La derivada y su función Secante Y Tangente PDF

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LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN 1. Lee con atención la siguiente situación: Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 2x2 - 6x Es decir, para producir 500 toneladas de jitomate se necesitan c (500) = 2 (500)2 6(500) = 497,000 (cuatrocientos noventa y siete mil pesos). Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso: Se deriva la función del costo de producción c(x)= 2x2- 6x Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:

El resultado o la derivada de la función de producción total es:

2. A partir de lo anterior, responde: ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 530 toneladas de jitomate? Si por 500 toneladas se pagan $497,000 para saber el incremento de 30 toneladas más, voy a multiplicar por 30 la función de la derivada: X=500 que son las toneladas iniciales (4x-6) (30) =120x-180

120(500)-180= 60,000-180= 59,820 El resultado es que por 30 toneladas se pagara $59,820 Por 530 toneladas se pagará: 500 toneladas iniciales: $497,000+ $59,820 de 30 toneladas: $497,000+ $59,820=$556,820 Lo que indica que por 530 toneladas se pagara: $556,820

En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total? Se aplico cuando cambio el precio rápidamente de la tonelada, es decir, el precio inicial y el costo incrementado.

SECANTE Y TANGENTE Imagina que es posible generar una función que modela para x toneladas de jitomate el costo necesario de su producción f(x). Supongamos que la función que modela el costo por toneladas está dada por: f(x) = 6x2 + 5x Recuerda que las funciones son usadas para modelar el comportamiento de algún fenómeno y así poder estimar los valores de la función cuando hay una variación en x. La fórmula para calcular la pendiente de la recta secante a una función dada es:

Ahora resuelve lo que se te pide: 1. A partir de la fórmula mencionada, determina la pendiente (m) de la recta secante para la función de costo de producción de 8 a 10 toneladas.

X ₁=8 X ₂=10 Evaluamos x₂=10 en la función: f(x)=6x²+5x f(x₂) =6(10) ²+5(10) f(x₂ ) =6(100) +50 f(x₂ ) =600+50 f(x₂) =650 Evaluamos x₁=8 en la función: f(x)=6x²+5x f(x₁) =6(8) ²+5(8) f(x₁ ) =6(64) +40 f(x₁ ) =384+40 f(x₁) =424 ahora voy a aplicar la fórmula de la pendiente y voy a sustituir los valores:

m

f ( x ₂ )−f (x ₁) x ₂−x ₁

m

650− 424 10 −8

m

226 =113 2

Entonces la pendiente es: 113

2. Realiza la gráfica de la recta secante de la función x = 1 .

f(x) = 6x2 + 5x La gráfica de la recta secante con x=1 se debe derivar a partir de la función de costo de producción: Función de costo de producción

f(x) = 6x2 + 5x

Función de costo de producción derivada

f´(x) = 12x + 5

para poder sacar la grafica de la recta secante voy a ocupar la ecuación que obtendré con la siguiente formula: y=m(x-1) + f(x₁) lo que indica que m es la pendiente y usare la fórmula de la pendiente:

Solo hay un valor que es x=1, se necesita un segundo valor para poder usar la formula de la pendiente el cual será: x2=2 X=1

X2=2

Entonces evaluó los valores x1 y x2 en la función original:

f(x) = 6x2 + 5x primero evaluare en x₂: f(x₂) = 6(2) ² +5(2) f(x₂) = 6(4) +10 f(x₂) = 24+10 f(x₂) = 34 ahora evaluare en x₁: f(x₁) = 6x² + 5x f(x₁) =6(1) ² + 5(1)

f(x₁) =6(1) + 5 f(x₁) =6+5 f(x₁) =11 ahora aplicare y desarrollare la fórmula de la pendiente: m=

f ( x ₂ )−f (x ₁) 23 34 −11 = = = 23 1 2−1 x ₂−x ₁

lo que indica que la pendiente es: m= 23 ahora voy a aplicar la fórmula de la ecuación de la recta secante: y=m(x-1) + f(x ₁) Y=23(x-1) + 11 Y=23x-23+11 Y=23x-12 Entonces la ecuación de la recta secante es: y=23x-12

3. En seguida saca la recta tangente y represéntala en una gráfica. Al realizar la gráfica emplea una tabla con un rango de x de -2 a 2 como se muestra en el ejemplo. A continuación, voy a usar la siguiente ecuación para graficar la recta tangente: y=m(x-1) + f(x₁) Lo que la ecuación original es: f(x) = 6x2 + 5x, su derivada es: 12x + 5 , también se sabe que x1=1, sustituimos la función derivada y obtuve que: 12x+5= 12(1) +5= 12+5= 17, por lo tanto, la pendiente es: 17 Ahora voy a sustituir el valor de x1= en la función original: f(x ₁) = 6x2 + 5x

f(x ₁) = 6(1) ² +5(1) f(x ₁) =6(1) +5 f(x ₁) =6+5 f(x ₁) = 11 Entonces voy a aplicar la ecuación de la recta para obtener la ecuación de la recta tangente: y=m(x-1) + f(x₁), y que m= 17 Y= 17(x-1) +11 Y= 17x-17+11 Y= 17x-6 Lo que indica que la ecuación de la recta tangente es: y=17x-6

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