícula. Así, por la ecuación (5), se tiene que la energía cinética total del cuerpo rígido, debido al movimiento de rotación pura, adquiere la forma Ek =

1 2

(

∑ miR2i i

)

w2 (7)

Donde el término entre paréntesis corresponde al momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje de rotación, definido mediante la ecuación, con ri = Ri . Por consiguiente, la ecuación se transforma en E k = 12 Iw2 (8) Permite determinar la energía cinética total de rotación de un cuerpo rígido, y es de validez general ya que se cumple respecto a cualquier eje de rotación. Además, de nuevo se observa que el momento de inercia desempeña en rotación, el mismo papel que la masa en traslación. Cuando el cuerpo rígido rota alrededor de un eje principal de inercia, se satisface la ecuación L = I w y la ecuación (8) se convierte en Ek =

L2 2I

(9)

Que sólo es válida si el cuerpo rígido rota alrededor de un eje principal de inercia.

Energía cinética total de un cuerpo rígido Cuando un cuerpo rígido posee un movimiento combinado de traslación y rotación, se debe considerar separadamente la energía cinética traslacional y la energía cinética rotacional. Ahora, si el eje de rotación pasa por el centro de masa y al mismo tiempo el centro de masa tiene un movimiento de traslación respecto a un sistema de referencia inercial, como en la figura , la energía cinética total del cuerpo rígido, utilizando las ecuaciones (4) y (8) , está dada por Ek =

1 2 1 2 2m iv c + 2 Iw (10)

Donde el primer término a la derecha de la igualdad, es la energía cinética de traslación del centro de masa y el segundo término, la energía cinética de rotación respecto a un eje que pasa por el centro de masa. La cantidad I C , en la ecuación, es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje que pasa a través del centro de masa.

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Lo anterior tiene sentido, ya que en un cuerpo rígido el centro de masa está fijo en el cuerpo y el único movimiento que el cuerpo puede tener respecto a un eje que pase por su centro de masa es de rotación.

Energía total de un cuerpo rígido Teniendo en cuenta la definición de cuerpo rígido, la distancia entre cualquier pareja de partículas no cambia durante el movimiento. Por ello, se puede suponer que la energía potencial propia o interna permanece constante, lo que permite no considerarla cuando se analiza el intercambio de energía del cuerpo con sus alrededores. En concordancia con el teorema del trabajo y la energía, que es válido para el caso de un cuerpo rígido, se tiene W ext = ∆Ek = E k − E ko , (11) Donde W ext es el trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido. Ahora, si sobre el cuerpo rígido actúan simultáneamente fuerzas externas conservativas y no conservativas, el trabajo total se puede expresar como W ext = W c + W nc (12) Siendo W c el trabajo realizado por las fuerzas externas conservativas y Wnc el trabajo de las fuerzas externas no conservativas. Teniendo en cuenta que Wc = −∆Ep y con ayuda de la ecuación (11), es posible demostrar que la ecuación (12) se convierte en W nc = (E k + E p) − (E ko + E po) = ∆E (13) Con E correspondiendo a la energía total del cuerpo rígido y Ep a la energía potencial asociada con las fuerzas externas conservativas. La ecuación (13) , igual que en el caso de una partícula, muestra que la energía total de un cuerpo rígido no se conserva cuando sobre él actúan simultáneamente fuerzas externas conservativas y no conservativas, esto es, el sistema es no conservativo. La ecuación (13) se emplea, por ejemplo, cuando sobre un cuerpo rígido actúan simultáneamente la fuerza gravitacional y la fuerza de fricción dinámica. En el caso particular que sobre el cuerpo sólo actúen fuerzas externas conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es nulo, y la ecuación (13) se transforma en (E k + E p ) − (E ko + E po) = ∆E = 0 (14) Que expresa la conservación de la energía. Así, cuando sobre el cuerpo únicamente actúan fuerzas externas conservativas, la energía total mecánica permanece constante, es decir, el sistema es conservativo.

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De los resultados anteriores se puede afirmar que son idénticos a los obtenidos para el caso de una partícula; la diferencia radica en el hecho que para un cuerpo rígido sólo se deben tener en cuenta las fuerzas externas, ya que también se presentan fuerzas internas en este tipo de sistema. Matemáticamente, la conservación de la energía total se expresa en la forma E = Ek + Ep = 12 mi v2c + 12 I C w2 + E p = C onstante . (15) En el caso particular de un cuerpo rígido que cae por acción de la gravedad y a la vez rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, como se ilustra en la figura Nº3 la ley de conservación de la energía adquiere la forma

E = 21 Mv c2 + 12 I C w 2 +mg yc = C onstante (16) Donde yc es la altura del centro de masa, respecto al nivel cero de energía potencial gravitacional. Es importante notar en este punto que cuando un cuerpo rígido rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa, actúa la fuerza de fricción estática Fs. Esta fuerza de fricción no realiza trabajo, ya que la velocidad del punto de contacto vP , respecto a la superficie, es cero. Es decir, para un desplazamiento infinitesimal. dW = F s · dr = F s · dr

dt dt

= F s · vP dt = 0.

(17)

7

Por lo tanto, si sobre un sistema actúan simultáneamente fuerzas conservativas y la fuerza de fricción estática, el sistema es conservativo.

3. JUSTIFICACIÓN: ¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, una sierra circular y un ventilador de techo? Ninguno, estos pueden representarse adecuadamente como un punto en movimiento; todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fijo en algún marco de referencia inercial. La rotación se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electrones en los átomos hasta los movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos desarrollar métodos generales para analizar el movimiento de un cuerpo en rotación. En este capítulo y en el siguiente consideraremos los cuerpos con tamaño y forma definidos que, en general, pueden tener movimiento rotacional además de traslacional. Los cuerpos reales llegan a ser muy complejos; las fuerzas que actúan sobre ellos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos A partir de determinados indicios y conjeturas en relación con el movimiento de los cuerpos dotados de rotación intrínseca, se ha realizado un análisis del comportamiento dinámico de los cuerpos en rotación. Como resultado de esta investigación, han sido concebidas unas hipótesis en relación con el comportamiento de los cuerpos dotados de momento angular intrínseco que han dado lugar al diseño de un modelo matemático alternativo en dinámica rotacional. Tanto las hipótesis de partida, como el modelo matemático alternativo han sido confirmados mediante pruebas experimentales, realizándose también un modelo fisicomatemático de simulación de este comportamiento. Estas Leyes de Dinámica Rotacional se fundamentan en la imposibilidad inercial de la materia, en determinados supuestos, de modificar su estado dinámico, proponiendo el concepto de inercia rotacional, como una invariante de la masa. Estas leyes se conciben como una negación de la naturaleza al acoplamiento selectivo y discriminante hasta ahora reconocido, y permiten concebir una Teoría de Interacciones Dinámicas alternativa y especifica para los cuerpos dotados de momento angular. La dinámica propuesta permite comprender con facilidad ciertos efectos de los cuerpos en rotación, cómo interacciones dinámicas. La aplicación de estas hipótesis dinámicas a otros ámbitos de la física y de la tecnología, posiblemente permita nuevos y sugestivos

8

avances en investigación.

4. OBJETIVOS: Objetivo general: ● Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.

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5. METODOLOGIA DE LA PRÁCTICA: Materiales: ● Un par de rieles paralelos (como plano inclinado)

Figura Nro 4 : (elaboracion propia) ● Una rueda de Maxwell

Figura Nro 5 : (elaboracion propia) ● Un cronómetro digital

Figura Nro 6: (elaboracion propia) ● Una regla milimetrada

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Figura Nro 7 : (elaboracion propia) ● Una balanza

Figura Nro 8 : (elaboracion propia) ● Un nivel

Figura Nro 9: (elaboracion propia)

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Procedimiento

1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles. 2. Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados unos 10cm entre sí.

Figura Nro 10 : (elaboracion propia) 3. Mida con el pie de rey (vernier) el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenga en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual. 4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de rodadura pura (sin patinaje)

Figura Nro 11: (elaboracion propia)

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5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente comience a medir el tiempo (es decir, t0=0); mida los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente. Tome tres mediciones para t1, t2, t3 y diez mediciones para t4. Figura Nro 12: (elaboracion propia)

6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4. Figura Nro 13 : (elaboracion propia) 7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda) y mida 3 veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4. 8. Mida los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (como para calcular el volumen).

13

Figura Nro 14: (elaboracion propia)

Figura Nro 15: (elaboracion propia)

9. Suspenda la rueda Maxwell de su borde interior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría. (estos datos debe guardarlos para el siguiente experimento).

6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS: 6.1. Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3, t4, grafique los puntos (0,0), (t1, A0A1), … (t4, A0A4). t

d

0

0

5,767

10

8,103

20

10,12

30

14

11,833

40

P ara θ1 :

Tabla Nro 1: (elaboracion propia)

P ara θ2 : t

d

0

0

7,923

10

9,737

20

12,387

30

15,421

40

15

Al

analizar las gráficas

notamo : r =

ndo una parábola de ecuación

¿Es el movimiento uniformemente acelerado? Teóricamente debería serlo, pero en el experimento existen diversos factores que hacen que los resultados no sean específicamente los esperados, por ejemplo, la inexperiencia de nosotros los estudiantes para realizar el experimento, pero incluso con nuestros resultados podemos decir que sí, la aceleración es constante para un mismo ángulo de inclinación.

6.2. Grafique d vs t2 . P ara θ 1 :

d

t2

0

0

10

33,258

20

65,658

30

102,414

40

140,019

16

d

t2

0

0

10

62,774

20

94,809

30

153,438

40

237,807

P ara θ2 :

Antes de desarrollar lo siguiente es necesario hacer un análisis de las aceleraciones. Análisis de la aceleración: aremos el desarrollo para el primer ángulo, de forma equivalente se procede para el segundo ángulo. ● ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A0A1: 2 Sabiendo que: A0A1 =  V0t + (1/2)at

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Y también que V 0 = 0, entonces: 10 cm = (0)( 5....