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Il Poligono Funicolare Parte I Nel seguito si illustra il metodo grafico fondamentale per la riduzione di un sistema piano di forze, il poligono funicolare, che si pone come alternativa alla tecnica di riduzione connessa alle semplici operazioni di composizione e scomposizione vettoriale.

Lezioni di Scienza delle Costruzioni

Elementi di Teoria delle Strutture

Lezione . Il poligono funicolare

Il poligono funicolare: Riduzione di un sistema di forze ad una unica forza (Condizione a.i) Si consideri un sistema piano di “m” forze F1, F2,…, F m con punti di applicazione rispettivamente Q1, Q2, …, Qm (e rette r1, r2, …, rm ) a risultante non-nullo 0 3

F = F1 + F2 +…+ Fm  0.

F1 Q3

Q1

F2

F1

FA

F3

2'

P*

F 2 = F1 + F2

Q2

λ∗

1

F2

F

1' 3'

FB

2

0' r1

r3

r2 rF

F3 3

Il relativo poligono dei vettori 0-1-2-…-m, costruito a partire dal punto 0 arbitrariamente scelto, risulta aperto con risultante fornito (in intensità, verso e direzione) dall’equipollente vettore congiungente il primo con l’ultimo spigolo del poligono

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Lezione . Il poligono funicolare

In particolare, poiché i lati del poligono sono costituiti da vettori equipollenti alle 0 forze componenti il sistema 3

F1 FA

i vettori congiungenti il primo punto “0” del poligono con lo j-esimo vertice rappresentano le risultanti parziali delle precedenti j forze, ovvero F j = x0,j = F1 + … +F j, e, per j = m, si ha il risultante totale

P

*

F 2= F1 + F2

F 1= x0,1 , F2 = x1,2 ,…, Fm= x m-1,m

λ∗

1

F2

F FB

2

F3

F = F m = x0,m = F 1 + F 2 + F3 +… +Fm. 3

P* ,

Si consideri un arbitrario punto del piano denominato polo, a partire dal quale si proiettino i raggi congiungenti P* con i vertici del poligono delle forze; considerati i vettori distesi lungo i raggi così individuati è possibile operare una scomposizione di ciascuna forza componente il sistema del tipo F1 = x0,1 = x 0,P* + xP*,1, F2 = x1,2 = x1,P* + xP*,2 , F3 = x2,3 = x2,P* + xP*,3 , Fm = x m-1,m = xm-1,P* + x P*,m

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Lezione . Il poligono funicolare

Dunque con riferimento al risultante parziale delle prime j forze del poligono dei vettori, si ha Fj = x0,j = F1 + … +Fj = x0,P* + x P*,1+

+ xj-1,P* + xP*,j = x0,P* + x P*,j

mentre, con riferimento al risultante globale, si ha F = Fm = x0,m = x 0,1 + x 1,2+ x 2,3 + … + xm-1,m = = (x0,P* + x P*,1) + (x 1,P* + xP*,2) + (x2,P* + x P*,3) +…+ [xm-1,P* + xP*,m]= = x 0,P* + xP*,m = F A + FB il che esprime la semplice regola di scomposizione vettoriale del risultante delle forze nei due vettori FA ed F B distesi secondo la prima e l’ultima proiettante del poligono dei vettori.

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Lezione . Il poligono funicolare

Si definisce poligono funicolare un qualsiasi poligono 0’-1’ -2’-…m’, i cui lati siano ordinatamente paralleli alle proiettanti P*-0, P *-1, P *-2…, P *-m. La posizione del poligono delle forze Fig.b) non influisce sulla costruzione del poligono funicolare Fig.a), che dipende, invece, dalla scelta del polo P* e del lato 0’1’ tra le rette parallele al lato 0P del poligono dei vettori. La arbitrarietà di questa scelta in base a tre parametri indipendenti (le due coordinate di P* e ascissa di intersezione del lato 0’-1’ con l’asse orizzontale) denota la circostanza secondo cui, per un assegnato sistema di forze, è possibile individuare 3 poligoni funicolari che le connettano.

a) 2' 1'

F2

F1

3'

0' r2

r1

0

r3

F3

F1 1

rF

P* F

F2 2

F3

b) 3

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Lezione . Il poligono funicolare

Si dimostra che, comunque si tracci il poligono funicolare di connessione di un assegnato sistema di forze, il risultante del sistema F ha retta d’azione passante per il punto di intersezione del primo e dell’ultimo lato del poligono funicolare.

a)

b)

2'

* P1

1' 3'

0'

2'

P* 2

2P * 3'

0'

F3

r1

rF

r

r3

2

3

r3

*

r2

P

rF 0

F1

* P1

1

P* F

1P P *2

F2

*

F2

2P *

2 *

P

3

F3 3

F1

0P *

r1

*

0P *

F2

F1

1P

1'

c)

F3

Polifuni.ds4

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Lezione . Il poligono funicolare

La dimostrazione di tale asserto è, in realtà, immediata e discende dalla diretta applicazione delle fondamentali regole di composizione e scomposizione vettoriale, come viene illustrato di seguito. Poiché ciascuna forza è equivalente ad una qualsiasi altra forza ad essa equipollente e con medesima retta d ’azione, la singola forza può essere traslata indifferentemente lungo la sua retta d’azione. Una volta costruito il poligono funicolare per l’assegnato sistema, si traslino allora le forze componenti il sistema nei vertici del poligono, 1’,2 ’,…m’ , in modo che a ciascuno di essi corrisponda rispettivamente la forza F1, F 2,…Fm, ovvero secondo la regola di associazione (j’ , Fj ) (Fig. a); si scomponga quindi la singola forza Fj secondo le direzioni dei lati che convergono nel relativo vertice j (Fig. b): è facile riconoscere la equazione precedentemente introdotta F j = 0j = F1 + … +Fj = 0P* + P*1+

+ P*j = 0P* + P*j

ovvero che le componenti di ciascuna forza secondo i lati del poligono funicolare ad essi relativi sono equipollenti ai vettori distesi lungo i lati del poligono dei vettori, con la differenza (notevole) che ne sono ora note le rette di azione, che coincidono, appunto, con i lati del poligono funicolare (Fig. c).

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Lezione . Il poligono funicolare

b)

a) 2'

* P1

1' 3'

0'

P *2

2P

*

3'

0'

F3

r2

r1

3

r3

*

r2

P

r1

2'

0P *

F2

F1

*

1P

1'

r3

rF

rF

Si nota che i lati “interni” del poligono funicolare sono interessati da forze uguali ed opposte (ovvero equipollenti e con medesima retta d’azione, dunque in equilibrio tra loro) del tipo xj,P* e xP*,j , equivalenti a zero.

c)a) 2'

0P *

1' 3' *

P3

0'

r1

r2

r3

rF

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Lezione . Il poligono funicolare

*

3

a)

P

0P *

A

b)

F 2'

2' 1'

0P *

1'

3'

3' 0'

*

P3

0'

r1

r2

r3

rF

r1

r2

r3

rF

Dunque tutto il sistema di forze è riducibile alle componenti individuate sul primo e l’ultimo lato del poligono funicolare, ovvero x0,P* e x P*,m (Fig.a). Queste possono a loro volta essere traslate nel punto di intersezione delle relative rette d’azione “A”, coincidenti con il primo e l’ultimo lato del poligono funicolare ed essere composte fornendo il risultante F, equipollente al vettore 0m del poligono dei vettori e con la effettiva retta rF d’azione passante per “A” , detta asse centrale del sistema di forze (Fig.b).

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Lezione . Il poligono funicolare

Il poligono funicolare: Riduzione di un sistema di forze ad una forza ed una coppia (Condizione a.ii) Si consideri un sistema piano costituito da “m” forze F1, F 2 ,…, Fm parallele tra loro con punti di applicazione rispettivamente Q1, Q 2, …, Qm (e rette r 1, r2, …, rm ), a risultante non-nullo F = F1 + F2 +…+ Fm  0. Se ne operi, attraverso la costruzione del poligono funicolare, una riduzione ad un risultante F applicato all’asse centrale del sistema: a tale scopo si tracci dunque il poligono delle forze 0-1-2-… -m, che consente di identificare nel vettore 0m un vettore equipollente al risultante F; si scelga quindi il polo P* e si indichi con * la distanza di P* dalla retta d’azione di 0m, detta distanza polare. Si proceda conseguentemente alla costruzione del poligono funicolare, tramite cui è possibile individuare l’asse centrale del sistema nell’asse con la direzione del vettore 0m e passante per il punto A fornito dalla intersezione del primo e dell’ultimo lato del poligono .

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Lezione . Il poligono funicolare

Si consideri di volere operare una riduzione del sistema ad un risultante F applicato su un asse r’ F parallelo all’asse centrale rF e passante per il punto A’ arbitrariamente scelto e ad una coppia MA’ attraverso la costruzione del poligono funicolare. Risulta chiaro che il problema consiste nella valutazione di MA’ , pari al momento risultante del sistema di forze rispetto al polo A’. A'

0

M A F1 F

Q1

λ∗

Q3

A Q2 2'

F1 1'

F

F2

P

F3 F2

1

*

3'

2

F3 0'

r2

r1

r

3

d 3

r' F rF

Per inciso, è immediato verificare che il trasporto del risultante F da rF ad r’F genera una coppia MA’ di momento pari al momento di F applicato in A rispetto ad A’ (modulo della forza F per il braccio “d”, ovvero M A’ =F·d), ovvero al momento di trasporto di F da rF ad r’ F.

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Lezione . Il poligono funicolare

Si proceda allora alla costruzione del poligono funicolare 0’-1 ’-2’ -…m’ e si tracci per A ’ la retta r’ F parallela alla direzione di 0m (ovvero di F) e con verso concorde al verso di F; si intercettino dunque su r’F le intersezioni dei lati del poligono funicolare nei punti I1 , I2 , …, Im+1 . Si dimostra che, con riferimento alla j-esima forza Fj, il vettore Ij Ij+1 congiungente i punti Ij ed Ij+1, di verso positivo se concorde con il verso di r’F , è direttamente proporzionale al momento MF j,A’ della forza Fj rispetto al polo A’ . A'

0

F1

I1

Q1

Q2 2'

F1 1'

λ∗

Q3

A I4 I

F2

F3

2

3'

I3

1

F2

P

*

2

F3 0' r1

r2

r

r' F rF

3

3

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Lezione . Il poligono funicolare

A'

0

F1

I1

λ∗

Q3

A

Q1

Q2 2'

F1 1'

I4

F3

I2

F2

I3

1

F2

P*

3'

2

F3

3 0'

r2

r1

r3

3

r'F rF

Si osserva che sussistono le seguenti similitudini tra i triangoli relativi al poligono funicolare ed al poligono dei vettori rispettivamente: 1 ’I1I 2 ↔ P* 01,

2’ I2 I3 ↔ P*12,…,

m ’I mIm+1 ↔ P *(m-1)m

che permettono di definire le seguenti proporzioni:

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Lezione . Il poligono funicolare

01  * * *  Ib1*I 2  *  I 1I 2    01  b 1, A'  F 1 b 1, A' ,  1, A'  I 2I 3 12 * * *  *  *   I2 I3      12  b2 ,A'  F2  b2 ,A ' , b   2, A'  ....   I m I m 1 m  1m   I m I m 1   *  m  1m  b m* ,A'  Fm  b*m ,A ' .  b* *  m ,A' ' * 3,A

b

* 2,A '

,

* 1A '

b

b

0

A' b3

b1

,A

F1

,A '

I1

'

A

Q

F1

2

P*

I4

2' 1'

λ∗

Q3

b 2,A'

Q1

F2

F3

I2

F2

1

2

3'

I3

F3 0' r1

r2

r3

3 r'F rF

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Lezione . Il poligono funicolare

Come noto, i momenti delle singole forze rispetto al polo A’ valgono, con i loro moduli,  F * F M 1,A'  b 1,A'  F1 ,  F  M2,A'  b 2, A'  F2,   .... MF  b m ,A'  Fm ,  m ,A'

M 1,A'   F1  b 1,A' ,

M F2 ,A'  F2  b*2,A' MFm,A'   Fm  b*m ,A'

da cui , in generale, si ha

M Fj, A'  Fj b*j, A'  * I j I j 1 che esprime la relazione di diretta proporzionalità, tramite la distanza polare, del momento MF j,A’ della j-esima forza rispetto al polo A’ ed il segmento orientato Ij Ij+1 . Ricordando l’espressione del momento risultante del sistema di forze rispetto ad A’, con il suo modulo, si ha l’intensità della coppia ricercata MA’ M FA'   M jF,A'   b j A, '  Fj , j 1... m

M AF'    Fj  b*j,A'  *    I jI j 1   *  I1 I m 1

j1 ...m

j 1 ...m

j 1...m

in cui, come si può osservare, ancora il segno del momento risultante è appunto fornito dal segno del vettore I1Im+1 congiungente il primo punto di intersezione I1 con l’ultimo Im+1.

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Lezione . Il poligono funicolare

I4

MA  b 1 ,A ' Q1

F1

A

A'

b2

I1

Q2

I3

F2

0

Q3

F1

F3

FA F 2= F1 +

2'

I2 1'

b3,A'

,A '

F P*

λ∗

0' r1

r' F

rF

F2

F

r3

r2

F2

3'

1

FB

2

F3 3

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Lezione . Il poligono funicolare

Poligono funicolare: Riduzione di un sistema di forze ad una coppia (Condizione b) Da quanto esposto nei paragrafi precedenti si evince che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di forze sia riducibile ad una coppia è che il poligono delle forze sia chiuso, ovvero che il risultante delle forze sia nullo. In tale evenienza, a patto che il momento risultante MFA del sistema rispetto ad un qualsiasi polo A sia non nullo MFA ≠0, esso è invariante rispetto al polo, ovvero MFA= MF , ed il sistema è riducibile alla coppia M di intensità pari alla intensità del momento risultante M = MF. In Fig. è immediato verificare che, nel caso di un sistema costituito da tre forze, scelto come polo uno dei punti di intersezione delle rette di azione delle forze, k12 , k23 , k13, il momento risultante è fornito (con il suo verso) dalla sola terza forza per il braccio rispetto al polo.

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Lezione . Il poligono funicolare

In Fig. è immediato verificare che, nel caso di un sistema costituito da tre forze, scelto come polo uno dei punti di intersezione delle rette di azione delle forze, k12, k23, k 13, il momento risultante è fornito (con il suo verso) dalla sola terza forza per il braccio rispetto al polo. r 3

r2

k 12 3'

F2

F1

2' k 23

1'

0=3

F 0'

2

d

P -F

M =F d

k13 r1

F1

F3

F3

F

*

F2

1

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Lezione . Il poligono funicolare

Poligono funicolare: Riduzione di un sistema di forze a zero (Condizione c) Da quanto esposto, si evince che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di forze sia riducibile a zero (condizione di equilibrio del sistema per cui il risultante ed il momento risultante sono nulli) è che sia il poligono delle forze che il poligono funicolare siano chiusi. La prima condizione implica che il risultante delle forze sia nullo, la seconda 0=3 determina l’annullarsi del braccio della coppia (Fig.c). F

F1

F3 2

a)

*

P

b)

F2

c)

3'

-F

F2

F1

2'

k12 = k23 = k 13

F1

1'

F

F3

0'

1

F2

F2

3'

2'

2'

1'

1' 0'

F d1

F1

0'

F3 d2

-F

M =F 1 F d1

3'

F

-F

M= 0 F3

M =Fd 2 2

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Lezione . Il poligono funicolare

La condizione di poligono funicolare chiuso (Fig.c) si verifica certamente laddove le forze del sistema hanno rette di azione tutte convergenti in un medesimo punto (k12 = k23 = k13 ). 0=3

c)

F1

F3 -F 2 k12 = k 23 = k13

F2 2' 1'

0'

F1 3'

F F3

P*

F2

1

Prof. Alessandro Baratta

Lezioni di Scienza delle Costruzioni

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