Langkah-langkah Menentukan Polinomial Interpolasi dengan Spline Linear PDF

Preview

Summary

Langkah-langkah Menentukan Polinomial Interpolasi dengan Spline Linear 1. Bentuk umum polinomial interpolasi spline linear adalah �� = � + � untuk � ≤ ≤ �+ 2. Menentukan nilai � untuk � = , , … , − ��+ − �� � = �+ − � 3. Menentukan nilai � untuk � = , , … , − � = �� − � � , � � = , ,…, − 4. Substitu...

Description

Langkah-langkah Menentukan Polinomial Interpolasi dengan Spline Linear 1. Bentuk umum polinomial interpolasi spline linear adalah =

��

+

�

2. Menentukan nilai

�

��+ − �� �+ − �

�

=

�

= �� −

3. Menentukan nilai � �

4. Substitusikan

�

,

untuk

�

≤

≤

�

untuk � = , , … ,

�

untuk � = , , … , � � = , ,…,

dan

=

ke ��

�

�+

−

− −

�

+

�

untuk � = , , … ,

Contoh soal Tentukan spline linear yang menginterpolasikan data berikut. −

�

−

−

−

−

Langkah-langkah penyelesaian secara manual 1. Tentukan nilai dari

,

,

=

� −� − = − − − −

=

− − − � −� = − −

=

= =

� −� − − = − − − � −� = −

2. Tentukan nilai dari

,

=� −

=

=� −

=− −

=

,

− −

− −

, dan

seperti berikut :

, dan

seperti berikut :

=−

=−

− − −

− − � −� = − −

=� −

,

=

=

=− ,

−

−

=−

=−

=−

−

=� −

=− −

=� −

3. Substitusikan

=

�

dan

− − �

�

=

+

=−

�

=

+

=

�

�

�

=

+

=

=−

+

=

=

+

=−

=−

=

=

ke ��

−

−

+

�

untuk � = , , … ,

�

−

seperti berikut :

− −

+

Langkah-langkah penyelessaian dengan menggunakan matlab 1. Tuliskan fungsi berikut pada Matlab dan simpan dengan nama spliner function [a,b]=spliner(x,f) n=length(x); for k=1:(n-1), a(k) = (f(k+1)-f(k))/(x(k+1) - x(k)); b(k) = f(k)-(a(k)*x(k)); end

dan �

2. Pada Command Window, definisikan nilai dari

pada tabel, kemudian panggil

fungsi spliner sehingga akan muncul tampilan seperti berikut >> x=[-2 -1 0 1 2 3] x = -2 -1 0

1

2

3

>> f=[16 5 -3 -2 10 -10] f = 16 5 -3 -2

10

-10

>> [a,b]=spliner(x,f) a = -11 -8 1 12 b = -6 -3 -3 -14

-20 50

3. Dari output tersebut, diperoleh nilai =−

=− ,

,

=− ,

4. Substitusikan �

=

=− , �

+

dan

= ,

=− ,

�

=−

ke ��

−

=

�

=− =

dan

, dan

�

, dan �

+

�

seperti berikut =− =

untuk � = , , … ,

−

seperti berikut :

�

=

+

=−

�

=

+

=

�

�

=

=

+

+

=

−

−

−

=−

+

Dari hasil perhitungan di atas diperoleh bahwa pline linear yang dicari adalah :

�

� � � = � { �

= − − = − − = − , = − =− +

,

, , ,

− ≤ ≤− − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Langkah-langkah Menentukan Polinomial Interpolasi dengan Spline Kuadratik 1. Bentuk umum polinomial interpolasi spline kuadratik adalah �+1 −

=

��

�

��+1 −��

2. Menentukan nilai �

�

−

=

Syarat :

3. Substitusikan

�−

atau

�

= .

�+1 −

=

ke ��

�

≤�≤

untuk

��+ − �� − �+ − �

=

+

�

−

+ �� untuk

�

−

�

−

��+1 −��

�

+

�

≤

−

�

≤

�

�+

+ �� untuk

�

≤

≤

�+

Contoh soal Carilah suatu spline kuadratik interpola nuntuk data yang diberikan pada label berikut ini. −

�

.

.

Langkah-langkah penyelesaian secara manual 1. Tentukan nilai dari +

=

+

=

� −� − −

=

� −� − −

� −� − −

=

� −� − −

=

2. Substitusikan

�

seperti berikut − = � − =

=

,

,

= = = =

ke ��

− − − −

−

,

=

,

dan

� −� = −

− . −

− −

− − − − . − −

− . −

=

− −

−

− − −

=−

=− =

=−

− −

�+1 −

�

��+1 −��

+

seperti berikut :

+

−

=

−

�

+�

− −

+

+

�

−

=−

�

+

+ �� untuk

+

�

≤

≤

�+

− −

=

�

− − − . − − = − =

�

=

=

�

− − − . − −

− − − − = − =

�

=

+

−

−

−

+

−

−

− . −

− − . −

−

+

−

+ +

−

−

−

−

−

+

−

=−

+�

− .

+

+

=−

−

−

+�

−

+

+� +�

+

=

− . −

=

−

+ −

−

− .

− −

+ +

Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan matlab 1. Tuliskan fungsi berikut pada Matlab dan simpan dengan nama spline2 function m=spline2(x,f) n=length(x);m(1)=0; for k=2:n, m(k)=2*(f(k)-f(k-1))/(x(k)-x(k-1))-m(k-1); end

dan �

2. Pada Command Window, definisikan nilai dari

pada tabel, kemudian panggil

fungsi spline2 sehingga akan muncul tampilan seperti berikut >> x=[-1 0 0.5 1 2 2.5] x = -1.0000

0

0.5000

1.0000

>> f=[2 1 0 1 2 3] f = 2

1

0

>> m=spline2(x,f)

1

2

3

2.0000

2.5000

m = 0

-2

-2

6

-4

8

3. Dari output tersebut, diperoleh nilai-nilai = − , dan

4. Substitusikan

�

=

ke ��

=

�+1 −

�

��+1 −��

�

−

= ,

yaitu

�

+

seperti langkah ke 2 dalam penyelesaian secara manual.

�

−

=− , �

+ �� untuk

=− , �

Dari hasil perhitungan di atas diperoleh bahwa spline kuadratik yang dicari adalah :

�

� � = � � {�

=− + + , = − + , − = − . + =− − − = −

− . , − + , − + ,

− ≤ ≤ ≤ ≤ . . ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ .

≤

= , ≤

�+

Langkah-langkah Menentukan Polinomial Interpolasi dengan Spline Kubik 1. Bentuk umum polinomial interpolasi spline kubik adalah =

��

�−�� 3

�+1

��+1 −��

+

2. Menentukan ℎ� =

�+

≤�≤

−

−

3. Menentukan

=

�

∗ �

4. Menentukan

ℎ

∗

ℎ∗

ℎ …

(

��+1 −� 3

��+1 −��

−

+

∗ �

ℎ

∗ �

−

�

+

�

�

−

�+

dan �� = ��+ − �� /ℎ� untuk

�

ℎ�− + ℎ� dan

dan

5. Substitusikan nilai

�

= �� − ��−

�

∗ �

≤

ℎ

−

ℎ∗ −

∗

−

−

)(

− −

)

=

(

−

−

)

≤

�+

≤

�+

dan

dan

≤�≤

− −

∗

∗

�

≤

ke dalam matriks tridiagonal berukuran

… …

−

�

≤�≤

untuk

sesuai dengan jenis Spline Kubik

dan

untuk

×

−

6. Menyelesaikan SPL Am=V dengan metode eliminasi Gauss atau dengan faktorisasi LU sehingga diperoleh nilai 7. Menentukan nilai �

=

��+ �+ −

�

=

��+1 −��

�

−

8. Menentukan nilai ��

9. Substitusikan ��

=

�+

−

�+

�

�

untuk −

�+

untuk

��+1 −�� �, �,

− −

,

�

�

�

�,

�

�

,…,

≤

≤

≤

≤

�

�+

−

�+

dan

≤�≤

−

�+

dan

≤�≤

−

ke +

�

�+

�+

− −

�

+

�

−

�

+

�

�+

−

Contoh soal Carilah spline kubik alami yang melewati titik-titik pada tabel berikut,

Langkah-langkah penyelesaian secara manual 1. Menentukan ℎ , ℎ , ℎ , ℎ dan � , � , � , � ℎ =

−

=

−

=

ℎ =

−

=

−

=

ℎ =

ℎ =

−

−

=

=

−

−

� =

� −� = ℎ

−

� =

� −� = ℎ

−

� =

� =

� −� = ℎ

=

ℎ +ℎ

=

ℎ +ℎ

=

=

=−

=

− ,

ℎ +ℎ

=−

,

dan

=

+

=

+

=

+

=

� −�

=

− −

=

� −�

=

− −

=

=

=

� −�

3. Menentukan ∗

=

−

� −� = ℎ

2. Menentukan

=

=

∗

,

∗

,

,

,

∗

,

=

=

= =−

+

∗

,

= ∗

=−

,

∗

, dan ℎ∗ , ℎ∗ , ℎ∗

∗

=

=

∗

=

=−

∗

=

∗

=

=

∗

=

=

=−

ℎ∗ = ℎ =

ℎ∗ = ℎ =

ℎ∗ = ℎ =

∗ ∗ ∗ � , � , ℎ�

4. Substistusikan nilai ℎ

∗

↔(

ℎ∗

ℎ

∗

ℎ ∗

−

(

−

−

)=(

)(

−

−

−

ke dalam matriks tridiagonal berukuran

)=(

∗

∗ −

)

,

=

6. Menentukan nilai =

−

=

−

=

= =

=

−

−

− −

−

/

/ /

� untuk

=

=−

/

=

=

−

)

5. Menyelesaikan SPL Am=V dengan metode faktorisasi LU sehingga diperoleh = −

×

,

=− ≤�≤

−

dan

� untuk

≤�≤

−

,

,

=

=

−

−

−

/

/

=

�

=

�

=

�

=

�

=

�+

diperoleh : −

×

=

�, �,

7. Substitusikan ��

=−

�+

/

× +

/

�

�

ke +

=

−

=−

−

�+

�

�+

− −

+ +

−

/

−

− −

�

−

−

+

− +

−

−

/

−

�

+

−

+

+

=− −

+

−

−

−

−

+

−

−

+

−

�

�+

−

−

=−

−

−

+

−

−

+

−

−

−

+

�

−

−

+

−

�

−

−

−

+

,

−

Diperoleh spline kubik alami yaitu, − �

=

−

{−

−

− −

−

−

+ +

+

−

− −

−

−

+

−

+

−

−

−

, ≤

−

,

≤

, ≤ , ≤

≤

≤

≤ ≤

.

Langkah-langkah penyelesaian dengan matlab 1. Tuliskan fungsi berikut pada Matlab dan simpan dengan nama spline3 function s3=spline3(x,y,z,st,b1,bn) n=length(x); h=x(2:n)-x(1:n-1); d=(y(2:n)-y(1:n-1))./h; u=2*(h(1:n-2)+h(2:n-1)); v=6*(d(2:n-1)-d(1:n-2)); V=v'; dia=h(2:n-2);dib=dia; if st==1, u(1)=3/2*h(1)+2*h(2); V(1)=V(1)-3*(d(1)-b1); u(n-2)=2*h(n-2)+3/2*h(n-1); V(n-2)=V(n-2)-3*(bn-d(n-1)); A=diag(u)+diag(dib,-1)+diag(dia,1) m=A\V;m=[0;m;0]; m(1)=3/h(1)*(d(1)-b1)-m(2)/2; m(n)=3/h(n-1)*(bn-d(n-1))-(n-1)/2; V m end if st==2, A=diag(u)+diag(dib, -1)+diag(dia,1) V m=A\V;m=[0;m;0] end if st==3, u(1)=3*h(1)+2*h(2)+h(1)^2/h(2); u(n-2)= 2*h(n-2)+3*h(n-1)+h(n-1)^2/h(n-2); dia(1)=h(2)-h(1)^2/h(2); dib(n-3)=h(n-2)-h(n-1)^2/h(n-2); A=diag(u)+diag(dib,-1)+diag(dia,1) m=A\V; m=[0;m;0]; m(1)=m(2)-h(1)*(m(3)-m(2))/h(2); m(n)=m(n-1)+h(n-1)*(m(n-1)-m(n-2))/h(n-2); V m end if st==4, u(1)=3*h(1)+2*h(2); u(n-2)=2*h(n-2)+3*h(n-1); A=diag(u)+diag(dib,-1)+diag(dia,1) m=A\V; m=[0;m;0]; m(1)=m(2);m(n)=m(n-1); V m end if st==5, V(1)=V(1)-h(1)*b1; V(n-2)=V(n-2)-h(n-1)*bn; A=diag(u)+diag(dib,-1)+diag(dia,1)

V m=A\V; m=[b1;m;bn] end C=y(2:n)./h-h.*m(2:n)'/6 D=y(1:n-1)./h-h.*m(1:n-1)'/6 for j=1: length (z), for k=1:n-1, if z(j)>=x(k)&z(j)...