Interpolasi Polinomial Newton PDF

Preview

Summary

Interpolasi Polinomial Newton Yohannes S.M. Simamora Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193 Email: [email protected] 1 Pendahuluan Diberikan n+1 pasang data (n = 1, 2, . . .) yang menyatakan relasi f (x) terhadap x seperti diperlihat...

Description

Interpolasi Polinomial Newton

Yohannes S.M. Simamora Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193 Email: [email protected]

1

Pendahuluan

Diberikan n+1 pasang data (n = 1, 2, . . .) yang menyatakan relasi f (x) terhadap x seperti diperlihatkan pada Tabel 1. Interpolasi polinomial Newton1 adalah metode estimasi data yang berada di antara himpunan pasangan data tersebut menggunakan polinomial pangkat n: f (x) = f (x0 ) + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )(x − x1 ) + b3 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) + ... + bn (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )

(1)

dengan b1 , b2 , b3 . . . bn adalah masing-masing koefisien yang diperoleh dari proses rekursif beda-hingga terbagi (divided finite-difference) orde 1, 2, 3, . . . , n. Dalam makalah ini, pembahasan dibatasi pada interpolasi Newton linier n = 1, kuadratik n = 2, dan kubik n = 3 Tabel 1: Data relasi f (x) terhadap x i xi f (xi ) 0 x0 f (x0 ) 1 x1 f (x1 ) 2 x2 f (x2 ) 3 x3 f (x3 ) ... ... ... n xn f (xn ) 1 Newton’s

divided-difference polinomial interpolation.

1

2

Komputasi

2.1

Komputasi Rekursif Beda-Hingga Terbagi

• Orde Satu. Untuk orde satu, komputasi beda-hingga terbagi adalah: f [x1 , x0 ] = b1 f (x1 ) − f (x0 ) x1 − x0 f (x2 ) − f (x1 ) f [x2 , x1 ] = x2 − x1 f (x1 ) − f (x0 ) f [x3 , x2 ] = , x3 − x2 =

(2) (3) (4)

atau secara umum dapat dinyatakan sebagai: f [xn , xn−1 ] =

f (xn ) − f (xn−1 ) . xn − xn−1

• Orde Dua. Untuk orde dua, komputasi beda hingga terbagi menggunakan nilai yang diperoleh dari komputasi pada (2)-(4) yaitu: f [x2 , x1 , x0 ] = b2 f [x2 , x1 ] − f [x1 , x0 ] x2 − x0 f [x3 , x2 ] − f [x2 , x1 ] f [x3 , x2 , x1 ] = , x3 − x1 =

(5) (6)

atau secara umum dapat dinyatakan sebagai: f [xn , xn−1 , xn−2 ] =

f [xn , xn−1 ] − f [xn , xn−2 ] . xn − xn−2

• Orde Tiga. Untuk orde tiga, komputasi beda hingga terbagi menggunakan nilai komputasi pada (5)-(6) f [x3 , x2 , x1 , x0 ] = b3 =

f [x3 , x2 , x1 ] − f [x2 , x1 , x0 ] x3 − x0

atau secara umum dapat dinyatakan sebagai: f [xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 ] =

f [xn , xn−1 , xn−2 ] − f [xn−1 , xn−2 , xn−3 ] . xn − xn−3

• Orde n Untuk orde n, secara umum dapat dibuat: f [xn , xn−1 , . . . , x0 ] =

f [xn , xn−1 , . . . , x1 ] − f [xn−1 , xn−2 , . . . , x0 ] . xn − x0

2

(7)

2.2

Interpolasi Linier Newton

Interpolasi linier Newton menggunakan adalah untuk n = 1; dalam hal ini ada dua pasangan data. Dengan demikian, pada interpolasi ini persamaan umum (1) merupakan persamaan garis: f (x) = f (x0 ) + b1 (x − x0 ).

2.3

(8)

Interpolasi Kuadratik Newton

Interpolasi kuadratik Newton mengestimasi data n = 2; dalam hal ini ada tiga pasangan data. Persamaan umum (1) untuk interpolasi ini menjadi fungsi kuadrat: f (x) = f (x0 ) + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )(x − x1 ).

2.4

(9)

Interpolasi Kubik Newton

Interpolasi kubik Newton mengestimasi data untuk n = 3; da;am hal ini ada empat pasangan data yang diketahui. Persamaan umum (1) pada interpolasi ini menjadi fungsi pangkat tiga (kubik): f (x) = f (x0 ) + b1 (x − x1 ) + b2 (x − x0 )(x − x1 )+ b3 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ).

3

(10)

Contoh

Data hubungan volume spesifk ρ−1 terhadap temperatur T uap diperlihatkan pada Tabel 2.2 Estimasi ρ−1 ketika T = 39.02 ◦ C menggunakan interpolasi linier, kuadratik, dan kubik Newton. . Hitung εt masing-masing metode jika diketahui nilai sejati ρ−1 pada temperatur tersebut adalah 20.531 m3 /kg.3 Tabel 2: Data relasi volume spesifik terhadap temperatur uap T ρ−1 ◦ ( C) (m3 /kg) 36.18 23.741 41.53 18.105 43.79 16.204 45.83 14.675 2 Sumber:

http://www.engineeringtoolbox.com/saturated-steam-properties-d 457.html bahwa dalam soal ini notasi x dan f (x) masing-masing digantikan oleh T dan

3 Perhatikan

ρ−1

3

3.1

Interpolasi Linier Newton

Di sini digunakan dua data teratas Tabel 2 sehingga diperoleh 2 pasang data seperti pada Tabel 3. Menggunakan (2) untuk mencari b1 : 18.105 − 23.741 41.53 − 36.18 = −1.053458.

b1 =

(11)

Menyubstitusikan (11) ke dalam (8), diperoleh persamaan garis lurus: Tabel 3: Data untuk interpolasi linier Newton i T ρ−1 ◦ ( C) (m3 /kg) 0 36.18 23.741 1 41.53 18.105 ρ−1 1 = 23.741 − 1.053458(T − 36.18).

(12)

Menyubstitusikan T = 39.02◦ C ke dalam (12): ρ−1 = 23.741 − 1.053458(39.02 − 36.18) = 20.74917928 m3 /kg. Persentase galat sejati hasil estimasi interpolasi linier Newton ini adalah: 20.531 − 20.74917928 |εt | = × 100% 20.531 = 1.063%.

3.2

Interpolasi Kuadratik Newton

Di sini digunakan tiga data teratas Tabel 2 sehingga diperoleh 3 pasang data seperti pada Tabel 4. Untuk mendapatkan b2 , diperlukan nilai-nilai ρ−1 [T1 , T0 ] dan ρ−1 [T2 , T1 ] Karena pasangan data pada i = 0 dan i = 1 dalam Tabel 4 dan Tabel 3 sama nilai ρ−1 [T1 , T0 ] juga sama seperti yang telah dihitung pada (11) ρ−1 [T1 , T0 ] = b1 = −1.053458. Sementara menggunakan (3): 16.204 − 18.105 43.79 − 41.53 = −0.84115.

ρ−1 [T2 , T1 ] =

(13)

Menerapkan nilai ρ−1 [T1 , T0 ] dan ρ−1 [T2 , T1 ] ke dalam (5): −0.84115 − (−1.053458) 43.79 − 36.18 = 0.027899.

b2 =

(14)

Memasukkan (11) dan (14) ke dalam (9) diperoleh fungsi kuadat: ρ−1 = 23.741 − 1.053458(T − 36.18) + 0.027899(T − 36.18)(T − 41.53). (15) 4

Menyubstitusikan T = 39.02◦ C ke dalam (15) diperoleh: ρ−1 = 23.741 − 1.053458(39.02 − 36.18) + 0.027899(39.02 − 36.18)(39.02 − 41.53) = 20.550304 m3 /kg. Persentase galat sejati hasil estimasi interpolasi kuadratik Newton ini adalah: Tabel 4: Data untuk interpolasi kuadratik Newton i T ρ−1 ◦ ( C) (m3 /kg) 0 36.18 23.741 1 41.53 18.105 2 43.79 16.204 20.531 − 20.550304 × 100% |εt | = 20.531 = 0.094%.

3.3

Interpolasi Kubik Newton

Di sini digunakan seluruh data pada Tabel 2 sehingga diperoleh 4 pasang data yang ditunjukkan pada Tabel 5. Perhatikan bahwa susunan data pada Tabel 5 dan Tabel 4 pada dasarnya sama kecuali pada tambahan data i = 3. Ini berarti hasil-hasil perhitungan-telah diperoleh pada interpolasi kuadratik yaitu: • b1 = ρ−1 [T1 , T0 ] • ρ−1 [T2 , T1 ] • b2 = ρ−1 [T 2, T1 , T0 ] dapat digunakan kembali pada bagian ini. Nilai ρ−1 [T3 , T2 ] dihitung menggunakan (4): Tabel 5: Data untuk interpolasi kubik Newton i T ρ−1 ◦ ( C) (m3 /kg) 0 36.18 23.741 1 41.53 18.105 2 43.79 16.204 3 45.83 14.675 14.675 − 16.204 45.83 − 43.79 = −0.74951.

ρ−1 [T3 , T2 ] =

5

(16)

Nilai ρ−1 [T3 , T2 , T1 ] dihitung dengan menyubstitusikan (13) dan (16) ke dalam (6): −0.74951 − (−0.84115) 45.83 − 41.53 = 0.021312.

ρ−1 [T3 , T2 , T1 ] =

(17)

Koefisien b3 dihitung dengan menyubstirusikan (14) dan (17) ke dalam (7): 0.021312 − 0.027899 45.83 − 36.18 = −0.000683.

b3 =

(18)

Akhirnya, menyubstitusikan nilai (11), (14), (18) ke dalam (10) diperoleh: ρ−1 = 23.741 − 1.053458(T − 36.18) + 0.027899(T − 36.18)(T − 41.53) − 0.000683(T − 36.18)(T − 41.53)(T − 43.79).

(19)

Menyubstitusikan T = 39.02◦ C ke dalam (19) diperoleh: ρ−1 = 23.741 − 1.053458(39.02 − 36.18) + 0.027899(39.02 − 36.18)(39.02 − 41.53) − 0.000683(39.02 − 36.18)(39.02 − 41.53)(39.02 − 43.79) = 20.52708 m3 /kg. Persentase galat sejati hasil estimasi interpolasi kubik Newton ini adalah: 20.531 − 20.52708 |εt | = × 100% 20.531 = 0.019%.

Kepustakaan 1. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014.

Disclaimer Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya. This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any concept or method in this paper that represents the author’s original contribution.

6...