Analisis Riil diterjemahkan dari buku Robert G. Bartle PDF

Preview

Summary

Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Teorema...

Description

Contents

1 Preliminaries 1.1 The Algebra of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bilangan Riil 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R . . . . 2.1.1 Sifat Aljabar dari R . . . 2.1.2 Teorema . . . . . . . . . 2.1.3 Teorema . . . . . . . . . 2.1.4 Teorema . . . . . . . . . 2.1.5 Teorema . . . . . . . . . 2.1.6 Teorema . . . . . . . . . 2.1.7 Teorema . . . . . . . . . 2.1.8 Soal-soal latihan . . . . 2.2 Sifat-sifat terurut dari R . . . . 2.2.1 Sifat-sifat urutan dari R 2.2.2 Definisi . . . . . . . . . 2.2.3 Definisi . . . . . . . . . 2.2.4 Teorema . . . . . . . . . 2.2.5 Teorema . . . . . . . . . 2.2.6 Teorema . . . . . . . . . 2.2.7 Teorema . . . . . . . . . 2.2.8 Teorema . . . . . . . . . 2.2.9 Teorema . . . . . . . . . 2.2.10 Teorema . . . . . . . . . 2.2.11 Teorema . . . . . . . . . 2.2.12 Akibat . . . . . . . . . . 2.2.13 Contoh-contoh . . . . . 2.2.14 Contoh-contoh . . . . . 2.2.15 Soal Latihan . . . . . . . 2.3 Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . 2.3.1 Definisi . . . . . . . . . 2.3.2 Teorema . . . . . . . . . 2.3.3 Ketaksamaan Segitiga .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 5 5 5 6 7 7 8 9 9 9 11 11 11 11 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 15 15 18 18 18 18

CONTENTS

2.4

2.5

2.6

2.7

2.3.4 akibat . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Akibat . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Contoh-contoh . . . . . . . 2.3.7 Definisi . . . . . . . . . . . 2.3.8 Teorema . . . . . . . . . . . 2.3.9 Contoh-contoh . . . . . . . 2.3.10 Soal Latihan 2.3 . . . . . . . Sifat Kelengkapan dari R . . . . . . 2.4.1 Definisi . . . . . . . . . . . 2.4.2 Definisi . . . . . . . . . . . 2.4.3 Lemma . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Lemma . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Contoh-contoh . . . . . . . 2.4.6 Sifat suprimum dari R . . . 2.4.7 Sifat infimum dari R . . . . 2.4.8 Soal-soal latihan section 2.4 Aplikasi Sifat Suprimum . . . . . . 2.5.1 Contoh-contoh . . . . . . . 2.5.2 Sifat Archimedes . . . . . . 2.5.3 Akibat . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Teorema . . . . . . . . . . . 2.5.5 Teorema Kepadatan . . . . 2.5.6 Akibat . . . . . . . . . . . . 2.5.7 Soal-soal Latihan section 2.5 Interval dan Desimal . . . . . . . . 2.6.1 Sifat Interval bersarang . . . 2.6.2 Teorema . . . . . . . . . . . Himpunan - himpunan Takhingga . 2.7.1 Definisi . . . . . . . . . . . 2.7.2 Teorema . . . . . . . . . . . 2.7.3 Teorema . . . . . . . . . . . 2.7.4 Teorema . . . . . . . . . . . 2.7.5 Akibat . . . . . . . . . . . . 2.7.6 Teorema . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 19 19 19 19 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 25 25 26 26 26 28 28 28 31 32 32 36 36 36 36 37 37 37

3 Barisan dan Limitnya 39 3.1 Beberapa Soal Latihan 3.1 dan solusinya . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2

CONTENTS

Chapter 1 Preliminaries

1.1

The Algebra of Sets

If A denotes a set and if x is an element, we shall write x∈A as an abbreviation for the statement that x is an element of A, or that x is a member of A, or that x belong to A, or that the set A contains the element x, or that x is in A. If x is an element that does not belong to A, we shall write x∈ /A

4

Preliminaries

Chapter 2 Bilangan Riil

2.1

Sifat-sifat Aljabar dari R

Dalam bagian ini akan dipelajari sifat-sifat aljabar dari bilangan real R. Sebelum mendiskusikan masalah ini terlebih dahulu diberikan definisi mengenai operasi biner. Opersi biner pada himpunan F adalah suatu fungsi B dengan domain F × F dan range di F . Jadi operasi biner mengasosiasikan setiap pasangan terurut (a, b) dari eleme F secara tunggal elemen B(a, b) di F . akan tetapi kita biasa menggunakan a + b dan a · b daripada B(a, b).

2.1.1

Sifat Aljabar dari R

Pada himpunana bilangan real R dari bilangan-bilangan real terdapat dua operasi biner yang disebut + dan · yang menyatakan penjumlahan dan perkalian. Operasioperasi tersebut mempunyai sifat (A1) a + b = b + a, ∀a, b ∈ R (sifat komutatif dari penjumlahan) (A2) (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ R (sifat asosiatif penjumlahan) (A3) terdapan elemen 0 di R sedemikian sehingga 0 + a = a + 0, ∀a ∈ R sifat elemen identitas (A4) Untuk setiap a ∈ R terdapat elemen −a ∈ R sedemikian sehingga a + (−a) = (−a) + a = 0 keberadaan elemen negatif ˙ ∀a, b ∈ R (sifat komutatif perkalian) (M1) a · b = ba, (M2) (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ R (sifat asosiatif perkalian) (M3) terdapat elemet 1 ∈ R yang berbeda dari 0 sedemikian sehingga 1 · a = a dan a · 1 = a, ∀a ∈ R (elemen identitas perkalian

6

Bilangan Riil

(M4) untuk setiap a 6= 0, di R terdapat elemen 1/a ∈ R sedemikian sehingga a · (1/a) = 1 dan (1/a) · a = 1 (elemen kebalikan) (D) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) dan (b + c) · a = (b · a) + (c · a), ∀a, b, c, ∈ R

2.1.2

Teorema

(a) Jika z dan a adalah elemen dari R sedemikian sehingga z + a = a maka z = 0. Bukti: Versi 1. (z + a) + (−a) z + (a + (−a)) z+0 z

= = = =

a + (−a), (jumlahkan kedua ruas dengan (-a)) a + (−a), (sifat assosiatif) 0, (sifat invers) 0, (sifat identitas).T erbukti

Versi 2. z = = = = =

z + 0, (sifat identitas) z + (a + (−a)), (sifat invers) (z + a) + (−a), (sifat assosiatif) a + (−a), (hipotesis/ diketahui) 0, (invers).T erbukti.

(b) Jika u dan b 6= 0 adalah elemen di R sedemikian sehingga u · b = b, maka u = 1. Bukti: Versi 1. (u · b) · (1/b) ... u·1 u

= = = =

b · (1/b), (. . . ) . . . , (sifat assosiatif) 1, (. . . ) 1, (. . . ).T erbukti

Versi 2. u = = = = =

u · 1, (sifat identitas) u · (. . .), (sifat invers) . . . , (sifat assosiatif) b · (1/b), (. . . ) 1, (. . . ).T erbukti.

2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R

2.1.3

7

Teorema

(a) Jika a dan b adalah elemen di R sedemikian sehingga a + b = 0, maka b = −a. Bukti. Versi 1 . Lihat buku Versi 2. b = = = = =

0 + b, (sifat identitas) ((−a) + a) + b, (sifat invers) (−a) + (a + b), (sifat assosiatif) (−a) + 0, (diketahui) (−a), (sifat identitas).T erbukti

(b) Jika a 6= 0 dan b adalah elemen di R, sedemikian sehingga a · b = 1, maka b = 1/a Bukti. Versi 1. Lihat Buku. Versi 2. b = = = = =

2.1.4

1 · b, (sifat identitas) (. . .) + b, (sifat invers) . . . , (sifat assosiatif) . . . , (. . . ) (1/a), (. . . ).T erbukti

Teorema

Misalkan a, b sebarang elemen di R, maka (a) persamaan a + x = b mempunyai solusi tunggal x = (−a) + b (b) jika a 6= 0, persamaan a · x = b mempunyai solusi tunggal x = (1/a) · b. Bukti. (a) Perhatikan bahwa a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b, (sifat assosiatif) = 0 + b, (sifat invers) = b, (sifat identitas) Ini berarti bahwa x = (−a) + b adalah solusi dari persamaan a + x = b. Untuk menunjukkan ketunggalahnya, misalkan x1 adalah sembarang solusi maka a + x1 = b, selanjutnya (−a) + (a + x1 ) ((−a) + a) + x1 0 + x1 x1

= = = =

(−a) + b, (kita tambahkan kedua ruas dengan (-a)) (−a) + b, (sifat assosiatif) (−a) + b, (sifat invers) (−a) + b, (sifat identitas).

8

Bilangan Riil

Jadi x1 = (−a) + b. Ini berarti bahwa solusi a + x = b adalah tunggal, yakni x = (−a) + b. (b) Perhatikan bahwa a · ((1/a) · b) = (a · (1/a)) · b, (. . . ) = . . . · b, (. . . ) = b, (. . . ) Ini berarti bahwa x = (1/a) · b adalah solusi dari persamaan a · x = b. Untuk menunjukkan ketunggalahnya, misalkan x1 adalah sembarang solusi maka a · x1 = b, selanjutnya (1/a) · (a · x1 ) ((1/a) · a) · x1 . . . · x1 x1

= = = =

(1/a) + b, (. . . ) (1/a) + b, (. . . ) (1/a) + b, (. . . ) . . . , (. . . ).

Jadi x1 = (1/a) + b. Ini berarti bahwa solusi a · x = b adalah tunggal, yakni x = (1/a) + b.

2.1.5

Teorema

Jika a adalah sebarang elemen di R, maka (a) a · 0 = 0, (b) (−1) · a = −a, (c) −(−a) = a, (d) (−1) · (−1) = 1. Bukti: (a) Perhatikan bahwa a+a·0 = = = =

a · 1 + a · 0, (identitas) a · (1 + 0), (distributif) a · 1, (identitas) a, (identitas).

Menurut terorema (jika z + a = a maka z = 0), maka kita simpulkan a · 0 = 0.

2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R

9

(b) Perhatikan bahwa a + (−1) · a = = = =

1 · a + (−1) · a, (identitas) ((−1) + 1) · a, (distributif) 0 · a, (identitas) 0, (bagian a).

Menurut terorema (jika a+b = 0 maka b = −a), maka kita simpulkan (−1)·a = −a. (c) Kita punyai (−a) + a = 0 maka kita dapatkan a = −(−a). (d) Dengan mengambil a = −1 di bagian (b) kita peroleh (−1) · (−1) = 1.

2.1.6

Teorema

Jika a, b, c adalah elemen di R, maka (a) Jika a 6= 0, maka 1/a 6= 0 dan (1/(1/a) = a. (b) Jika a · b = a · c dan a 6= 0 maka b = c. (c) Jika a · b = 0, maka a = 0 atau b = 0.

2.1.7

Teorema

Tidak terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga r2 = 2.

2.1.8

Soal-soal latihan

1. Buktikan bagian (b) dari Teorema 2.1.2 Bukti: Lihat text di atas. 2. Buktikan (b) dari Teorema 2.1.3 Bukti: Lihat text di atas. 3. Pecahkan persamaan berikut dengan berdasarkan teorema yang ada. (a). 2x + 5 = 8. Bukti: (2x + 5) + (−5) 2x + (5 + (−5)) 2x + 0 2x (1/2) · 2x ((1/2) · 2)x 1·x x

= = = = = = = =

8 + (−5), (5 ∈ R, maka (−5) ∈ R) 8 + (−5), (assosiatif) 3, (invers) 3, (identitas) (1/2) · 3, (2 ∈ R, maka (1/2) ∈ R) 3/2, (assosiatif) 3/2, (invers) 3/2, (identitas).

10

Bilangan Riil

Untuk (b), (c), dan (d), lakukan dengan cara yang sama. 4. Buktikan jika a, b ∈ R, maka (a) −(a + b) = (−a) + (−b) Bukti: −(a + b) = (−1) · (a + b), Teorema = (−1) · a + (−1) · b, distributif = (−a) + (−b), Teorema. T erbukti (b), (c) dan (d) buktikan dengan cara yang sama. 5. Jika a ∈ R dan memenuhi a · a = a, buktikan bahwa a = 0 atau a = 1. 6. Jika a 6= 0 dan b 6= 0, tunjukkan bahwa 1/(ab) = (1/a) · (1/b). 7. Gunakan argumen seperti bukti pada Teorema 2.1.7 untuk menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional s sehingga s2 = 6. 8. Lakukan dengan cara yang sama untuk tidak ada bilangan rasional t sedemikian sehingga t2 = 3. 9. Tunjukkan bahwa jika ξ ∈ R adalah irasional dan r 6= 0 rasional, maka r + ξ dan rξ irasional. 10. Jika x dan y adalah bilangan rasional tunjukkan bahwa x + y dan xy adalah rasional.

2.2 Sifat-sifat terurut dari R

2.2 2.2.1

11

Sifat-sifat terurut dari R Sifat-sifat urutan dari R

Sebuah subset tak kosong P dari R, disebut bilangan real positif jika memenuhi sifat-sifat berikut (i) Jika a, b ∈ P , maka a + b ∈ P . (ii) Jika a, b ∈ P , maka ab ∈ P . (iii) Jika a ∈ R maka tepat salah satu beikut terpenuhi: a ∈ P, a = 0, −a ∈ P . Kondisi (iii) biasanya disebut dengan Sifat Trichotomy. Dan {−a : a ∈ P } disebut bilangan real negatif.

2.2.2

Definisi

Jika a ∈ P , kita katakan a adalah bilangan positif (positif murni) dan kita tulis a > 0. Jika a ∈ P ∪ {0}, kita katakan bahwa a bilangan tak negatif dan kita tulis a ≥ 0. Jika −a ∈ P , kita katakan a adalah bilangan negatif (negatif murni) dan kita tulis a < 0. Jika −a ∈ P ∪ {0} kita katakan a bukan bilangan positif dan kita tulis a ≤ 0.

2.2.3

Definisi

Misalkan a, b adalah elemen-elemen di R, maka (i) a − b ∈ P , maka kita tulis a > b atau b < a. (ii) a − b ∈ P ∪ {0}, maka kita tulis a ≥ b atau b ≤ a. Notasi a < b < c berarti a < b dan b < c. Demikian juga a ≤ b ≤ c berarti a ≤ b dan b ≤ c. Jika a ≤ b dan b < d maka a ≤ b < d.

2.2.4

Teorema

Misalkan a, b, c adalah elemen di R, maka (a) Jika a > b dan b > c maka a > c. (b) Tepat satu pernyataan berikut terpenuhi: a > b, a = b, a < b. (c) Jika a ≥ b dan b ≥ a maka a = b. Bukti: (a) Jika a − b ∈ P dan b − c ∈ P maka menurut teorema 2.2.1 (i) (a − b) + (b − c) = a − c ∈ P . Jadi a > c.

12

Bilangan Riil

(b) Menurut sifat trikotomo, maka Tepat satu pernyataan berikut terpenuhi: a − b ∈ P, a − b = 0, −(a − b) = b − a ∈ P . (c) Jika a 6= b maka a − b 6= 0, maka menurut (b) kita punyai a − b ∈ P atau b − a ∈ P , yakni a > b atau b > a, dalam kedua kasus bertentangan dengan hipotesis, jadi haruslah a = b.

2.2.5

Teorema

(a) Jika a ∈ R dan a 6= 0, maka a2 > 0. (b) 1 > 0. (c) Jika n ∈ N, maka n > 0. Bukti: (a) Dengan sifat trikotomi jika a 6= 0 maka a ∈ P atau −a ∈ P . Jika a ∈ P maka dengan 2.2.1 (ii) kita punyai a2 = a · a ∈ P . Dengan cara yang sama, jika −a ∈ P maka (−a) · (−a) ∈ P , jadi (−a)(−a) = ((−1)a)((−1)a) = (−1)(−1) · a2 = a2 . Jadi kita simpulkan jika a 6= 0 maka a2 > 0. (b) Karena 1 = (1)2 , maka dengan (a) dipunyai 1 > 0. (c) Dengan induksi matematika; dari (b) 1 ∈ P , asumsikan k ∈ P , karena 1 ∈ P maka k + 1 ∈ P . Kita simpulkan jika n ∈ N, maka n > 0.

2.2.6

Teorema

Misalkan a, b, c, d adalah elemen-elemen di R, maka (a) Jika a > b maka a + c > b + c. (b) Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d. (c) Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb. Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb. (d) Jika a > 0, maka 1/a > 0. Jika a < 0 maka 1/a < 0. Bukti. (a) Jika a − b ∈ P maka (a + c) − (b + c) = a − b ∈ P . Jadi a + c > b + c. (b) Jika a − b ∈ P dan c − d ∈ P maka (a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) ∈ P . Jadi a + c > b + d

2.2 Sifat-sifat terurut dari R

13

(c) Jika a − b ∈ P dan c ∈ P , maka ca − cb = c(a − b) ∈ P . Jadi ca > cb jika c > 0. Sebaliknya jika a − b ∈ P dan −c ∈ P , maka cb − ca = (−c)(a − b) ∈ P . Jadi cb > ca jika c < 0. (d) Jika a > 0, maka a 6= 0 (dengan sifat trikotomi) , menurut 2.1.6(a) 1/a 6= 0. Jika 1/a < 0, maka menurut (c) dengan c = 1/a menyebabkan 1 = a(1/a) < 0. Hal ini kontradiksi dengan 2.2.5(b). Haruslah 1/a > 0. Dengan cara yang sama jika a < 0 maka kemungkinan 1/a > 0 akan mengahasilkan suatu kontradiksi 1 = a(1/a) < 0.

2.2.7

Teorema

Jika a dan b di R dan jika a < b, maka a, 12 (a + b) < b. Bukti. Karena a < b maka dengan 2.2.6(a) maka 2a = a + a < a + b dan juga a + b < b + b = 2b. Jadi kita punyai 2a < a + b < 2b. Kemudian dari 2.2.5(c) kita punyai 2 > 0 sehingga dengan 2.2.6(d) kita punyai Jadi dari 2.2.6(c) kita punyai

1 2

>0

1 1 1 a = (2a) < (a + b < (2b) = b. 2 2 2

2.2.8

Teorema

Jika b ∈ R dan b > 0 maka 0 < 12 b < b. Bukti. Ambillah a = 0 dalam 2.2.7.

2.2.9

Teorema

Jika a ∈ R sedemikian sehingga 0 ≤ a < ² untuk setiap ² > 0, maka a = 0. Bukti. Misalkan dengan kontradiksi yakni a > 0. Maka dengan akibat 2.2.8 kita punyai 0 < 21 a < a. Sekarang dengan mengambil ²0 = 12 a, maka kita punyai 0 < ²0 < a. ini bertentangan dengan a < ² untuk setian ² > 0. Jadi haruslah a = 0.

2.2.10

Teorema

Misalkan a, b ∈ R, dan misalkan a − ² < b untuk setiap ² > 0, maka a ≤ b. Bukti. Misalkan dengan kontardiksi jika b < a dan ambil ²0 = 12 (a − b). Maka ²0 > 0, sehingga 12 b < 21 a ⇔ b − 21 b < a − 12 a ⇔ b < a − 12 a + 12 b ⇔ b < a − 12 (a − b)

14

2.2.11

Bilangan Riil

Teorema

Jika ab > 0 maka (i) a > 0 dan b > 0, atau (ii) a < 0 dan b < 0. Bukti. (i) Kita catat bahwa ab > 0 menyebabkan a 6= 0 dan b 6= 0, karena jika a = 0 atau b = 0 maka ab = 0. Dari sifat trikotomi berarti a > 0 atau a < 0. Jika a > 0 maka 1/a > 0 sehingga dengan 2.2.6 (d) kita punyai b = 1 · b = ((1/a)a)b = (1/a)(ab) > 0. (ii) Dengan cara yang sama jika a < 0 maka b = (1/a)(ab) < 0.

2.2.12

Akibat

Jika ab < 0 maka (i) a < 0 dan b > 0, atau (ii) a > 0 dan b < 0.

2.2.13

Contoh-contoh

(a) Tentukan himpunana A dari bilangan real x sedemikian sehingga 2x + 3 ≤ 6. Kita catat bahwa x ∈ A ⇔ 2x + 3 ≤ 6 ⇔ 2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 23 . Oleh karena itu A = {x ∈ R : x ≤ 32 }. (b) Tentukan himpunan B = {x ∈ R : x2 + x > 2}. Catat bahwa x ∈ B ⇔ x2 + x − 2 > 0 ⇔ (x − 1)(x + 2) > 0. Oleh karena itu kita punyai (i) x − 1 > 0 dan x + 2 > 0 atau (ii) x − 1 < 0 dan x + 2 < 0. Dalam kasus (i) kita punyai x > 1 dan x > −2 yang terpenuhi jika dan hanya jika x > 1. Dalam kasus (ii) kita punyai x < 1 dan x < −2 yang terpenuhi jika dan hanya jika x < −2. Jadi B = {x ∈ R : x > 1} ∪ {x ∈ R : x < −2}. (c) Tentukan himpunan C = {x ∈ R : (2x + 1)/(x + 2) < 1} Kita catat x ∈ C ⇔ (2x + 1)/(x + 2) − 1 < 0 ⇔ (x − 1)/(x + 2) < 0. Jadi (i) x − 1 < 0 dan x + 2 > 0 atau (ii) x − 1 > 0 dan x + 2 < 0. Dalam kasus (i) kita punyai x < 1 dan x > −2 yang terpenuhi jika dan hanya jika −2 < x < 1. Dalam kasus (ii) kita punyai x > 1 dan x < −2 yang tidak pernah terpenuhi. Jadi kita simpulkan C = {x ∈ R : −2 < x < 1}.

2.2 Sifat-sifat terurut dari R

2.2.14

15

Contoh-contoh

(a) Misalkan a ≥ 0 dan b ≥ 0, maka a < b ⇔ a2 < b2 ⇔

√

a<

√

b

(b) Jika a dan b bilangan real positif maka rata-...