Integrazione funzioni razionali fratte PDF

Preview

Summary

Download Integrazione funzioni razionali fratte PDF

Description

INTEGRALI INDEFINITI Integrazione di funzioni razionali fratte: N ( x) d (x ) D( x) se il grado di N(x) Es:

x3

2x 2 x 1 dx x2 1

X3+2x2 +x+1 -x3

grado di D(x) allora si esegue la divisione fra i polinomi. x

2

1 x

2

1

dx

x2 2

2 x arctgx c

x2+1

-x X+2 2x2 -2x2

+1 -2 -1

se grado di N(x) < grado di D(x) allora si deve verificare se il numeratore è la derivata del denominatore.

f ' ( x) dx f ( x) Es:

ln f ( x )

c

6x 2 dx 3x 2 x 1 2

se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con >0 Il denominatore viene scomposto nel prodotto di due polinomi di primo grado: (x-x1)(x-x2) dove X1,2 sono le soluzioni del denominatore. Es:

5x 1 dx = x x 2 2

1+8=9 x1=(1+3):2=2 x2=(1-3):2=-1

Si scompone la frazione in “ fratti semplici” (x-2)(x+1)

A

B

x 2

x 1

Ax A Bx 2 B ( A B) x A 2 B = ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1)

Si imposta il sistema uguagliando i coefficienti della x a quello del testo, e i termini noti

A B 5 poi si risolve il sistema per esempio col metodo di somma e riduzione. Si moltiplica A 2B 1 la seconda equazione per (-1) per eliminare la lettera A. A B 5 A 2B 1 3B = 6 B A

2 3

Si sostituisce al posto di A e di B i valori trovati e si risolvono gli integrali: 3 x 2

2

dx

x 1

dx

3 ln x 2

2 ln x 1 c

se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con Il denominatore viene scomposto quadrato di binomio (x-x1)2 dove X1 è la soluzione del denominatore. 2x 3 dx x 4x 4

Es:_

2

16-16=0

Si scompone la frazione in “ fratti semplici”

A

(x-2)2

x1=2

B ( x 2) 2

( x 2)

Ax 2 A B ( x 2) 2

Si imposta il sistema uguagliando i coefficienti della x a quello del testo, e i termini noti A

2

2A B

A 3

2

4 B

A 3

2

B 1

Si sostituisce al posto di A e di B i valori trovati e si risolvono gli integrali:

2 x

2

dx

1 x 2

2

2

dx x

2

dx

2

( x 2) dx

2 ln x 2

x 2

1

c

=0

se grado di N(x) < grado di D(x) e denominatore trinomio di secondo grado con...