Investigacion - Clasificación de los números PDF

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Clasificación de los números...

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ZONGOLICA PROF. SERGIO REYES ROSAS ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL ALUMNO (A): LUZ CLARA SUSANA TEPOLE ZOPIYACTLE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN SEMESTRE: 2 GRUPO: 203 ZONGOLICA VERACRUZ

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ÍNDICE LOS NÚMEROS....................................................................................................................................................3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS..............................................................................................................3 LOS NÚMEROS NATURALES:......................................................................................................................3 LOS NÚMEROS ENTEROS:...........................................................................................................................4 LOS NÚMEROS RACIONALES:....................................................................................................................5 LOS NÚMEROS IRRACIONALES:................................................................................................................6 LOS NÚMEROS REALES:..............................................................................................................................6 LOS NÚMEROS COMPLEJOS......................................................................................................................7 NÚMEROS IMAGINARIOS..................................................................................................................................8 SURGIMIENTO DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS.....................................................................................9 APLICACIONES DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS...................................................................................9 AERODINÁMICA............................................................................................................................................10 ELECTRICIDAD..............................................................................................................................................10 SEÑALES.........................................................................................................................................................11 INGENIERÍA.....................................................................................................................................................11

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LOS NÚMEROS Los números se clasifican en seis tipos principales: 

Números naturales «N».



Números enteros «Z».



Números racionales «Q».



Números irracionales «I».



Números reales «R».



Números complejos «C».

En esta clasificación, cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos «C», que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS LOS NÚMEROS NATURALES: A partir de la necesidad de representar cantidades, el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Éstos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades. Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Los números naturales se representan con la siguiente letra: N Como los números naturales sirven para contar no toman en consideración al número cero, pero como se trata de un conjunto que no termina nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito. Si los representamos en forma de conjunto, los números naturales son: N= {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

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Y si los representamos en la recta numérica sería de la siguiente forma:

Ahora vamos a darle un significado a los números naturales. Como ya se mencionó anteriormente, estos números son utilizados principalmente para contar y para marcar una posición, por lo tanto, algunos ejemplos pueden ser los siguientes:

LOS NÚMEROS ENTEROS: Aunque los números naturales nos permiten representar cantidades, también tienen sus limitaciones, ¿cómo representarías la temperatura de un cubo de hielo? Para esto usamos los números enteros. Diremos que el conjunto de los números enteros que incluye el 0, es igual al de los números naturales unido con sus negativos. Los números enteros se representan con la siguiente letra: Z Si los representamos en forma de conjunto, los números enteros son: Z= {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2,3,...} Y si los representamos en la recta numérica sería de la siguiente forma:

Un número es negativo simplemente por ser menor que cero.

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LOS NÚMEROS RACIONALES: Si tienes una naranja y deseas compartirla con alguien es necesario cortarla. Por ejemplo, si tomaste 1 naranja y la divides entre 2 personas para llegar a la mitad tendrías una fracción de la naranja, en este caso 1212.

Llamaremos número s racionales al conjunto de todas las posibles expresiones del tipo ab, donde a y b son números enteros y b es diferente de cero. A los números racionales también se les llama números fraccionarios. Los números racionales se representan con la siguiente letra: Q Si obtienes el cociente de dos números enteros, el resultado puede ser un número entero, un número con decimales infinitos periódicos o un número con decimales infinitos no periódicos. Para que esto sea más claro, observa los siguientes ejemplos: Ejemplo de números racionales infinitos periódicos 4/9= 0.4444444444... Periodo = 4 1/3= 0.3333333333... Periodo = 3 Ejemplo de números racionales infinitos no periódicos

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15/23= 0.6521739130... No hay periodo definido 4031= 1.2903225806... No hay periodo definido Si representamos a los números racionales en la recta numérica, sería de la siguiente forma:

LOS NÚMEROS IRRACIONALES: Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse y se representan con la letra ‘I’. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!

LOS NÚMEROS REALES: Una vez revisados los anteriores conjuntos de números existentes, podemos decir que el conjunto de los números reales (R) está integrado por: 

El conjunto de los números racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita o infinita periódica. 6



El conjunto de los números irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman números reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los números reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I.

Los números reales se representan con la siguiente letra: R

Los Números Complejos: «C» incluye todos los números anteriores más el número imaginario «i». C = [N, Z, Q, R, I].

LOS NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo, z, es la suma de un número real a más un número real b multiplicado por la unidad imaginaria i:

El número real a se llama parte real del complejo z y el número real b se llama parte imaginaria de z. El conjunto de todos los números se representa por CC. Nota: la suma a+b⋅i no la podemos simplificar, al igual que no podemos simplificar la expresión algebraica 1+x. La forma habitual de representar a los números complejos es hacerlo como vectores del plano. Pero el plano se denomina, en este caso, plano complejo. El complejo z=a+bi se coordenadas (a)(b):

representa como el vector con

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 

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

La longitud del vector se denomina módulo del complejo z. El ángulo que forma el vector con la parte positiva del eje real se denomina argumento del complejo z:

NÚMEROS IMAGINARIOS Recordar que b es una raíz cuadrada del número a si su cuadrado es a. Es decir, b=√ a si b2 =a. Pero sabemos que cualquier número real al cuadrado es mayor o igual que 00, es decir,

Esto implica que la raíz cuadrada de un número negativo no existe . Por ejemplo, si b=√ −2 , entonces b2 =-2, pero hemos dicho que el cuadrado de un número real no puede ser negativo. Sin embargo, cualquiera que haya trabajado con ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado), sabe que encontrarse con raíces de números negativos es muy habitual. Por esta razón, los matemáticos inventaron números que no son reales y cuyo cuadrado puede ser un número negativo. Se define la unidad imaginaria i como la raíz cuadrada del número real negativo −1:

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SURGIMIENTO DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS Los números complejos también denominados imaginarios son los que tienen una parte real y otra imaginaria pura. Por ejemplo 2 + 3 i es un número complejo. Este género de números los inventó Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano en 1572. El nombre de números imaginarios lo dio, parece, René Descartes, que se oponía a las teorías de Bombelli. Y Euler fue quien denominó i a la unidad imaginaria, doscientos años después, en 1777. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

APLICACIONES DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS Aunque se ha dicho que los números complejos sirven para la resolución y análisis de procesos en matemáticas y física como campos científicos, no solo se reducen a ellos, pues también se puede encontrar aplicaciones de números complejos en otras áreas como en la química, biología, economía y hasta estadística. Sirven para el análisis de estos procesos físicos que en muchas ocasiones se expresan como puntos en un plano, específicamente en el plano complejo. En matemáticas también tienen aplicación en la resolución de ecuaciones polinómicas, realizar análisis complejos o variables complejas, ecuaciones diferenciales y fractales que son conjuntos auto similares. Además es muy usada en la mecánica cuántica para formulaciones matemáticas en los complejos Espacios de Hilbert, entre otros campos de la ciencia.

AERODINÁMICA En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski. El matemático Joukowski (o Zhoukowski) encontró una transformación, la cual recibió su nombre, en la cual, si tenemos una circunferencia (y en vez de definirla con números

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reales lo hacemos en el plano comp ia es R.) y le aplicamos la transformaci re el ala (Véase imagen 1) algo bastante complicado de tratar, se pudo recurrir a una transformación para trabajar en un plano complejo, con la cual se obtuvo que esto se reduce a un efecto sobre una simple circunferencia, algo mucho más tratable.

ELECTRICIDAD La impedancia bioelectrica, que refiere a la oposición del flujo de energía eléctrica dentro del cuerpo humano. (Véase imagen 2) El análisis de impedancia bioeléctrica es un método que se suele usar para conocer la composición aproximada de un cuerpo. Desde la llegada de los primeros dispositivos comerciales a mediados de los años 80 esta técnica se ha hecho cada vez más popular debido a su facilidad de uso, portabilidad de los equipos y a su bajo coste en comparación con otros métodos de medición corporal.

“Medidor de porcentaje de grasa corporal”

Este método se basa en medir la resistencia que un cuerpo opone al paso de una corriente. Al conocerse el potencial aplicado podemos usar la Ley de Ohm (V=IR) para conocer la impedancia del cuerpo. En función de esa impedancia se puede determinar la cantidad de grasa que puede haber, ya que ese valor relaciona de manera aproximada la proporción de grasa y músculo que está presente.

SEÑALES La corriente alterna se genera por diferentes métodos. Los más utilizados son los mecánicos rotativos, o alternadores de las bobinas eléctricas, para grandes potencias, y los electrónicos cuando las mismas son pequeñas. Esta manera de generar la corriente, determinará su Ley de Variación con respecto al tiempo. Una de las formas más comunes en que se encuentran las señales eléctricas es la forma senoidal comúnmente utilizada en la generación y transmisión de energía eléctrica. Esta señal puede ser representada por cualquiera de las funciones trigonométricas, seno o coseno de la siguiente manera: f(t)=Asen( ωt+ϕ) ó f(t)= Acos( ωt+ ϕ ) “Onda Senoidal” 10

Donde los valores de A, ω, ϕson respectivamente la amplitud, la frecuencia angular y el ángulo de fase. Estas señales se pueden escribir en términos de la parte real y parte imaginaria respectivamente de una exponencial compleja: Acos( ωt+ϕ)=ARe( e i( ωt+ ϕ ) ) Asen(ϕ ωt+ )=AIm( eϕi( ωt+ ) ) Las exponenciales periódicas complejas juegan un papel fundamental en el análisis de señales y sistemas, en parte debido a que sirven como base extremadamente útil para muchas otras señales. Los ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

INGENIERÍA En la ingeniería se utiliza en el conocimiento, manejo y dominio de las matemáticas y física, obtenido mediante estudio, experiencia y práctica, se aplica con juicio para desarrollar formas eficientes de utilizar los materiales y las fuerzas de la naturaleza para beneficio de la humanidad y del ambiente. En la ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos (Véase imagen 4) y ondas electromagnéticas. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión. Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

“Circuito eléctrico: resistencias y voltaje” 11

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