Kolokwium Ekonomia matematyczna Zadania powtórzeniowe PDF

Preview

Summary

Download Kolokwium Ekonomia matematyczna Zadania powtórzeniowe PDF

Description

Ekonomia matematyczna II rok II stopnia – zadania powtórzeniowe

Zadanie 1. Dana jest funkcja użyteczności 𝑢(𝑥 ) = 𝑥 + 𝑥 . Czy funkcja 𝑤(𝑥 ) = 𝑒  opisuje tę samą relację preferencji, co funkcja 𝑢(𝑥 )?

Zadanie 2. Czy funkcja użyteczności 𝑤(𝑥 ) = 3 opisuje te samą relację preferencji, co funkcja 𝑢(𝑥 ) = ln(𝑥 ) + ln(𝑥 )?

Zadanie 3. Sprawdzić, czy funkcje użyteczności 𝑢(𝑥 ) oraz 𝑤(𝑥 ) opisują te same relacje preferencji, jeśli: a) 𝑤(𝑥 ) = 3( ), b) 𝑤(𝑥 ) = log , 󰇡

 󰇢, ( )

c) 𝑤(𝑥 ) = log , 4𝑢(𝑥 ), d) 𝑤(𝑥 ) = log  𝑒 ( ) , e) 𝑤(𝑥 ) = −𝑒 ( ).

Zadanie 4. Znaleźć funkcje popytu konsumenta, kierującego się następującymi funkcjami użyteczności: , , a) 𝑢(𝑥 ) = 𝑥 𝑥 , b) 𝑢(𝑥 ) = −4𝑥 − 3𝑥 ,

c) 𝑢(𝑥 ) = ln 𝑥 + ln 𝑥 ,   d) 𝑢(𝑥 ) = ln 𝑥 + ln 𝑥 , 





e) 𝑢(𝑥 ) = −  −  . 





Jak wyglądają optymalne koszyki konsumentów dla cen: 𝑝 = 2, 𝑝 = 3 oraz dochodu 𝐼 = 10. Ile wynoszą maksymalne użyteczności konsumentów kierujących się powyższymi funkcjami użyteczności?

Zadanie 5. Jeżeli 𝑝 = 2, 𝑝 = 4, to jaki jest optymalny koszyk konsumenta o dochodzie 𝐼 = 30 i funkcji użyteczności 𝑢(𝑥 ) danej wzorem: a) 𝑢(𝑥 ) = 3√𝑥 𝑥 , b) 𝑢(𝑥 ) = 2√𝑥 + 𝑥 ?

Zadanie 6. Konsument kieruje się funkcją użyteczności 𝑢(𝑥 ) = 𝑥, 𝑥, . Ile jabłek (𝑥 ) i gruszek (𝑥 ) powinien kupić za 30 złotych, aby zmaksymalizować użyteczność swojego koszyka, jeśli cena jabłek wynosi 3 zł/kg, a gruszek 7 zł/kg? Zadanie 7. Konsument kieruje się funkcją użyteczności 𝑢(𝑥 ) = 5𝑥 + 3𝑥 . O ile procent zmieni się użyteczność koszyka 𝑥 , jeśli ilość towaru 𝑥 wzrośnie o 1 procent?

Zadanie 8. Konsument kieruje się funkcją użyteczności 𝑢(𝑥 ) = 6√𝑥 𝑥 . O ile procent zmieni się użyteczność koszyka 𝑥 , jeśli ilość towaru 𝑥 wzrośnie o 1 procent?

Zadanie 9. O ile należy zmniejszyć ilość towaru pierwszego przy zwiększeniu o 3% ilości towaru drugiego, tak aby użyteczność koszyka się nie zmieniła, jeśli funkcja użyteczności ma postać:   𝑢(𝑥 ) = ln 𝑥 + ln 𝑥 .  

Zadanie 10. Dla koszyka 𝑥 = [3,1] obliczyć użyteczności krańcowe towarów oraz krańcowe stopy substytucji towaru drugiego przez pierwszy, jeśli funkcja użyteczności ma postać: a) 𝑢(𝑥 ) = √𝑥 + 3𝑥 ,  

1

b) 𝑢(𝑥 ) = 7ln 𝑥 𝑥 .

Wyniki zinterpretować!

Zadanie 11. Na rynku działa dwóch handlowców. Funkcje popytu, wektory podaży oraz aktualne ceny są następujące:  ()  ()



 () () 󰇤  

𝜑() = 󰇣 ,  󰇤 , 𝑦 () = [20,10] , 𝜑() = 󰇣  , 





, 𝑦 () = [25,5] , 𝑝 = [𝑎 + 1, 5] .

Dla jakiej wartości parametru 𝑎 wektor cen 𝑝 jest wektorem cen równowagi rynkowej?

Zadanie 12. Na rynek przychodzi dwóch handlowców z koszykami towarów 𝑦 () = [15,10] , 



𝑦 () = [10,35] . Funkcje popytu handlowców mają postać: 𝜑 () = 󰇣 , 󰇤 , 𝜑() = 󰇣  , 󰇤 .    () 

 ()



 () () 



Czy ceny 𝑝 = [2,10] są cenami równowagi? Jeśli nie, to korzystając z równania 𝑝 = 𝑝 + 𝜎𝑧(𝑝 ) wyznaczyć trzy kolejne wektory cen, przyjmując: a) 𝜎 = 0,1, b) 𝜎 = 0,6.

Zadanie 13. Na rynek przychodzi dwóch handlowców z koszykami towarów 𝑦 () = [20,10] , 𝑦 () = [5,15] . Funkcje użyteczności handlowców mają postać: 𝑢() (𝑥 ) = 𝑥, 𝑥, ,

𝑢() (𝑥 ) = ln 𝑥 + ln 𝑥 .

Wyznaczyć wektor nadmiernego popytu oraz znaleźć wektor cen równowagi rynkowej. Zadanie 14. O ile procent należy zmniejszyć nakład pracy przy zwiększeniu o 4% nakładu kapitału, tak aby wielkość produkcji się nie zmieniła, jeśli funkcja produkcji ma postać: 𝑓(𝐾, 𝐿) = 2𝐾 , 𝐿, .

Zadanie 15. O ile należy zwiększyć nakład pracy przy zwiększeniu o 12 jednostek nakładu kapitału, tak aby wielkość produkcji się nie zmieniła, jeśli funkcja produkcji ma postać: 𝑓(𝐾, 𝐿) = 2𝐾 , 𝐿, . Zadanie 16. Dla funkcji produkcji 𝑓(𝐾, 𝐿) = (2𝐾 , + 4𝐿, )

 

a) b) c) d)

wyznaczyć:

Krańcowe produktywności czynników produkcji, Elastyczności produkcji Krańcowe stopy substytucji czynników produkcji Elastyczność substytucji kapitału przez pracę.

Wyniki zinterpretować!

Zadanie 17. Dana jest funkcja kosztów 𝑐(𝑦) przedsiębiorstwa działającego w warunkach konkurencji doskonałej oraz cena zbytu towaru 𝑝. Przedsiębiorstwo produkuje jeden produkt w ilości 𝑦. Rozwiązać zadanie pozwalające na ustalenie takiego poziomu produkcji, aby zysk przedsiębiorstwa był maksymalny, przyjmując, że: a) 𝑐(𝑦) = 4𝑦  − 2𝑦  + 5𝑦,  b) 𝑐(𝑦) = 2𝑦  − 𝑦  + 2𝑦, 

𝑝 = 7, 𝑝 = 6.



Zadanie 18. Dana jest funkcja produkcji 𝑓(𝐾, 𝐿) = 3𝐾  𝐿  . Znaleźć najtańszy sposób wyprodukowania 𝑦 jednostek towaru, zakładając, że jednostkowe ceny czynników produkcji są równe: 𝑣 = 2, 𝑣 = 1. Czy rozwiązując to zadanie można zapisać postać funkcji kosztów przedsiębiorstwa?

2



Zadanie 19. Znaleźć postać funkcji popytu na czynniki produkcji przedsiębiorstwa działającego w warunkach konkurencji doskonałej, wiedząc, że funkcja produkcji przedsiębiorstwa ma postać   𝑓(𝐾, 𝐿) = 2𝐾  𝐿 . Zadanie 20. Dana jest funkcja produkcji przedsiębiorstwa postaci: 𝑓(𝐾, 𝐿) = 2𝐾

   𝐿 .

Zadanie 21. Dana jest funkcja produkcji przedsiębiorstwa postaci: 𝑓(𝐾, 𝐿) = 2𝐾

   𝐿 .

funkcję popytu na czynniki produkcji, wiedząc że 𝜑(𝑣 , 𝑦) = funkcję podaży produktu, wiedząc że 𝜉(𝑝, 𝑣 ) = 󰇯



,



  √ 󰇣  √  ,   󰇤 √  √ 



 

󰇰.

oraz 𝜂(𝑝, 𝑣 ) =

Wyznaczyć 

√

.

Wyznaczyć

Zadanie 22. Dane jest przedsiębiorstwo w warunkach konkurencji doskonałej, którego proces produkcji   opisuje funkcja 𝑓(𝐾, 𝐿) = 2𝐾  𝐿  (𝐾 – nakład kapitału, 𝐿 – nakład pracy). Rozwiązać zadania: a) maksymalizacji dochodu przedsiębiorstwa, b) minimalizacji kosztów przedsiębiorstwa, c) maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa.

Zadanie 23. Przyporządkuj zadaniom przedsiębiorcy ich rozwiązania: Zadanie A. Maksymalizacja dochodu przedsiębiorstwa B. Minimalizacja kosztów przedsiębiorstwa C. Maksymalizacja zysku przedsiębiorstwa

Rozwiązanie 1. Funkcja kosztów przedsiębiorstwa 2. Funkcja popytu na czynniki produkcji 3. Funkcja podaży towaru

Zadanie 24. Dany jest model pajęczynowy: 𝐷 = 13 − 4𝑃 , 𝑆 = −1 + 2𝑃 . Znaleźć ścieżkę czasową ceny dla tego modelu, wyznaczyć cenę równowagi międzyokresowej oraz sprawdzić, czy jest ona stabilna.

Zadanie 25. Dany jest model pajęczynowy: 𝐷 = 12 − 5𝑃 , 𝑆 = −3 + 5𝑃 . Znaleźć ścieżkę czasową ceny dla tego modelu, wyznaczyć cenę równowagi międzyokresowej oraz sprawdzić, czy jest ona stabilna.

Zadanie 26. W modelu Samuelsona obliczyć wartość dochodu narodowego, inwestycji i konsumpcji w stanie równowagi międzyokresowej oraz sprawdzić stabilność tego stanu równowagi, jeśli: a) 𝛾 = 0,8; 𝛼 = 0,4; 𝐺 = 3, b) 𝛾 = 0,9; 𝛼 = 0,5; 𝐺 = 2, c) 𝛾 = 0,8; 𝛼 = 1,5; 𝐺 = 2.

3...