Klausur Analysis 2019 T2A PDF

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Klausur Analysis - 2. Termin - 7.2.2020 - Hinweise • Bitte überprüfen Sie zunächst sorgfältig die Vollständigkeit und Korrektheit Ihrer Klausurunterlagen. Spätere Einwände können nicht mehr berücksichtigt werden. – Es gibt verschiedene Versionen der Klausur (A und B). Bitte überprüfen Sie sorgfältig, ob die Version auf dem Aufgabenbogen mit der Version auf dem Lösungsbogen übereinstimmt. – Der Aufgabenbogen (inkl. Deckblatt) besteht aus insgesamt 8 Seiten (3 Klausur, 4 Konzeptpapier, jeweils 2-seitig). Darüber hinaus erhalten Sie einen einseitig bedruckten Lösungsbogen. • Außer Schreibmittel und einem nicht-programmierbaren Taschenrechner sind keine Hilfsmittel (z.B. Mobiltelefon, eigenes Konzeptpapier) zugelassen. Die Verwendung nicht erlaubter Hilfsmittel führt zum Ausschluss von der Klausur. Ausländische Studierende können maximal ein Wörterbuch (ohne Einträge oder Markierungen) verwenden, dass von der Aufsicht durchgesehen wird. • Die Bearbeitungszeit der Klausur beträgt 90 Minuten. • Da die Klausur gleichzeitig in vielen verschiedenen Räumen geschrieben wird und eventuelle Fehler in den Fragen nicht zeitnah in alle Räume übermittelt werden können, sind die Klausuraufsichten angewiesen keine Fragen während der Klausur zu beantworten. Markieren sie bei jeder Frage die ihrer Meinung nach beste Antwort und halten sie sich nicht lange bei Fragen auf, die aus ihrer Sicht einen Fehler enthalten. Fehlerhafte Fragen werden nicht in die Wertung genommen. • Die Klausur besteht aus 25 Multiple-Choice Aufgaben, wobei die richtigen Lösungen in die entsprechenden Lösungsfelder auf dem Lösungsbogen eingetragen werden müssen. • Für jede Aufgabe gibt es bei richtiger Beantwortung einen Punkt. Bei falscher Beantwortung (keine/mehrere Antworten) gibt es 0 Punkte. Es können also maximal 25 Punkte erzielt werden. • Die Klausur ist sicher bestanden, wenn Sie mindestens 13 Punkte erreichen oder wenn Sie unter den besten 60 Prozent der Klausurteilnehmer sind. • Am Ende der Klausur ist nur der Lösungsbogen abzugeben. Lösungen auf dem Konzeptpapier oder auf dem Aufgabenbogen werden nicht berücksichtigt. Wir empfehlen Ihnen, die Lösungen erst am Ende der Klausur in den Lösungsbogen einzutragen, so dass möglichst keine Korrekturen mehr nötig sind. Fangen Sie aber bitte spätestens 10 Minuten vor Ende der Klausur damit an, Ihre Lösungen in den Lösungsbogen zu übertragen. Die Aufsichtführenden sind angewiesen, die Lösungsbögen am Ende der Klausur einzusammeln, auch wenn Sie Ihre Lösungen noch nicht übertragen haben. • Ausfüllen des Lösungsbogens: Bitte Kreise ganz ausmalen, nicht ankreuzen! Nur ausgemalte und eindeutig erkennbare Lösungen können gewertet werden. Verwenden Sie zur Kennzeichnung auf dem Lösungsbogen nur dunkle Farben (blau oder schwarz), keinen Bleistift! Auf keinen Fall mit TippEx korrigieren! Fehlmarkierungen sind durchzustreichen, die zu wertende Lösung ist durch Ausmalen des entsprechenden Kreises zu kennzeichnen. Beispiel: Es soll die Antwort (a) als richtig gewertet werden, allerdings wurde zunächst (c) ausgemalt. Der Bogen muss am Ende so ausgefüllt sein:

• Der Lösungsbogen muss unten unterschrieben werden! Viel Erfolg!

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Universit¨at Mannheim Abteilung Volkswirtschaftslehre Herbst-/Wintersemester 2019 - Analysis Dozent: Steffen Habermalz, PhD - Klausur Zweittermin - 7.2.2020 VERSION A 1. Gegeben sei ein reelle Funktion einer Variablen f (x). Um am Punkt x0 stetig zu sein muss gelten A. x0 muss im Definitionsbereich der Funktion sein. B. Der Grenzwert der Funktion muss an x0 existieren. C. Der Grenzwert der Funktion muss mit dem Funktionswert f (x0 ) identisch sein. D. Alle Antworten sind richtig.

2. Berechnen sie den folgenden Grenzwert: lim (x2 − 4x + 100) x→2

A. 6 B. 96 C. 10 D. Der Grenzwert existiert nicht.

3. Eine Funktion, die auf einer und destens ein globales Maximum und ein globales Minimum.

Menge

A. nicht-leeren, konvexen, stetig B. nicht-leeren, kompakten, differenzierbar C. unbeschr¨ankten, geschlossenen, stetig D. Keine der Antwortm¨oglichkeiten ist wahr.

4. Bestimmen sie die erste Ableitung der Funktion f (x) = (6x2 + 7x)4 A. (6x2 + 7x)4 (12x + 7) B. 4(6x2 + 7x)3 C. 4(6x2 + 7x)3 (12x + 7) D. 4(6x2 + 7x)3 ln(12x + 7)

5. Die Menge A = (−3, 5) ∪ [5, 80] ist A. konvex.

B. geschlossen. C. offen. D. kompakt

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ist, hat min-

6. Eine lineare Funktion der Form f (x) = a + bx ist A. streng konvex und streng konkav. B. streng konvex und konkav C. konvex und konkav. D. weder konkav, noch konvex

7. Die Funktion f (x) = ln x + a (a > 0) mit Definitionsbereich R+ und Wertebereich R ist A. surjektiv, aber nicht injektiv. B. injektiv, aber nicht surjektiv. C. bijektiv. D. weder injektiv, noch surjektiv.

8. Bestimmen Sie die zweite partielle Ableitung fxy von f (x, y) = e

1 2

yx2

am Punkt (x, y) = (1, 2).

A. 2e B. 0 C. 3e D. e+1

9. Bestimmen sie den Grenzwert (insofern existent) von lim

x→4

A. 32

x2 − 16 √ 4 x−8

B. 8 C. 0 D. Der Grenzwert existiert nicht.

10. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene von f (x, y) = x3 y3 an (1, 1) A. z = 3(x + y) − 5

B. z = −5 + 3(x − 1) + 3(y − 1)

C. z = 3(xy + 5)

D. z = −6 + 3x + 3y 11. Gegeben sei die Funktion f (x, y, z) = 3x2 y + 7xz 2 − 9xyz A. Die Funktion ist homogen Grad 3 B. Die Funktion ist nicht homogen C. Die Funktion ist homogen Grad 2 D. Die Funktion ist homogen Grad 1

4

12. Berechnen Sie |A|, die Determinante der folgenden Matrix 4 1 2    A= 0 0 5 2 2 1

A. 6 B. 30 C. −6

D. −30 13. Betrachten Sie folgende Matrix: 

1 −1 A= −2 1



Die Matrix ist A. positiv definit. B. negativ definit. C. positiv definit und negativ definit D. weder positiv definit, noch negativ definit

14. Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH? A. ∃(x ∈ R)(x2 + 2x + 1 = 0)

B. ∃(x ∈ R)(x2 + 2x + 1 = −1) C. ∃(x ∈ R)(x2 + 2x + 1 = 1)

D. ∃(x ∈ R)(x2 + x − 1 = 0) 15. Berechnen Sie die Steigung (2, 0)

dy dx

der H¨ohenlinie der Funktion f (x, y) = x3 + exy = 9 an dem Punkt

A. -6 B. 0 C. − 16

D. Die Steigung ist an diesem Punkt nicht definiert.

16. Die Funktion f (x) = A. konvex.

1 x2

−

√ x ist

B. konkav. C. weder konvex, noch konkav. D. konvex und konkav

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17. Finden sie den Ausdruck, der KEINE partielle Ableitung 2. Ordnung der folgenden Funktion ist f (x, y) = exy

A. exy x2 B. exy (1 + xy) C. xy(exy + 1) D. exy y2

18. Finden sie den Wert c, so dass die Funktion f (x) an der Stelle x = 2 stetig ist. ( 7x + e2x+c fu ¨r x ≤ 2 f (x) = 2 ur x > 2 4x f¨ A. − ln 2 − 4 B. − ln 2

C. ln 2 + 4 D. ln 2 − 4 19. Bestimmen sie die kritischen Punkte der Funktion f (x) = (x2 − 8x)

1 3

.

A. {0, 4, 8} B. {0, 4} C. {0, 8} D. {4}

ex − 1 x→0 x A. ist gleich der ersten Ableitung der Funktion f (x) = ex an der Stelle x0 = 0.

20. Der folgende Grenzwert lim B. ist gleich ex . C. existiert nicht.

D. Nicht genug Information.

21. Maximieren Sie f (x, y) = x1/4 y1/2 unter der Nebenbedingung 2x + y = 96 mittels der Methode von Lagrange. Der Wert von λ∗ am globalen Maximum ist A. λ∗ = 8 B. λ∗ = 0, 210 C. λ∗ = 0, 25 D. λ∗ = 0, 125

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22. Gegeben sei f (x) = 2x . Berechnen Sie den Betrag des Approximationsfehlers an x = 1, wenn f(x) an x0 = 0 linear approximiert wird. (runden Sie im Zweifel auf die vierte Nachkommastelle) A. 0, 6931

B. 0, 3069

C. 0, 3863

D. 1, 6931

23. Bestimmen Sie die Randpunkte der Menge A = (−4, −1] ∪ [0, 4) ∪ [4, 8) A. -4, -1, 0, 4, 8

B. -4, -1, 0 und 8 C. -4 und 8 D. Alle Punkte der Menge A sind Randpunkte

24. Benutzen sie das Differenzial einer Funktion um die folgende Frage zu beantworten. Ein Acker wird mit x Einheiten Naturd¨unger und mit y Einheiten Kunstd¨unger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet f (x, y) = 840 + 4x − x2 + 10y − 3y2 + 3xy Im Moment ist der D¨ungemitteleinsatz gleich (x0 , y0 ) = (10, 20). Wenn nun 1 Einheit mehr Naturd¨unger und 2 Einheiten weniger Kunstd¨unger ausgebracht werden, ver¨andert sich der Ertrag approximativ um A. -36 Einheiten. B. 204 Einheiten. C. 185 Einheiten. D. 168 Einheiten

25. Finden Sie alle globalen Extrema (insofern existent) der Funktion f (x) =

1 x

im Intervall [−5, 5)

A. Globales Minimum an der Stelle x = −5, globales Maximum an der Stelle x = 5 B. Globales Minimum an der Stelle x = −5, globales Maximum existiert nicht.

C. Die Funktion hat keine globalen Extrema.

D. Globales Maximum an der Stelle x = 5 aber kein globales Minimum, da die Funktion an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist.

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