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Fundamentos de Química Inorgánica SERIES DE BALMER, LYMAN Y PASCHEN Alejandra González H., Juliana A. Martínez F., Juliana García P. Departamento de Química, Universidad del Quindío Docente. Alejandro García R.

La figura muestra un aparato usado para medir espectros atómicos, la fuente consiste en una descarga eléctrica que pasa a través de una rendija que contiene un gas mono atómico. Debido a las colisiones con los electrones y con otros átomos, algunos de los estos en la descarga quedan en un estado en el que su energía total es mayor que la energía de un átomo normal. Al regresar a su estado de energía normal, los átomos liberan su exceso de energía mediante la emisión de radiación electromagnética. Esta radiación se Figura : Aparato para medir espectro atómico colima mediante una rendija y pasa a través de un prisma, donde se rompe en su espectro de longitudes de onda para registrarse en una placa fotográfica. A cada una de estas longitudes de onda se le denomina línea ya que, en la placa fotográfica cada una de ellas deja una imagen de la rendija, se ha demostrado por investigaciones que para cada átomo existe su espectro característico, es decir, las líneas del espectro se encuentran en un conjunto de longitudes de onda característico. Este hecho es de gran importancia práctica ya que, hace de la espectroscopia una técnica muy útil que viene a sumarse a las técnicas usuales del análisis químico. Se ha dedicado mucho esfuerzo a mejorar las medidas de los espectros atómicos, debido a que los espectros consisten en muchos cientos de líneas y por lo general son muy complicados. Sin embargo, Figura1: Espectro el espectro del átomo de Hidrogeno es relativamente simple, debido a que es un átomo sencillo que átomo de hidrogeno contiene solamente un electrón. Este átomo es considerado de interés práctico. El espectro atómico del Hidrogeno representa la parte que cae aproximadamente dentro del intervalo de longitudes de onda visibles, se ve que el espaciamiento entre líneas adyacentes del espectro, en longitudes de onda, decrece continuamente conforme decrece la longitud de onda de las líneas, de manera que la serie de líneas converge a la llamada límite de la serie entre 3645.6 Ᾰ. Las líneas de longitud de onda corta, incluyendo el límite de la serie son difíciles de observar experimentalmente debido al poco espaciamiento y que se encuentran en el ultravioleta. La regularidad del espectro del hidrogeno llevo a muchas personas a buscar una fórmula empírica que representara la longitud de onda de las líneas. Tal formula fue descubierta por Balmer en 1885 y es la ecuación simple:

λ=3646

n2 n −4 2

Donde n=3 para H α , n= 4 para H β , n=5 para para las primeras nueve líneas de serie.

H γ , etcétera; y es capaz de predecir las longitudes de onda

Este descubrimiento inicio una investigación para formulas empíricas similares que pudieran aplicarse a series de líneas que en ocasiones son identificables dentro de la distribución complicada de líneas que constituyen a los espectros de otros elementos.

Fundamentos de Química Inorgánica

Rydberg en 1890 encontró conveniente trabajar con el reciproco de la longitud de onda de las líneas en vez de la longitud de onda misma. En términos del reciproco de longitud de onda K la fórmula de Balmer se puede escribir así:

(

)

1 1 1 K= =R H 2 − 2 → n=3,4,5 ,… λ 2 n R H es la constante de Rydberg para el Hidrogeno. A partir de datos espectroscópicos, se sabe que su valor es R H =10967757.6 ±1,2 m . Donde

Se han encontrado formula de este tipo para un numero de series, por ejemplo se conoce la existencia de cinco series de líneas del espectro del hidrogeno.

Tabla : Serie del Hidrogeno Para átomos de elementos alcalinos (Li, Na, K,..) las fórmulas para las series son de la misma estructura general:

m−a ¿ 2 ¿ 2 n−b ¿ ¿ ¿ 1 ¿ 1 K= =R ¿ λ Donde Res la constante de Rydberg para el elemento particular, a y b son constantes para la serie particular, m es un entero que es fijo para la serie particular y n es un entero variable. La constante de Rydberg tiene el mismo valor dentro de un 0,05% para todos los elementos, aunque muestra un ligero incremento sistemático cuando se incrementa el peso atómico. Se ha analizado el espectro de emisión de un átomo hasta el momento , una propiedad íntimamente relacionada con este es el espectro de absorción, el cual se puede medir con un aparato similar al del espectro de emisión excepto que se utiliza una fuente que emite un espectro continuo y una celda con paredes de vidrio que contiene al gas monoatómico y que se inserta entre la fuente y el prisma , después del revelado la placa fotográfica está totalmente

Fundamentos de Química Inorgánica obscurecida excepto en cierto número de líneas , las cuales representan un conjunto de longitudes de onda del espectro continuo que incide sobre el prisma que se han perdido y que debieron ser absorbidas por los átomos del gas que se encuentran en la celda.

Se observa que para cada línea en el espectro de absorción de un elemento existe una línea (de la misma longitud de onda) correspondiente en su espectro de emisión, sin embargo el inverso no es cierto. Solo algunas líneas de emisión se muestran en el espectro de absorción. Normalmente para el átomo de hidrogeno solo aparecen en el espectro de Absorción las líneas que corresponden a la serie de Lyman, pero cuando el gas está a alta temperatura las líneas que se encuentran corresponden a la serie de Balmer. A partir del modelo de Bohr se pudo explicar la deducción de la ecuación propuesta por Balmer para la serie espectral para el átomo de hidrogeno. La justificación de los postulados de Bohr solo se puede corroborar por medio de resultados experimentales. Considérese un átomo que consiste de un núcleo de carga +Ze y masa M y un solo electrón de carga –e y masa m. para un átomo de Hidrogeno neutro Z=1, para un átomo de Helio simplemente ionizado Z=2, para un átomo de Litio doblemente ionizado Z=3, etcétera. Supóngase que el electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo. Inicialmente se supone que la masa del electrón es completamente despreciable comparada con la masa del núcleo y consecuentemente se asume que el núcleo permanece fijo en el espacio. La condición de estabilidad mecánica del electrón es:

v2 1 Ze =m r 4 π ϵ0 r 2 2

1.

Donde v es la velocidad del electrón en su órbita y r es el radio de esta. 1 La primera parte de la ecuación corresponde a la fuerza de Coulomb que actúa sobre el electrón y la segunda parte es m.a donde a es la aceleración centrípeta que mantiene al electrón en su órbita circular. El impulso angular orbital del electrón L= m v r es una constante. Aplicando la ecuación de cuantización, L se obtiene: 2.

m v r =n ħ

Resolviendo para v y sustituyendo en 1., se obtiene:

Z e =4 π ϵ 0 m v 2 r=4 π ϵ0 mr 2

3.

r=4 π ϵ0

( )

nħ 2 n2 ħ2 =4 π ϵ 0 mr mr

n2 ħ2 → n=1,2,3 … mZ e 2

nħ 1 Ze v= = → n=1,2,3 … mr 4 π ϵ0 nħ 2

4.

Si se evalúa el radio de la órbita más pequeña (n=1) para un átomo de hidrogeno (Z=1) poniendo los valores conocidos de h, m, e se obtiene r =5,3 * 10−11 m aproximadamente 0,5 Ᾰ, el conocido radio de Bohr. Posteriormente se verá que el electrón tiene su energía total mínima cuando se encuentra en la órbita n = 1. Consecuentemente el radio de esta orbita se puede interpretar como una medida del radio de un átomo de hidrogeno 1

Fundamentos de Química Inorgánica en su estado normal, lo que explica la ecuación previa. Evaluando la velocidad orbital de un electrón en la órbita más pequeña de un átomo de hidrogeno se obtiene que v = 2,2 * 106 se puede ver que esta es la velocidad máxima posible para un electrón en un átomo de hidrogeno, que esta velocidad sea menor que el 1 % que la velocidad de la luz justifica que en el modelo de Bohr usen mecánica clásica y no mecánica relativista.

Definiendo el 0 de la energía potencial cuando el electrón se encuentra a una distancia infinita desde el núcleo. Entonces la energía potencial V para cualquier distancia finita r se puede obtener integrando el trabajo que hará la fuerza de Coulomb actuando desde r hasta infinito, entonces:

∞

V =−∫ r

−Z e2 Z e2 dr= 4 π ϵ0 r 4 π ϵ0r 2

La energía potencial es negativa debido a que la fuerza de Coulomb es atractiva y se requiere hacer trabajo para mover al electrón desde r hasta infinito en contra de esta fuerza. Se puede evaluar la energía cinética del electrón como:

1 Z e2 K= m v 2= 2 4 π ϵ02 r Entonces la energía total E del electrón es: 2

E=K +V =

−Z e =−K 4 π ϵ0 2 r

Utilizando (3) para r minúscula en la ecuación anterior, se tiene: 2

5.

2

4 π ϵ0 ¿ 2 ħ ¿ ¿ 2 4 −m Z e E= ¿

Se observa que la cuantización del impulso angular orbital del electrón conduce a una cuantización de la energía total.

La información contenida en la ecuación 5 mediante un diagrama de niveles de energía se presenta en la siguiente figura:

Figura 2: Diagrama de niveles de energía

Fundamentos de Química Inorgánica Para calcular la frecuencia v de la radiación electromagnética emitida cuando el electrón sufre una transición del estado cuántico ni al estado cuántico nf , esto quiere decir cuando el electrón cambia de manera discontinua de un orbital

v=

ni a un orbital nf

entonces usando el cuarto postulado de Bohr se tiene:

(

2 E i−Ef m Z 2 e4 1 1 =+ 1 − h 4 π ϵ 0 4 π ħ3 n2f n2i

(

)

) 1 v k= = λ c

En términos del reciproco de la longitud de onda

(

)

1 2 ∗m e 4 4 π ϵ0 1 1 k= ∗Z 2∗ 2 − 2 3 nf n i 4πħ c

(

)

O

1.

(

k =R ∞ Z 2∗

)

1 1 − 2 donde R∞ ≡ n2f ni

(

)

1 2 ∗m e 4 4 π ϵ0 4 π ħ3 c

Donde ni y nf son enteros.

Las predicciones esenciales del modelo de Bohr están contenidas en (5) y (6). Primero se analizara la emisión de radiación electromagnética por un átomo de Bohr mono eléctrico en términos de estas ecuaciones. 1. El estado normal del átomo será el estado en el cual el electrón tiene la energía más baja es decir, el estado n = 1. A este se le llama el estado básico (estado base significa estado fundamental). 2. En una descarga eléctrica o en algún otro proceso, el átomo recibe energía debido a las colisiones, etc. Esto significa que el electrón deberá sufrir una transición a un estado de mayor energía o esta excitado en el cual n ¿1 . 3. Obedeciendo la tendencia común de todos los sistemas físicos el átomo emitirá su exceso de energía y regresara a su estado base. Esto acompañado por una serie de transiciones en las cuales el electrón cae a estados excitados de menor energía hasta que llega al estado base. En cada transición se emite radiación electromagnética. 4. Durante el espectro de medición de un espectro atómico, tiene lugar un número muy grande de excitaciones y des excitaciones, de manera que emite el espectro completo y ocurren todas las transiciones posibles. La ecuación (6) proporciona todas las longitudes de onda o recíprocos de estas de las líneas que constituyen el espectro. Para el hidrogeno Z = 1 considérese el subconjunto de líneas espectrales que provienen de las transiciones en las cuales nf es igual a 2. Según (6) los recíprocos de las longitudes de onda de estas líneas están dados por:

(

k =R ∞∗ O

)

1 1 − → n f =2 y ni >n f 2 nf n2i

Fundamentos de Química Inorgánica

1

(2 − n1 )→ n=3,4,5,6 …

k =R ∞∗

2

2

Que es idéntica a la fórmula para la serie de Balmer del espectro del hidrogeno, si R∞

es igual a

RH .

De acuerdo con el modelo de Bohr:

(

R∞ =

)

1 2 ∗m e4 4 π ϵ0 4 π ħ3 c

Aunque algunos de los valores numéricos de las cantidades utilizadas en esta ecuación no se conocían con precisión en aquella época, Bohr evaluó R∞ en términos de estas cantidades y encontró que el valor resultante concordaba muy bien con el valor experimental de Hidrogeno resultan

R H . Según el modelo de Bohr las series conocidas para el espectro del

De un subconjunto de transiciones en las cuales el electrón llega a un estado cuántico final, para la serie de Lyman nf =1 , para la de Balmer nf =2 , para la de Paschen nf =3 , para la de Brakett nf =4 y para Pfund

nf =5 . La transición que da lugar a una línea partícula de una serie indicada se demuestra en un diagrama de niveles de energía y se indica mediante una flecha que va del estado cuántico inicial ni al estado cuántico final nf . Solo se muestran las flechas que corresponden a las primeras líneas de cada serie y al límite de la misma ya que, la distancia entre dos niveles de energía es proporcional a la diferencia de energía entre estos dos niveles y en vista de que la frecuencia b es proporcional a la Diferencia de energía, la longitud de cualquiera de las flechas es proporcional a la frecuencia de la línea espectral correspondiente, las longitudes de onda de las líneas de todas estas series se satisfacen en forma muy adecuada utilizando el valor de nf apropiado. En el diagrama solo aparecen las primeras tres series (Lyman, Balmer y Paschen). El triunfo del modelo de Bohr se dio a que cuando este fue desarrollado, no habían sido descubiertas las series de Lyman, Brakett y Pfund. El modelo trabaja igualmente bien en el caso de átomos monoelectrónicos, es decir, átomos de Helio ionizados y su espectro es totalmente igual al del Hidrogeno con la excepción que las frecuencias de las longitudes de onda de todas las líneas son casi exactamente cuatro veces mayores.

Figura 3: Líneas espectrales de Series Lyman, Paschen y Balmer

Fundamentos de Química Inorgánica REFERENCIAS 

R.Eisberg , R.Resnick – Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Pag (128-135)...