Integrales- Trigonométricas para alumnos ingenieria para alumnos de ingenieria y de alumnos de ciencias PDF

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Integrales- Trigonométricas para alumnos ingenieria Integrales- Trigonométricas para alumnos ingenieria...

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CALCULO DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS. Nos vamos a centrar en integrales con senos y cosenos exclusivamente, si no es así se pueden transformar si es preciso. 1.- INTEGRALES INMEDIATAS: Basta con buscar la primitiva directamente. Recordamos : +C EJ-1 EJ-2 EJ-3

2.- SENOS ó COSENOS ELEVADOS A POTENCIA PAR. Recordemos algunas formulas trigonométricas: A partir de éstas dos fórmulas básicas simplemente sumando y restando se obtienen otras dos que nos serán muy útiles para integrar: y EJ-4

EJ-5

EJ-6

=

=

3.- PRODUCTOS o DIVISIONES DE SENOS y COSENOS CON EL MISMO ÁNGULO. Si no se ve inmediata, suele ocurrir, puede ser interesante realizar un cambio de variable llamando sen x=t ó cos x=t según convenga. Podremos distinguir varios casos -

Con los dos exponentes impares. Se puede hacer cualquiera de los dos cambios pero mejor el que tenga el exponente más alto o el del denominador si lo hubiera.

EJ-7 (Esta integral se puede hacer inmediata) EJ-8 (Ésta no es tan inmediata)

EJ-9

EJ-10

-

Con un exponente par y otro impar. En este caso no debe haber duda, siempre se hace el cambio con el que tiene exponente par.

EJ-11

-

Producto con los dos exponentes pares. Son de las más costosas y de forma general se utilizan las fórmulas del apartado 2) hasta que al menos una de las dos quede con exponente impar.

EJ-12

= Estas dos integrales ya se saben hacer pues son de los tipos anteriores

EJ- 13

Se podía haber hecho algo más fácil:

y ya se sigue como antes....

4.- SENO o COSENO ELEVADO A POTENCIA IMPAR. Suponemos que el seno o el coseno está elevado a 3, 5, 7, ..... Este tipo de integrales se expresan como un producto de (seno o coseno elevado a uno) por (seno o coseno elevado a potencia par) y a continuación se usan las fórmulas básicas de la trigonometría: ó De esta forma se convierten en integrales como los de los tipos anteriores. EJ-14

EJ-15

EJ-16

Esta integral parece sencilla pero hay que caer en un

detalle, lo más adecuado es que estén mezclados los senos y cosenos para poder hacer un cambio de variable eficaz. Lo que haremos será multiplicar numerador y denominador por sen x . De esta forma la integral se puede transformar en otra que ya sabemos hacer.

Ésta es de tipo racional y se puede descomponer en dos integrales:

5.- PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS CON DISTINTO ÁNGULO. Para resolver este tipo de integrales debemos recordar algunas fórmulas de trigonometría: Sumando y restando se obtiene:

cos

Sumando y restando se obtiene:

sen

Con estas cuatro fórmulas se puede convertir cualquier producto de senos y cosenos en una suma o resta con la que la integral será más fácil. La complicación del proceso es que hay que recordar las fórmulas, por lo que sólo hay que usarlo cuando los ángulos sean claramente distintos y no se vea otra forma más sencilla de hacer la integral. EJ-17 EJ-18 EJ-19

6.- CUANDO NO SE NOS OCURRE NADA Y TODOS LOS ÁNGULOS SON IGUALES. Éste es el último recurso y convierte la mayoría de las integrales trigonométricas en una de tipo Racional que sabemos hacer. Consiste en un cambio de variable muy raro

que se hace aunque no

haya tangentes en la integral y es que usando las fórmulas trigonométricas se tiene:

Pero aquí no están ni el seno ni el coseno ni tampoco la tag x, entonces ¿cuando están cómo se hace? Recordemos más fórmulas que conocemos:

(1+ ) Como

Y por supuesto como

EJ-20

Como se ve nos queda una integral de tipo racional que siempre podemos hacer, aunque no es muy fácil que digamos:

Si Si

¡¡¡¡ VAYA TELA DE INTEGRAL !!!!...