Edukacja matematyczna z metodyką WYKŁADY PDF

Preview

Summary

Download Edukacja matematyczna z metodyką WYKŁADY PDF

Description

1.Założenia edukacji matematycznej w klasach młodszych Jednym z podstawowych założeń edukacji matematycznej jest pobudzanie aktywności umysłowej ucznia, logicznego i krytycznego myślenia, samodzielnego pokonywania trudności oraz dostrzegania związku matematyki z życiem codziennym. Edukacja matematyczna ma służyć obudzeniu radości z rozwiązywania wszelkich łamigłówek, a tym samym pobudzaniu do samodzielnego, logicznego myślenia. Istotne jest, aby dziecko odkryło, że matematyka to droga do rozwiązywania codziennych problemów - mierzenia długości, wagi, operowania pieniędzmi, odczytywania godzin, a zarazem wspaniała zabawa. W pierwszych miesiącach nauki dominującą formą zajęć są zabawy, gry i sytuacje zadaniowe, w których dzieci manipulują specjalnie dobranymi przedmiotami, np. liczmanami. Następnie dba się o budowanie w umysłach dzieci pojęć liczbowych i sprawności rachunkowych na sposób szkolny. Przy układaniu i rozwiązywaniu zadań trzeba zadbać o wstępną matematyzację: dzieci rozwiązują zadania matematyczne, manipulując przedmiotami lub obiektami zastępczymi, potem zapisują rozwiązanie. 2. Rodzaje treści programowych w edukacji matematycznej: a) arytmetyka- nauka o liczbach i posługiwaniu się nimi b) geometria c) algebra- zasady formalnego rachunku na wyrażeniach algebraicznych w których występują symbole literowe d) teoria mnogości (teoria zbiorów) e) logika f) probabilistyka- zdarzenia jakie zachodzą gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe g) kombinatoryka- wyznaczenie liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z jakimiś zasadami h) statystyka- metody pozyskiwania, prezentacji i analizy danych opisujących zdarzenia masowe 3. Istota koncepcji nauczania czynnościowego: Jego istotą jest organizowanie samodzielnego działania uczniów i stopniowym wykrywaniu reguł które te działania optymalizują. Cechuje je wysoka aktywność dzieci. W nauczaniu czynnościowych chodzi o łączenie od razu czynności z innymi czynnościami, głównie z czynnościami do nich odwrotnymi. RÓB – RYSUJ – MÓW – OPISUJ 4. Rola czynności manualnych w kształceniu matematycznym uczniów klas młodszych – przykłady sytuacji

5. Ćwiczenia klasyfikacyjne w kształtowaniu pojęcia zbioru 1. Klasyfikacja przedmiotów według cech jakościowych: koloru, wielkości, kształtu i przeznaczenia. - ustawianie wybranych uczniów według wielkości (wysokości) - układanie patyczków logicznych wg koloru 2. Wyodrębnienie zbiorów , których elementy spełniają dany warunek (interpretacja graficzna zbiorów) - obrysowywanie figur geometrycznych posiadających ten sam kształt 3. Formułowanie warunku , który spełniają elementy danego zbioru i klasyfikacja przedmiotów według 2 cech. - szukanie klocków o jednej i dwóch wspólnych właściwościach - określenie liczby różnic między klockami 4. Wyodrębnienie podzbiorów w zbiorze -układanie w pętli wszystkich klocków, np. zielonych i otaczanie drugą pętlą zielonych trójkątów

- wyodrębnienie kilku podzbiorów z wszystkich figur 5. Szukanie części wspólnej zbiorów - szukanie części wspólnych zbioru zwierząt z żołędzi i przedmiotów kolczastych - szukanie części wspólnej wszystkich klocków żółtych i klocków czerwonych (część wspólna pusta) 6. Określenie sumy zbiorów rozłącznych - określenie sumy dzieci w klasie poprzez złączenie zbiorów dziewczynek i chłopców -łączenie zbioru ssaków domowych i ptaków domowych w zbiór zwierząt domowych 6. Związek teorii zbiorów z monografią liczby, przykłady ilustrujące ten związek Monografia, a teoria zbiorów – przy wprowadzeniu danej liczby bardzo ważne są zbiory, pomagają dziecku w sposób czynnościowy pojąć daną liczbę. 7. Monografia liczby na wybranym przykładzie -jak powstaje nowa liczba - poprzez dodanie 1 do poprzedniej np. 4+1=5 -realizacja aspektu kardynalnego- np. ile jest piłek w zbiorze/ ułóż 5 elementowy zbiór -realizacja aspektu porządkowego- określenie miejsca danej liczby w zbiorze. Np. która z kolei jest żółta piłka -r. aspektu miarowego- ile razy w danej wielkości miesci się inna wielkość np. na klockach. Ile klocków 1 miesci się w klocku 5 -r. aspektu algebraicznego- badanie struktury liczby (z jakich liczb się składa) np. 5=2+2+1 -nauka pisania- pokazujemy, omawiamy, pokazujemy jak się pisze- w powietrzu coraz mniejsze potem w zeszycie -rozwiązywanie zadań z treścią- utrwalenie nowo poznanej liczby 8. Aspekty liczby i ćwiczenia je realizujące -kardynalny- ile elementów ma dany zbiór -porządkowy- miejsce elementu w uporządkowanym szeregu -miarowy- ile x w danej wielkości mieści się inna wielkość -algebraiczny- rozkład na struktury np. 3=2+1 -symboliczny- zapis graficzny liczby 9. Środki dydaktyczne w realizacji założeń nauczania czynnościowego Środki dydaktyczne w nauczaniu czynnościowym: - są przydatne nie tylko do pracy indywidualnej, lecz również i zespołowej - kształtują u uczniów takie cechy charakteru jak: samodzielność, pomysłowość, wytrwałość, ciekawość, zainteresowanie, chęć rozumienia - umożliwiają również każdemu dziecku odnoszenie sukcesów. Mogą być zastosowane do ćwiczeń rachunkowych, lecz również w trakcie: kształtowania pojęcia zbioru i działań na zbiorach, zaznajamiania uczniów z pojęciem liczby naturalnej zarówno w aspekcie kardynalnym, porządkowym, jak i miarowym, zaznajamiania uczniów z własnościami działań arytmetycznych, rozszerzania numeracji, rozwiązywania równań oraz zadań tekstowych metodą równań, poznawania własności figur geometrycznych.

10. Podstawy teoretyczne procesu kształtowania pojęć matematycznych 1. Etap nadawania sensu- odwołanie się do już znanych przez U pojęć i symboli poszukując przy tym operacji lub przykładu, które będą ilustrowały i pokazywały rozumienie sensu i przydatności pojęcia 2. etap definiowania- zorganizowanie takiej sytuacji i działań U , z których wynika użyteczność pojęcia Czynności, które powinny wystąpić w procesie kształtowania pojęć : -cz. manipulacyjne- ruchowe z wykorzystaniem rzeczywistych przedmiotów -cz. umowne- z wykorzystaniem środków graficznych -cz. umysłowe- wykonywane za pomocą symboli mat. -cz. werbalne- najpierw głośny a potem cichy opis czynności Sposoby kształtowania pojęć: Odwołując się do już znanych pojęć i symboli, poszukując przy tym sytuacji lub przykładów, które będą ilustrowały i przybliżały rozumienie sensu i przydatności danego pojęcia Zaczynamy od zorganizowania takiej sytuacji i uruchomienia takich działań uczniów, z których wynika sens i użyteczność danego pojęcia, gdy będzie grunt przygotowany wprowadzamy nową nazwę lub znak, etapy nadawania sensu i etapy definiowania, ale różna kolejność. 11. Proces kształtowania umiejętności matematycznych - przykład (20) 12. Pojęcie formuły matematycznej – wprowadzenie na przykładzie Formuła matematyczna – symboliczne przestawienie działania arytmetycznego (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia) za pomocą słów lub cyfr i znaków matematycznych: dodać (plus +), odjąć (minus -), znaku mnożenia (*), znaku dzielenia (:), oraz znaku równości (=). Zapis działania za pomocą znaków i symboli matematycznych. Przykład wprowadzenia formuły dodawania: - Do wprowadzania formuły dodawania można przystąpić, gdy dzieci mają już elementarne pojecie liczby i jej symbolu (cyfry), umiejętność wykonywania działań na zbiorach bez zapisu oraz poznały już znak równości przy porównywaniu mocy zbiorów za pomocą liczb – wszystkie więc elementy formuły dodawania są znane, oprócz znaku plus - Zadanie: Na talerzu leżały 4 jabłka (nauczyciel podnosi 4 jabłka wycięte z papieru, dzieci wykonują tę czynność na kołach z papieru). Mama położyła na talerzu jeszcze jedno jabłko (nauczyciel dokłada jeszcze jedno jabłko z papieru i łączy oba zbiory. Dzieci wykonuj tę samą czynność na kołach). Ile jabłek znajduje się teraz na talerzu? - Dzieci przedstawiają zadanie graficznie wg znanego schematu łączenia zbiorów - Wykonane czynności ujmujemy w słowa: Były 4 jabłka, dołożono 1, jest 5. – dzieci powinny wypowiadać formułę słowną zgodnie z tym, jak będą później odczytywały z zapisu na tablicy – pomoże im to wskazywać odpowiadając słowom symbole – znaki i cyfry oraz lepiej rozumieć ich znaczenie. - Należy dążyć, aby dzieci kojarzyły formułę słowna z formułą zapisaną symbolami matematycznymi, np. wyraz „dołożono” ze znakiem plus, wyraz „jest” ze znakiem równości - Przy pierwszym zadaniu ograniczamy się do przedstawienia go za pomocą zbiorów i wypowiedzenia formuły słownej

- Wykonujemy drugie zadanie, które posłuży do wprowadzenia zapisu formuły, czyli zapisania zadania symbolami matematycznymi - Przykład: na podwórku było 3 dzieci. (nauczyciel podnosi 3 ludziki z papieru, a dzieci patyczki) Doszło jeszcze 2. (nauczyciel dokłada jeszcze 2 ludziki a dzieci 2 patyczki) Ile dzieci bawi się na podwórku? - Po kilkakrotnym powtórzeniu formuły słownej przystępujemy do zapisu jej na tablicy. - Nauczyciel nie powinien podawać dzieciom gotowego zapisu, ale stawia problem: „Jak to zapisać?”, aby pobudzić dzieci do poszukiwań. - Niektóre dzieci od razu zapiszą formułę poprawnie 3 + 2 = 5, ale może zdarzyć się tak, że zapiszą formułę bez znaku: 3 2 = 5, wtedy nauczyciel powinien polecić uczniowi, aby odczytał zapis wskazując na odpowiednie znaki i cyfry, co pozwoli stwierdzić brak w formule odpowiedniego znaku do słowa „doszło” - Można zilustrować niepełna formułę (3 2 = 5 czynnościami na zbiorach wykazać, że brak w formule znaku odpowiadającego za czynności łączenia zbiorów i znak dopisać 13. Wprowadzenie dodawania i odejmowania Symbolicznym zapisem działania na liczbach jest formuła matematyczna ( wzór) odzwierciedlona za pomocą cyfr i znaków matematycznych oraz odpowiadających im słów. Należy uczniów wdrażać do poprawnego odczytywania treści formuły , a później do konstruowania manipulacyjnego na konkretnych przykładach ( dokładania, dobierania, dosuwania, łączenia, dosypywania) Odbywać się to powinno najpierw na przykładach dodawania i odejmowania wielkości jednorodnych (np.. zbiór jabłek) a następnie różnych (3 jabłka, 2 gruszki). Traktowanie dodawania i odejmowania jako działań wzajemnie odwrotnych wymaga podkreślania w pojęciu różnicy ubywania jako odwrotności dołączania! Zadania należy rozwiązywać wykorzystując różne sposoby: na wszelkich konkretnych przedmiotach, na kolorowych liczbach(układanie, rysowanie), w postaci graficznej ( np. za pomocą rysunków konkretnych, konkretnych i schematycznych), za pomocą grafów strzałkowych, rozwiązywanie kwadratów magicznych, uzupełnianie tabelek funkcyjnych i ich konstruowanie, szukanie liczb sąsiednich na osi liczbowej wg podanych działań, porządkowanie liczb od najmniejszej do najmniejszej i odwrotnie różnymi sposobami Schemat lekcji: 1. Wykonywanie czynności manipulacyjnych na prowadzących do dodawania( dosuwanie, dowieszanie, dorysowywanie) 2.Dojście do sformułowania dodawanie - wykonywanie podobnych działań manipulacyjnych na liczmanach, patyczkach, klockach Dienesa, 3. Wykonywanie działań na ilustracjach zbiorów np. na tablicy i wprowadzenie znaku dodawania – zapis rysunku i działania do zeszytu Na lekcji wprowadzającej odejmowanie jako odwrotności dodawania powinny pojawić się ćwiczenia na szukanie zbiorów o ileś mniejszych od danego, porównywanie liczb, sum i różnic na osi liczbowej, liczydle, patyczkach, uzupełnianie grafów. 14. Wprowadzenie mnożenia jako działania arytmetycznego Wprowadzeniem do mnożenia są ćwiczenia w rozkładaniu zbiorów na równe składniki. Będzie to np. wyróżnienie dwóch zbiorów rozłącznych i włączenie ich w całość. Mnożenie rozumie się tu jako dodawanie jednakowych składników , zapis i odczytywanie tych sum w postaci iloczynu z zastosowaniem znaku mnożenia ale bez wprowadzania terminu iloczyn. Niezbędne są tu działania na konkretnych przedmiotach , stosować grafy, osie liczbowe, tabelki funkcyjne, ale przede wszystkim ilustracje działań na zbiorach, rysunki pomocnicze do zadań, ważne jest stosowanie wyrażenia „razy po” przy formułowaniu zadań i ćwiczeniach na konkretnych przedmiotach. . Bardzo potrzebne są

ćwiczenia utrwalające związki dodawania z mnożeniem np. wyodrębnianie w zbiorze równych podzbiorów i obliczanie sumy elementów najpierw dodawaniem a potem mnożeniem. Bardzo kształcące jest przedstawienie tego samego zadania tekstowego w różnych schematach graficznych( rysunek, graf, oś liczbowa, schemat Venna) . 15. Wprowadzenie dzielenia jako działania arytmetycznego Dzielnie powinno być wykonywane na konkretnych przykładach mieszczenia i podziału z zastosowaniem znaku dzielenia i traktowane powinno być jako działanie odwrotne do mnożenia , polegające na szukaniu niewiadomego składnika Występują dwa rodzaje dzielenia: - „ po kilka” – czyli mieszczenie - „ na równe części” – czyli podział Punktem wyjścia powinno być rozwiązywanie zadań z życia codziennego wymagających mieszczenia lub podziału. Dobrze jest zadanie na mnożenie przekształcić na zadanie na dzielenie. Dzieci mogą zilustrować zadanie konkretami (liczmanami, kartonikami) Wprowadzając dzielenie jako podział na równe części należy posługiwać się przykładami, które dobrze odzwierciedlają tego typu sytuacje może to być: podział kwiatów na wazony. Zadania te rozwiązujemy manipulacyjnie na konkretach. Dzielenie wprowadzamy, kiedy uczniowie dobrze opanują mnożenie! 16. Oś liczbowa, graf strzałkowy, drzewko matematyczne, tabela funkcyjna – znaczenie schematów graficznych w interpretacji działań matematycznych oś liczbowa- U może porównywać liczby, widzi, które są większe a które mniejsze, jaka jest odległość między nimi. W przypadku kiedy różnice między liczbami są duże lub gdy musimy powtarzać liczby wtedy lepszy jest graf. Drzewko matematyczne- może służyć klasyfikacji elementów dowolnego zbioru a w arytmetyce przy ustaleniu kolejności wykonywania działań Tabele- pozwalają uprościć sytuację i przedstawić ją , w sposób bardziej przejrzysty mogą służyć do różnych klasyfikacji Graf strzałkowy- wykorzystywany do rozwiązywania prostych i złożonych równań o 2 działaniach. Umożliwia dziecku rozwiązania zadania bez użycia konkretu 17. Własności działań arytmetycznych - sposoby ich wprowadzania Cztery podstawowe działania arytmetyczne i ich własności: 1. Dodawanie liczb – suma. Własności dodawania: - Liczba 0 jest elementem neutralnym w dodawaniu liczb: a + 0 = a - Przemienność dodawania: a + b = b + a - Łączność dodawania: (a + b) + c = a + (b + c) 2. Odejmowanie liczb – różnica. Własności odejmowania: - Różnica dwóch jednakowych liczb jest zawsze równa zero: a - a = 0 - Jeżeli od dowolnej liczby odejmiemy zero, to liczba ta nie zmieni się: a - 0 = a - Odejmowanie to dodanie liczby przeciwnej: a - b = a + (-b) - Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania: a - b = c ⇔ a = b + c

3. Mnożenie liczb – iloczyn. Własności mnożenia:

- Liczba 1 jest elementem neutralnym w mnożeniu liczb: a· 1 = a - Przemienność mnożenia: a·b = b·a - Łączność mnożenia: (a·b) ·c = a· (b·c) - Rozdzielność mnożenia względem dodawania: a· (b + c) = a·b + a·c 4. Dzielenie liczb – iloraz. Własności dzielenia: - Iloraz dwóch jednakowych liczb jest zawsze równy jeden: a:a = 1 - Jeżeli dowolną liczbę podzielimy przez 1, to liczba ta nie zmieni się: a: 1 = a - Jeżeli zero podzielimy przez dowolną liczbę, to wynik jest równy zero: 0 :a = 0 - Jeżeli b ≠ 0, to a:b = c ⇔ a = b·c Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. - Iloraz dwóch liczb często przedstawiamy w postaci ułamka. a:b = ab, gdzie b ≠ 0 Wprowadzenie dodawania: 1) Manipulowanie przedmiotami, np. Dołóż 2 jabłka do 3-ech gruszek. Ile masz owoców? 2) Na schematach Venn’a pokazujemy sumę dwóch zbiorów, np.

2

+

3

=5

3) Zapis tego na tablicy przez nauczyciela. Wprowadzenie mnożenia: 1) Analiza zadania. 2) Czynności jakie wykonywane są w zadaniu. 3) Graficzny sposób zapisania zadania. 4) Przedstawienie dodawaniem. 5) Zamienienie na mnożenie. Wprowadzenie dzielenia: 1) Dzielenie na mieszczenie – po kilka. 2) Dzielenie na podział – na równe części. Dzielenie na podział wprowadzamy jako pierwsze, bo jest podobne do mnożenia 18. Sposoby rozwijania sprawności rachunkowych uczniów Istotną role w nauczaniu matematyki odgrywa kształtowanie umiejętności rachunkowych, jako wyniku właściwego procesu rozwiązywania, a nie pamięciowego kształcenie techniki rachunkowej. Umiejętności te w poszczególnych klasach narastają stopniowo. Kształtowanie umiejętności rachunkowych musi poprzedzić szereg czynności przygotowawczych, które mogą przebiegać w następujących etapach: 1. Rozwijanie języka matematycznego określającego: przedmioty, ich własności( kolor, kształt,

wielkość, grubość), czynności wykonywane na tych przedmiotach ( klasyfikowanie, porządkowanie, przyporządkowanie, odwzorowanie), relacje w określonych zbiorach( zawieranie się, równoliczności, mniejszości 2. Rozkład liczby na składniki( układanie dywanów) 3.Wprowadzenie nazw liczb 4.Wprowadzenie pisanych symboli matematycznych ( cyfry, znaki, działania, znaki równości i nierówności) 5. Układanie formuły matematycznej( zapisu matematycznego działań) 6.Dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. 19. Sposoby przekraczania progu dziesiątkowego - na przykładach metody bezpośrednie : bez rozkładania danych na składniki. Np. działanie 5 + 7= a) dobieranie konkretnych przedmiotów o odpowiednich liczebnościach i łączenie ich w zbiór (liczmany, pętle). b) Sumę 5 + 7 możemy szukać na osi liczbowej lub podziałce centymetrowej. Odliczamy 5 jednostek, doliczamy 7 i odczytujemy wynik 12. c) przy pomocy klocków Cuisenaire’a. Dzieci tworzą pociąg o długości 5 i 7 i sprawdzają jaka jest długość np. przykładając do podziałki. Zamiast linijki uczniowie mogą ułożyć nad pociągiem odpowiednią ilość klocków jednostkowych i je policzyć. Metody pośrednie: a)dopełniania do 10 np. 12-5=(12-2)-3=10-3=7 b)z użyciem drugiego działania np. 6+9=6+10-1=16-1=15 c)wydawania reszty np. Np. W sklepie biorę zakupy za 8 zł. Płacę 20 zł. 20 – 8 = do 10 zł kasjer wydaje mi 2 zł i jeszcze 10 zł do 20 zł i mam razem 2 zł + 10 zł = 12 zł. d) metoda dodawania jednakowych składników np. 7+6=6+6+1=12+1=13 e)metoda równoważenia (składniki muszą się różnic o 2) np. 7+5= 6+1+5=6+6=12 f)metoda dodawania 5 np. 6+5=5+5+1=10+1=11 20. Dziesiątkowy pozycyjny układ liczenia – istota i sposób wprowadzenia Układ dziesiątkowy dotyczy zasady, że 10 jednostek niższego rzędu stanowi 1 jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu. Układ pozycyjny wprowadza zasadę, że znaczenie cyfry w liczbach wielocyfrowych zalezy od zajmowanego przez nią miejsca. Np. w liczbie 1254 cyfra 4 oznacza jedności, bo stoi na pierwszym miejscu, cyfra 5 – dziesiątki, bo znajduje się na drugim miejscu, cyfra 2 – setki, bo zajmuje trzecie miejsce, cyfra 1 – tysiące, bo czwarte miejsce. Etapy pracy: 1układanie liczb z patyczków 2podpisywanie z użyciem kartoników z cyframi 3analiza zapisu (135 , 5 to jedności bo.. itd.) 4dokonywanie wielu przekształceń zarówno w układzie patyczków, jak i w zapisach, omówienie dokonanych zmian 5ćwiczenia z zastosowaniem tablic pozycyjnych, tabelek, osi liczbowej 6ćwiczenia na samych liczbach 21. Dziesięć jako pierwsza liczba dwucyfrowa – wprowadzenie Liczbę 10 wprowadzamy zgodnie z aspektami monografii liczby naturalnej

1) powstanie danej liczby przez powiększenie poznanej wcześniej liczby o jeden (doliczanie i odliczanie jedności) 2) wyodrębnienie zbiorów o określonej liczbie elementów, dostrzeganie liczby jako wspólnej cechy zbiorów równolicznych określającej moc zbioru- aspekt kardynalny 3) liczba 10 w aspektach porządkowym (określenie miejsca liczby w ciągu liczbowym, jej związku z liczbami sąsiednimi i poznawanie porządku w zbiorze liczb naturalnych) i miarowym (określenie ile razy w rozpoznawanej wielkości mieści się wielkość jednostkowa, mierzenie wielkości ciągłych (na początku na liczbach w kolorach) 4) wprowadzenie liczby dziesięć i jej zapisu 5) określenie pojęcia cyfra 6) określenie pojęcia liczba jednocyfrowa, liczba dwucyfrowa 7) rozkład liczby 10 na składniki (aspekt algebraiczny) 8) zastosowanie liczby w praktyce (w życiu) oraz w rozwiązywaniu zadań tekstowych Zero stoi za jedynką tworząc cyfrę 10 ponieważ jest to jedna dziesiątka i nie posiada jedności z zakresu kolejnej dziesiątki. 22. Rozszerzenie zakresu liczbowego do 20 Propozycja rozkładu materiału nauczania: 1. Przeliczanie przedmiotów w zakresie 20, wyodrębnianie dziesiątek i jedności. (obliczanie elementów w podzbiorach, z których jeden mam zawsze 10) 2. Zapisywanie i odczytywanie liczb dwucyfrowych ...