Polinomial PDF

Preview

Summary

BAHAN AJAR MODUL Disusun Oleh: Muhammad Wildan Hikmatul Fajar, S.Pd. Matematika Peminatan 2018/2019 POLINOMIAL Kompetensi Inti  Mendeskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika.  Mendeskripsikan aturan perkalian ...

Description

BAHAN AJAR MODUL

Disusun Oleh: Muhammad Wildan Hikmatul Fajar, S.Pd.

Matematika Peminatan

2018/2019

POLINOMIAL

Kompetensi Inti  Mendeskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika.  Mendeskripsikan aturan perkalian dan pembagian polinomial dan menerapkan teorema sisa dan pemfaktoran polinomial dalam menyelesaikan masalah matematika. Kompetensi Dasar  Memecahkan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan faktorisasi dalam polinomial.  Memecahkan masalah nyata dengan model persamaan kubik dan menerapkan aturan dan sifat pada polinomial. Tujuan Pembelajaran  Mendeskripsikan kosep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika.  Mendeskripsikan aturan perkalian dan pembagian polinomial dan menerapkan teorema sisa dan pemfaktoran polinomial dalam menyelesaikan masalah matematika.  Memecahkan masalah nyata menggunakan konsep aturan sisa dan faktorisasi dalam polinomial.  Memecahkan masalah nyata dengan model persamaan kubik dan menerapkan aturan dan sifat pada polinomial.

Judul Sub Kegiatan Belajar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Pengertian Polinomial Nilai Polinomial Operasi pada Polinomial Pembagian pada Polinomial Teorema Sisa Teorema Faktor Akar-akar rasional polinomial

Matematika Peminatan

2018/2019

Pengertian Polinomial Polinomial (suku banyak) dalam x yang berderajad n , dengan n bilangan cacah dan an ≠ 0 dituliskan dalam bentuk:

y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an Keterangan :  n Є bilangan bulat.  an ≠ 0 dengan a0, a1, a2 ,…, an-1 , an koefisien masing-masing merupakan bilangan.  Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n. Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.  Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an.  a0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukanlah derajat, banyak suku dan konstanta masing-masingnya dari polinomial berikut! a. f(x) = 2x5 + 3x4 - 5x2 + x - 7 b. f(x) = 7x5 - 3x4 - 7x3 + x2 + 8x - 12 Jawaban : a. f(x) = 2x5 + 3x4 - 5x2 + x - 7 Derajat dari polinomial di atas adalah 5. Banyak suku adalah 5 yaitu 2x5 , 3x4 , -5x2 ,x dan – 7 Konstanta x5 adalah 2 Konstanta x4 adalah 3 Konstanta x adalah 1 3 Konstanta x adalah 0 Konstanta x0 adalah -7 Konstanta x2 adalah -5 b. f(x) = 7x5 - 3x4 - 7x3 + x2 + 8x – 12 Derajat dari polinomial di atas adalah 5. Banyak suku adalah 6 yaitu 7x5 , 3x4 , - 7x3 , x2 , 8x dan - 12 Konstanta x5 adalah 7 Konstanta x adalah 8 Konstanta x4 adalah -3 Konstanta x0 adalah -12 Konstanta x3 adalah -7 Konstanta x2 adalah 1

Matematika Peminatan

2018/2019

Jika f(x) = axn + bxn-1+cXn-2+…+z maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan skematik. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Diketahui fungsi polinomial Maka nilai fungsi tersebut untuk adalah... 2.

untuk

Diketahui fungsi kuadrat banyak tersebut adalah... Jawaban : 1. Dengan cara subtitusi

maka nilai suku

dengan nilai

Dengan cara skematik Tentetukan terlebih dahulu konstanta dari masing-masing suku, kemudian urutkan konstanta tersebut dari pangkat yang tertinggi hingga pangkat yang terendah. Operasi yang akan dilakukan yaitu operasi penjumlahan dan perkalian. Untuk operasi yang pertama, konstanta suku tertinggi di tambahkan dengan 0 (nol) kemudian di kali dengan nilai x = -2. Hasilnya di tambahkan dengan konstanta pangkat tertingggi k-2 dan begitu seterusnya. Seperti dibawah ini: Ditambah 0 -2 2 (nol)3 0 -5 1 -7 -2 0 -4 2 -4 18 -38 -4 2 2 2.

-1

2

-9

19

-45

nilai polinomial

dengan nilai Dengan cara subtitusi

Dengan cara skematik 2 1/2 3/4 0 1 1/2 7/4 Kerjakan latihan di bawah ini!

-5 7/2 -3/2

nilai polinomial

Matematika Peminatan

2018/2019

1. Tentukanlah derajat, banyak suku dan konstanta masing-masingnya dari polinomial berikut! a. f(x) = 9x5 + 7x4 - 6x2 + 4x - 18 b. f(x) = x5 - 5x4 - 2x3 + 3x2 + 6x + 5 Pembahasan :

2. Diketahui fungsi polinomial nilai fungsi tersebut untuk

. Tentukanlah dengan cara subsitusi dan skematik!

Pembahasan :

3. Diketahui fungsi kuadrat

untuk

nilai suku banyak tersebut dengan cara subsitusi dan skematik!

Tentukanlah

Matematika Peminatan

2018/2019

Operasi pada polinomial Operasi yang akan dibahas yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian pada polinomial. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Diketahui f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1. Tentukanlah : a. f (x) + g(x) b. f (x) - g(x) c. f (x) x g(x) 2. Diketahui f (x) = x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 – 1. Tentukanlah : a. 2f(x) + 3g(x) b. [f(x) – g(x)] x g(x) c. [f(x) x g(x)] – 2f(x) Jawaban : 1. Diketahui f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1

Matematika Peminatan

.

Kerjakan latihan di bawah ini! Latihan

2018/2019

Matematika Peminatan

2018/2019

1. Diketahui f (x) = 4x4 – 8x3 + 12x2 – 9x + 7 , g(x) = x3 – 2x2 + 3x -6. Tentukanlah : a. f (x) + g(x) b. f (x) - g(x) c. f (x) x g(x) Jawaban :

2. Diketahui f (x) = x2 – x + 3 , g(x) = 2x2 + 2x – 1. Tentukanlah : a. 2[f(x)] + 3[g(x)] b. 5[f(x) – g(x)] x 4[g(x)] c. {[f(x) x g(x)] – 2f(x)} x g(x) Jawaban :

Pembagian polinomial

Matematika Peminatan

2018/2019

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian P(x) = (x – a) . H(x) + S Keterangan: P(x) suku banyak yang dibagi (x – a) adalah pembagi

H(x) adalah hasil pembagian S adalah sisa pembagian

 Pembagian suku banyak P(x) dengan (x – a) Pembagian suku banyak P(x) dengan pembagi Q(x) = x – a menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) berderajat nol atau H(x) = konstanta, sebagai berikut:

Penentuan hasil bagi H(x) dan S(x) dari pembagian P(x) dengan (x – a) dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu operasi aljabar, bersusun kebawah dan bagan horner. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian dengan ! jawaban : Cara bersusun ke bawah = x2 + x + 3 x – 1 x3 + 2x – 3 x3 – x2 x2 + 2x – 3 x2 – x 3x – 3 3x – 3 0 Jadi hasil bagi dan sisa Bagan horner x=1 1 0

0 1

2 1

-3 3

1 1 Jadi hasil bagi

3

0

Cara operasi aljabar Polinomial

=> sisa dan sisa

Matematika Peminatan

2018/2019

 Pembagian suku banyak P(x) dengan (ax – b) Jika P(x) dibagi dengan (ax – b), maka hasil baginya jika menggunakan bagan horner adalah dan sisanya P(b/a), dengan H(x) hasil bagi dari pembagian P(x) dengan (x – b/a). Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian dengan

jawaban : Cara bersusun ke bawah 2x + 1

= 1/2x2 - 1/4x + 9/8 x3 + 2x – 3 x3 + 1/2x2 -1/2x2 + 2x – 3 -1/2x2 - 1/4x 9/4x – 3 9/4x + 9/8 -33/8 dan sisa

Jadi hasil bagi yaitu

Bagan horner x =-1/2 1

0

2

-3

Matematika Peminatan

2018/2019

 Pembagian suku banyak dengan Metode pembagian sintetik atau bagan horner dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak yang berbentuk dan lainnya dengan syarat:

 Bagan Horner Bagan horner hanya dapat digunakan untuk pembagi yang dapat difaktorkan saja. Misalkan P(x) dibagi dengan suku banyak yang dapat difaktorkan, dengan Hasil bagi adalah dan sisanya

.

 Bagan Horner-kino Metode ini merupakan pengembangan dari bagan horner yang terbatas hanya untuk pembagian yang bisa difaktorkan. Bagan horner-kino dapat diterapkan untuk pembagi apapun juga. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan hasil bagi

dibagi

!

Matematika Peminatan

2018/2019

Matematika Peminatan

2018/2019

Kerjakan latihan di bawah ini! Latihan Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian dengan menggunakan cara bersusun, bagan horner dan bagan horner kino ! dibagi

1. Jawaban :

2.

dibagi

Matematika Peminatan

3.

2018/2019

dibagi Jawaban :

4.

dibagi

Matematika Peminatan

2018/2019

Teorema Sisa polinomial Jika suku banyak P(x) dibagi (x – a) sisanya P(a), dibagi (x + a) sisanya P(-a) dan dibagi (ax – b) sisanya P(b/a) Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi (x + 1) ! 2. Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi (x – 2) ! 3. Tentukan nilai m supaya 4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi (2x – 1) ! Jawaban :

Matematika Peminatan

 Pembagian Dengan (x –a)(x – b) Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x) Berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b,P(b) = S(b) Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q Perhatikan Contoh Soal di bawah ini!

2018/2019

Matematika Peminatan

2018/2019

2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh (x – 3) sisanya 7. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa… 3. Jika suku banyak x3 – x2 + px + 7 dan suku banyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x+1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan… 4. Jika suku banyak P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dibagi oleh (x2 – 4) memberi sisa (x + 23), maka a + b adalah...

Jawaban : 1. Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x) karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1, misal: sisanya px + q sehingga bentuk pembagian ditulis: x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2).H(x) + px + q x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2).H(x) + px + q P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1) P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2) P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = 1+3–5–1–6 = -8 P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6 = 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32 P(x) = px + q P(-1) = -p + q = -8 P(2) = 2p + q = -32 -3p = 24  p = -8 p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8 8 + q = -8  q = -16 Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

2. Misal sisanya: S(x) = ax + b, P(x): (x + 2)  S(-2) = -13  -2a + b = -13

Matematika Peminatan

2018/2019

Eliminasi pers (1) dan (2) 4a + 2b = 34 4a – 2b = 6 8a = 40 a=5 a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6 20 – 2b = 6 - 2b = -14 b=7 Jadi a + b = 5 + 7 = 12

Kerjakan latihan di bawah ini!

Matematika Peminatan

2018/2019

1. Tentukan sisa suku banyak (x4 – 9x3 – 3x2 + 4x – 1) dibagi (x2 – x – 6) ! Jawaban :

2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 1 bersisa -15, dibagi oleh (x – 2) sisanya 8. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 2 bersisa… Jawaban :

3. Jika suku banyak x3 – px2 + 2x + 5 dan suku banyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x-1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan…

Matematika Peminatan

2018/2019

Jawaban :

4. Jika suku banyak P(x) = 3x3 + ax2 - bx + 5 dibagi oleh (x2 – 9) memberi sisa (x + 3), maka a + b adalah... Jawaban :

Teorema Faktor ffFffSispolinomi

Matematika Peminatan

2018/2019

Jika f(x) adalah suku banyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0. Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya, jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 ! 2. Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 ! 3. Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 + 11x2 – 7x – 6 ! Jawaban : 1. (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya. Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x 3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan bagan horner. -1 1 4 2 -1 0 -1 -3 1 1 3 -1 0 Karena sisa pembagiannya 0 maka (x + 1) meripakan factor dari x 3 + 4x2 + 2x – 1 2. Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu di substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 =2–1–7+6 =0 Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6. Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan bagan horner: 1 2 -1 -7 6 0 2 1 -6 2 1 -6 0 2 Hasil baginya: H(x) = 2x + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6) 2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

Matematika Peminatan

2018/2019

Akar-akar Rasional Polinomial Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan suku banyak. Jika P(x) adalah suku banyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0  Teorema Akar-akar Rasional Jika dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka k merupakan akar dari P(x). Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain ! 2. Persamaan x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0 mempunyai akar-akar x = -2 dan x = 3. Tentukan akar lainnya ! 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan polinomial x 4 - 15x2 – 10x – 24 = 0 !

Jawaban :

Matematika Peminatan

3. misalkan f(x) = x4 - 15x2 – 10x – 24

2018/2019

Matematika Peminatan

2018/2019

 Jumlah dan hasil Akar-akar Persamaan Suku Banyak Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka :

Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 3

2

Matematika Peminatan

2018/2019

2. Hasil kali akar-akar persamaan 2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah. . . 3. Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2 jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah. . . 4. Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 adalah. . . Jawaban : 1. a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x1 + x2 + x3 = -b/a = -3/1 =3

2. a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x1.x2.x3 = c/a = 5/2

3. -2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb. sehingga: (-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) – 10 = 0 -8 + 4p + 6 – 10 = 0 -8 + 4p + 6 – 10 = 0 4p – 12 = 0  4p = 12 p = 3 3 Persamaan tersebut: x + 3x2 – 3x – 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = -b/a = -3

4. x1 + x2 + x3 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 42 – 2.1 = 16 – 2 = 14

Kerjakan latihan di bawah ini!

Matematika Peminatan

2018/2019

1. Tunjukan bahwa 1 adalah akar persamaan dari y3 – 9y2 + 20y – 12 =0 dan tentukan akar-akar lainnya! Jawaban :

2. Jika -2 adalah akar-akar persamaan dari 2x3 – 7x2 – mx -12 = 0. Tentukanlah akar-akar persamaan tersebut ! Jawaban :

3.

dan

merupakan akar-akar , maka nilai adalah. . .

persamaan

.

Jika

Matematika Peminatan

4. Salah satu akar dari persamaan Hasil kali kedua akar lainnya adalah. . . Jawaban :

Latihan

2018/2019

adalah -2.

Matematika Peminatan

2018/2019

1. Nilai sisa dari f(x) = x4 + x3 - 2x2 + x + 2 jika dibagi (x + 2) adalah. . . Jawaban :

2. Hasil bagi dan sisa dari 2x2 - 5x2 + 2x - 4 dibagi (x + 2) adalah. . . Jawaban :

3. Nilai Jika f(x) = 4x2 - 12x3 + 13x2 - 8x + a habis dibagi (2x-1), maka nilai a adalah. . . Jawaban :

3

2

2

Matematika Peminatan

2018/2019

Jawaban :

5. Suku banyak F(x) jika dibagi oleh (x-3) sisanya 8 dan jika dibagi oleh (x2) sisanya -7. Maka jika suku banyak itu dibagi oleh x2 – x - 6, sisanya adalah. . . Jawaban :...