Introducción al análisis matemático de una variable Robert G. Bartle Donald R. Sherbert 3a ed PDF

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I I Sherbert Eastern Michigan University, Ypsilanti University olIllinois, Urbana-Champaign 288268 Bartle, Robert G. Introducción al análisis matemático de una variable == Introduction to real analysis / Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. -- 3a. Ed. -- México: Limusa Wiley,2010 xiv; 486 p.: il.,...

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I I

Sherbert Eastern Michigan University, Ypsilanti University olIllinois, Urbana-Champaign

288268

Bartle, Robert G.

Introducción al análisis matemático de una variable ==

Introduction to real

analysis / Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. -- 3a. Ed. -- México: Limusa Wiley,2010 xiv; 486 p.: il., fot.; 24 x 19 cm. ISBN: 978-607-05-0216-3 Incuye bibliografía Rústica

1. Análisis matemático 2. Funciones de variable real

1.

Sherbert, Donald

Dewey: 515

R., coaut. 11. Piña García, Rodolfo, tr.

I 22/ B2891 i

TRADUCCiÓN AUTORIZADA DE LA EDICiÓN EN INGLÉS; PUBLICADA

POR JOHN WILEY

&

LC: QA300

LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN

EN CONJUNTO DE

SONS, LTD. CON EL

TiTULO:

INTRODUCCiÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

INTRODUCTION TO REALANALYSIS

DE UNA VARIABLE

© JOHN WILEY & SONS NUEVA YORK, CHICHESTER, BRISBANE, SINGAPORE ANO TORONTO. NINGUNA PARTE DE ESTE LIBRO PODRÁ SER REPRODUCIDA DE NINGUNA FORMA SIN LA AUTORIZACiÓN POR ESCRITO DE JOHN WILEY

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CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

COLABORADOR EN LA TRADUCCiÓN

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RODOLFO PIÑA GARCíA

© 2010, EDITORIAL LlMUSA, SA DE Cv. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MÉXICO, D.F. C.P. 06040

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€lllJ 51

30 0700

55122903

[email protected] www.nonega.com.mx CANIEM NÚM. 121 TERCERA EDICiÓN HECHO EN MÉXICO ISBN: 978-607-05-0216-3

A nuestras esposas, Carolyn y Janice, con nuestro aprecio por su paciencia, apoyo y amor.

El estudio del análisis real es indispensable para quien pretende cursar estudios avanzados en matemática pura o aplicada. También es de gran valor para el estudiante de licenciatura que desee ir más allá del manejo mecánico de fórmulas para resolver problemas convencionales, pues le ayuda a desarrollar la capacidad para pensar deductivamente, analizar situaciones matemáticas y extrapolar las ideas a nuevos contextos. En años recientes, la matemática se ha convertido en un elemento de valor en áreas como economía y ciencia de la administración, ciencias físicas, ingeniería y ciencias de la computación. Nuestro objetivo es ofrecer un libro de texto accesible que poco a poco aumenta el grado de complejidad en el tratamiento de los conceptos y técnicas fundamentales del análisis real para los estudiantes de estas áreas. El libro está diseñado para estudiantes que hayan cursado cálculo en la forma convencional en que acostumbra impartirse esta materia. Aun cuando hay quienes encuentran desafiante su contenido, nuestra experiencia es que los estudiantes serios en este nivel son absolutamente capaces de dominar el material aquí presentado. Las dos ediciones anteriores de este libro tuvieron una excelente acogida y nos hemos esmerado para mantener el mismo espíritu y el mismo acercamiento accesible para el lector. Al preparar esta edición, hemos examinado cada sección y grupo de ejercicios, agilizado los razonamientos, agregado algunos ejemplos nuevos, cambiado algunos temas de posición y hecho exhaustivas revisiones. Excepto por el nuevo capítulo 10, que trata la integral de Riemann generalizada, no se ha agregado mucho material nuevo. Aun cuando se incluye más material del que puede estudiarse en un semestre, quizá el maestro quiera usar ciertos temas como proyectos especiales o para créditos extras. Es deseable que el estudiante haya tenido cierto contacto con demostraciones, pero no damos por hecho que éste sea el caso. A fin de apoyar al estudiante para analizar las demostraciones de teoremas, se incluye un apéndice sobre "Lógica y demostraciones" que examina temas como implicaciones, cuantificadores, negaciones, el contrapositivo y diferentes tipos de demostraciones. La exposición se ha mantenido en un nivel informal a fin de evitar quedar entrampados en los detalles técnicos de la lógica formal. En nuestra opinión, es una experiencia más provechosa aprender cómo construir demostraciones observando primero y haciendo después que leyendo acerca de las técnicas de demostración.

VII

Viii

Prefacio Hemos adoptado un nivel medio de de manera consistente a lo largo del libro: se presentan resultados que son lo suficientemente generales para cubrir los casos que surgen en la práctica, pero no nos afanamos para conseguir la máxima generalidad. En principio, procedemos de lo particular a lo general. Así, consideramos las funciones continuas en intervalos abiertos y cerrados en detalle, pero tenemos cuidado de presentar demostraciones que pueden adaptarse con facilidad para situaciones más generales. (En el capítulo 11 se obtiene un particular provecho de este enfoque.) Pensamos que es importante proporcionarle al estudiante muchos ejemplos que le ayuden en su aprendizaje; asimismo, compilamos unas listas bastante extensas de ejercicios que le plantearán retos. Aun cuando dejamos demostraciones rutinarias como ejercicios, no intentamos abreviar la exposición relegando a los ejercicios las demostraciones difíciles. Sin embargo, en algunas de las secciones al final del libro descomponemos un ejercicio moderadamente difícil en una sucesión de pasos. En el capítulo 1 se presenta un breve resumen de las nociones y notaciones para conjuntos y funciones que usamos aquí. Asimismo, se incluye una discusión de la inducción matemática, ya que son fi·ecuentes las demostraciones inductivas. Se incluye también una breve sección sobre conjuntos finitos, contables e infinitos. Se recomienda que este capítulo se estudie con rapidez o que se use como material de respaldo, para volver a él segíill sea necesario. El capítulo 2 presenta las propiedades del sistema de los números reales IR.. Las dos primeras secciones abordan las propiedades algebraicas y de orden, y ofrecen cierta práctica en la elaboración de demostraciones de resultados elementales. La propiedad crucial de completez se introduce en la sección 2.3 como la propiedad del supremo, y en el resto de este capítulo se discuten sus ramificaciones. En el capítulo 3 se presenta un tratamiento completo de las sucesiones en ffi. y de los conceptos asociados de límites. Este material es de la mayor importancia; por fortuna, los estudiantes lo encuentran bastante natural, aun cuando les toma algo de tiempo acostumbrarse cabalmente al uso de . En la nueva sección 3.7 se presenta una breve introducción a las series infinitas, por lo que este importante tema no debe omitirse por problemas de tiempo. El capítulo 4, sobre límites de funciones, y el capítulo 5, sobre funciones continuas, constituyen la columna vertebral de este libro. La discusión de límites y continuidad se apoya en gran medida en el uso de sucesiones, y el enfoque estrechamente paralelo de estos capítulos refuerza la comprensión de estos temas esenciales. Las propiedades fundamentales de las funciones continuas (en intervalos) se tratan en las secciones 5.3 y 5.4. La noción de "medida" se introduce en la sección 5.5 y se usa para ofrecer demostraciones alternativas de estas propiedades. Las funciones monótonas se tratan en la sección 5.6. La teoría básica de la derivada se presenta en la primera parte del capítulo 6. Este importante material es convencional, excepto porque se ha empleado un resultado de Carathéodory a fin de ofrecer demostraciones más simples de la regla de la cadena y del teorema de inversión. El resto de este capítulo consta de aplicaciones del teorema del valor medio y puede explorarse si el tiempo lo permite. El capítulo 7, que trata la integral de Riemann, ha sido objeto de una revisión completa en esta edición. En vez de introducir integrales superiores e inferiores (como se hizo en las ediciones anteriores), aquí se define la integral como un lí-

Prefacio

IX mi te de sumas de Riemann. Esto tiene la de que es consecuente con la inicial de los estudiantes a la integral en cálculo y en las puesto. que no depende de las propiedades de orden, permite la generalización inmediata a funciones complejas y vectoriales que los estudiantes pueden encontrar en cursos posteriores. Contrario a la opinión popular, este enfoque de límites no es más difícil que el de orden. También es consecuente con la integral de Riemann generalizada, la cual se examina en detalle en el capítulo 10. La sección 7.4 presenta una breve discusión de los' métodos numéricos comunes para calcular la integral de funciones continuas. Las sucesiones de funciones.y la convergencia uniforme se abordan en las dos primeras secciones del capítulo 8, y las funciones trascendentes básicas se colocan sobre una base firme en las secciones 8.3 y 8.4 mediante el uso de la convergencia uniforme. El capítulo 9 completa la discusión de las series infinitas. Los capítulos 8 y 9 son de suyo importantes, a la vez que muestran cómo puede aplicarse el material de los capítulos anteriores. El capítulo lOes completamente nuevo, presenta la integral de Riemann generalizada (también llamada integral de Henstock-Kurzweil). Para muchos estudiantes éste es un tema nuevo y creemos que les sorprenderá descubrir que una modificación en apariencia insignificante de la definición de la integral de Riemann puede llevamos a una integral aún más general que la integral de Lebesgue. Creemos que este enfoque relativamente nuevo a la teoría de integración es accesible y al mismo tiempo interesante para quien ya conoce la integral de Riemann básica. El capítulo 11 final trata conceptos topológicos. Las demostraciones dadas anteriormente para intervalos se amplían a un contexto más abstracto. Por ejemplo, se hace el énfasis apropiado en el concepto de compacidad y se introducen los espacios métricos. Este capítulo será de gran utilidad para los estudiantes que continúen estudios de pos grado en matemática. A lo largo de este libro se ha prestado más atención de la usual a los temas de análisis numérico y teoría de aproximaciones. Se ha procedido así debido a la importancia de estas áreas y para mostrar que el análisis real no es un mero ejercicio de pensamiento abstracto. Se han incluido prolijas listas de ejercicios, alglillos sencillos y otros desafiantes. En muchos de estos ejercicios se proporcionan "sugerencias" a fin de encaminar al estudiante hacia la solución o verificación de su "respuesta". Es muy satisfactorio ver cómo aumenta la madurez matemática de los estudiantes y cómo gradualmente aprenden a trabajar con soltura conceptos que en un principio parecían misteriosos. Pero es indudable que se requiere mucho trabajo arduo para ello por parte tanto de estudiantes como de maestros. A fin de enriquecer la perspectiva histórica del libro, se incluyen breves semblanzas biográficas de algunos matemáticos famosos que hicieron sus aportaciones en esta área. Tenemos una deuda particular con el doctor Patrick Muldowney por facilitamos la fotografía de los profesores Henstock y Kurzweil. Agradecemos asimismo a Wiley por conseguir las fotografias del resto de los matemáticos. Hemos recibido muchos comentarios valiosos de colegas de una amplia variedad de instituciones, quienes han impartido el curso utilizando las ediciones anteriores y a quienes les agradó el libro lo suficiente para expresar sus opiniones acerca de cómo mejorarlo. Apreciamos sus observaciones y sugerencias, aun

x

Prefacio

cuando no seguimos sus Les por comunicarse con nosotros y les deseamos lo mejor en su empeño por impartir el reto y la emoción de aprender análisis real y matemática "real". Esperamos que encuentren esta nueva edición aún más provechosa que las anteriores.

Robert G. Baríle Donald R Sherbert

Ypsilanti y Urbana

A

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Alpha

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Gamma

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A

Lambda

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Omega

1

M

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES 1 1.1 Conjuntos y funciones 1 1.2 Inducción matemática 14 1.3 Conjuntos finitos e infinitos

20

CAPÍTULO 2

LOS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

CAPÍTULO 3

SUCESIONES Y SERIES 65 3.1 Sucesiones y sus límites 66 3.2 Teoremas de límites 75 3.3 Sucesiones monótonas 85 3.4 Sub sucesiones y el teorema de Bolzano-Weierstrass 3.5 El criterio de Cauchy 100 3.6 Sucesiones propiamente divergentes 107 3.7 . Introducción a las series infinitas 11 O

CAPÍTULO 4

CAPÍTULO 5

NÚMEROS REALES 29 Propiedades algebraicas y de orden de IR 30 Valor absoluto y la recta real 40 La propiedad de completez de IR 45 Aplicaciones de la propiedad del supremo 49 Intervalos 56

LÍMITES 121 4.1 Límites de funciones 122 4.2 Teoremas sobre límites 131 4.3 Algunas ampliaciones del concepto de límite

93

140

FUNCIONES CONTINUAS 149 5.1 Funciones continuas 150 5.2 Combinaciones de funciones continuas 156 5.3 Funciones continuas en intervalos 161

XI

Xii

Contenido 5.4 5.5 5.6

Continuidad uniforme 169 Continuidad y medidas 179 Funciones monótonas e inversas

6.1 6.2 6.3 6.4

193 La derivada 194 El teorema del valor medio Reglas de L'Hópital 216 Teorema de Taylor 226

CAPÍTULO 6

184

206

CAPÍTULO 7

LA INTEGRAL DE RIEMANN 239 7.1 La integral de Riemann 240 7.2 Funciones Riemann integrables 251 7.3 El teorema fundamental 261 7.4 Integración aproximada 273

CAPÍTULO 8

SUCESIONES DE FUNCIONES 285 8.1 Convergencias puntual y uniforme 285 8.2 Intercambio de límites 292 8.3 Las funciones exponencial y logarítmica 300 8.4 Las funciones trigonométricas 308

CAPÍTULO 9

SERIES INFINITAS 317 9.1 Convergencia absoluta 317 9.2 Criterios de convergencia absoluta 321 9.3 Criterios para convergencia no absoluta 330 9.4 Series de funciones 334

CAPÍTULO 10

LA INTEGRAL DE RIEMANN GENERALIZADA 10.1 Definición y propiedades principales 345 10.2 Integrales impropias y de Lebesgue 360 10.3 Intervalos infinitos 367 lOA Teorema de convergencia 375

CAPÍTULO 11

UNA 11.1 1l.2 11.3 l1A

OJEADA A LA TOPOLOGÍA 389 Conjuntos abiertos y cerrados en lR 390 Conjuntos compactos 398 Funciones continuas 403 Espacios métricos 408

343

XII!

contenido

y DEMOSTRACIONES

A ,",,""U''-'L,'"''

417

B

CONJUNTOS FINITOS Y CONTABLES

C

LOS CRITERIOS DE RIEMANN Y LEBESGUE

D

APROXIMADA

E BIBLIOGRAFÍA

DOS EJElVIPLOS

439

443

447

CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍAS

449

SUGERENCIAS PARA EJERCICIOS SELECCIONADOS ÍNDICE

477

429

451

433

En este capítulo inicial se presentan los conocimientos previos necesarios para el estudio del análisis real. La sección 1.1 consiste en un breve repaso de las operaciones con conjuntos y de funciones, dos herramientas vitales para las matemáticas en general. En ella se establece la notación y se enuncian las definiciones y las propiedades básicas que se usarán a lo largo del libro. El término "conjunto" se considera sinónimo de "clase", "colección" y "familia", pero estos términos no se definen ni se presenta una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Este enfoque pragmático, al que suele hacerse referencia como teoría básica de conjuntos, resulta bastante adecuado para trabajar con conjuntos en el contexto del análisis real. La sección 1.2 se ocupa de un método especial de demostración llamado inducción matemática. Se relaciona con las propiedades básicas del sistema de los números naturales y, aunque se encuentra restringido a la demostración de proposiciones de tipos particulares, es importante y su aplicación es frecuente. En el apéndice A se incluye una discusión informal de los diferentes tipos de demostraciones que se usan en matemáticas, como el contrapositivo y las demostraciones por reducción al absurdo. En la sección 1.3 se aplican algunas de las herramientas presentadas en las dos primeras secciones de este capítulo a fin de analizar lo que significa que un conjunto sea finito o infinito. Se presentan definiciones precisas y se deducen algunas consecuencias básicas de estas definiciones. Se establece asimismo el importante resultado de que el conjunto de los números racionales es contablemente infinito. Además de introducir los conceptos básicos y de establecer la notación y la terminología, este capítulo también proporciona al lector cierta experiencia inicial para trabajar con definiciones precisas y hacer demostraciones. El estudio atento del análisis real implica de manera inevitable la lectura y construcción de demostraciones, habilidades que, como cualquier otra, es necesario practicar. El presente capítulo es un punto de partida.

Para ellecíor: En esta sección se presenta un breve repaso de la terminología y la notación que se usará en el libro. Se sugiere una lectura rápida y volver a ella más tarde cuando necesite recordar el significado de un término o símbolo. 1

2

Capítulo 1

Preliminares

se escribe

Si un elemento x está en un

xEA aA. Si x no está enA, se

y se dice que x es miembro de A, o que x escribe x~

A.

Si todos los elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B, se dice que A es un de B y se escribe o

B-;;;;¿A.

Se dice que un conjunto A es un de un conjunto B si A 2n + 1 es falsa para n = 1, 2, pero es verdadera para n = 3. Si se supone que 2 k > 2k + 1, entonces, al multiplicar por 2 se obtiene, cuando 2k + 2 > 3, la desigualdad 2 k+1 > 2(2k+ 1)

= 4k + 2 = 2k+ (2k+ 2)

> 2k+ 3

= 2(k+

1) + l.

Puesto que 2k + 2 > 3 para toda k 2 1, el puente es válido para toda k 2 1 (aun cuando la proposición es falsa para k= 1,2). En consecuencia, se aplica el principio de inducción matemática, con la base no = 3, para concluir que la desigualdad es válida para toda n 2 3. e) La desigualdad 2 11 ::;: (n + 1)! puede establecerse por inducción matemática. Se observa primero que es verdadera para n = 1, ya que 2 1 = 2 = 1 + 1. Si se supone que 2 k ::;: (k + 1)!, del hecho de que 2 ::;: k + 2 se sigue que 2 k+ 1 = 2 . 2k::;: 2(k + l)! ::;: (k + 2)(k + l)!

= (k + 2)!.

/"

Así, si la desigualdad se cumple para k, entonces también se cumple para k + l. Por lo tanto...