La geometría analítica y su origen, su progreso y su desarrollo a lo largo del tiempo PDF

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Es un pequeño resumen de como se origino y se fue desarrollando la historia de la geometría analítica, como se fue modificando, como se fueron incorporando algunos calculos y como perdura hasta nuestros dia...

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La geometría analítica y su historia Para comenzar, es esencial conocer la geometría analítica y todo lo que conlleva. Esta es una rama de las matemáticas dedicada al estudio de las figuras geométricas y sus respectivos datos, como: áreas, volúmenes, puntos de intersección, etc. Para ello emplea técnicas básicas de análisis matemático y de álgebra. Esta usualmente comprende la interpretación matemática de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones o la representación gráfica de una ecuación matemática. La geometría utiliza un sistema de coordenadas conocido como el plano cartesiano. El sistema de ejes cartesianos o ejes de coordenadas son 2 rectas perpendiculares entre sí graduadas, una horizontal y otra vertical. El eje horizontal o eje X se llama eje de abscisas, y el eje vertical o eje Y se llama eje de ordenadas. Ambos ejes se cortan en un punto que se denomina origen de coordenadas, y que se representa con O. En el eje X, los valores positivos están desde el origen de coordenadas hacia la derecha, y los valores negativos están desde el origen de coordenadas hacia la izquierda. En el eje Y, los valores positivos están desde el origen de coordenadas hacia arriba, y los valores negativos desde el origen de coordenadas hacia abajo. Teniendo en cuenta lo anterior, para indicar la posición de un punto respecto a los ejes de coordenadas, por ejemplo las coordenadas cartesianas de un punto P del plano, se pone un par ordenado de números (xP, yP). La primera coordenada, xP, es la coordenada x del punto, la proyección perpendicular del punto sobre el eje X. La segunda coordenada, yP, es la coordenada y del punto, la proyección perpendicular del punto sobre el eje Y. El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas (0, 0), ya que tanto su abscisa como su ordenada son 0. Al ya conocer el eje x y el eje y, es fundamental saber que los ejes cartesianos dividen al plano en 4 cuadrantes. Todos los puntos que están en el 1 cuadrante tienen su abscisa y su ordenada positivas. Los del 2 cuadrante tienen la abscisa negativa y la ordenada positiva. Los del 3 cuadrante, su abscisa y su ordenada son negativos. Y, en el 4 cuadrante, la abscisa es positiva, y la ordenada negativa. Un dato que tienen en común la geometría analítica y el sistema de ejes cartesianos es que la denominación de «cartesiano» se introdujo en honor a la misma persona que es considerado el fundador de la geometría analítica. Así es, René Descartes, fue quien utilizó el sistema de ejes cartesianos por primera vez de manera formal y es considerado el padre de la geometría analítica.

René Descartes fue un filósofo y matemático francés, nacido en la Haye, Touraine (Francia), el 31 de marzo de 1596, estudió en el colegio Jesuita de la Fléche donde se enseñaba la escolástica. Continuó derecho en Poitiers y se graduó en el año de 1616, sin embargo, nunca ejerció la profesión Jurídica. En 1618 entró al servicio del príncipe Mauricio I de Nassau, con la intención de seguir la carrera militar. Es considerado como “el padre de la “filosofía moderna”. Cuando renunció a su vida militar, viajó por Alemania y los países bajos, regresando a Francia en 1622 para vender sus propiedades y asegurar su vida independiente; pasa por Italia (1623-1625) radicándose luego en París, allí se relacionó con la mayoría de los científicos. En 1628 se radicó en Holanda, se dedicó a las investigaciones científicas gozando que estaban favorecidos por una relativa libertad de pensamiento. Consideró que allí era muy adecuado para desarrollar los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, así que vivió allí hasta el año de 1649. Dedicó los primeros 5 años a producir su propio sistema del mundo, su concepción del hombre y del cuerpo humano. En 1633 ya tenía avanzada la redacción del texto de Metafísica y Física titulado “Tratado sobre la luz”; pero la noticia de la condena de Galileo Galilei lo asustó, ya que él sostenía el movimiento de la tierra, opinión que no creía censurable desde el punto de vista teológico. Como temía que su texto tuviera teorías condenables, renunció a su publicación. En 1637, publicó el “Discurso del Método”, presentado como prólogo a 3 ensayos científicos: La Geometría, Dióptrica y los Meteoros. Proponía una duda metódica orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar el saber. Este principio lo halló en su propia conciencia, en su famosa frase: “Pienso luego Existo”, uno de los principales elementos del racionalismo occidental. Con su escrito se apartó de la escolástica enseñada en las universidades europeas. Trató de romper con el razonamiento escolástico, basándose en el modelo matemático, con el que intento poner fin al silogismo aristotélico que se mantuvo y desarrolló durante la Edad Media. A partir de ahí formuló el conocido "método cartesiano", que era la descomposición de problemas complejos en partes sencillas hasta conseguir los elementos básicos que se presentan a la razón de forma. Los fundamentos de su física mecanicista, lo situó en la metafísica que expuso en 1641, que trataba de la demostración de la existencia, la perfección de Dios y la inmortalidad del alma. Su filosofía empezó a conocerse, pero esto le causó amenazas de persecución religiosa en los países bajos y Francia. En el año de 1649, la Reina Cristina de Suecia lo invitó a Estocolmo para darle clases de filosofía, allí murió de una pulmonía el 11 de febrero de 1650, a los 53 años de edad.

Al ya haber definido la geometría analítica, el sistema de ejes coordenados y saber sobre el padre de los 2, da la curiosidad de saber ¿cómo es que todo esto inicio? Bueno, pues todo comenzó con el descubrimiento de las curvas denominadas cónicas, por el matemático griego Menecmo (año 350 a.C.), discípulo de Euclides. Su hallazgo se produjo en los intentos de resolver el clásico problema de Delos de la duplicación del cubo, mediante la interpolación de 2 medias proporcionales. El problema consistía en encontrar el punto de intersección de 2 curvas especiales (de 2 cónicas), de 2 parábolas o de 1 parábola e 1 hipérbola, desplazando el plano de corte con el cono. Sin embargo, encontrar el punto de corte es un problema que no pudo resolver con regla y compás (fue demostrado en 1837 por el matemático francés L. Wantzel). Su solución fue utilizando ecuaciones para las cónicas. La solución x del problema de Delos, se encuentra resolviendo la proporción a/x =x/y=y/2a. El punto de intersección de las 2 parábolas, o de la intersección de 1 de las parábolas y la hipérbola proporciona, x al cubo= 2a al cubo, que entrega la arista x de un cubo cuyo volumen es el doble del volumen del cubo dado. Sin embargo, el primero en realizar un estudio sistemático y formal de las cónicas fue el matemático griego Apolonio de Perga (262-190 A.C.) “El Gran Geómetra”. Antes de él, una cónica se definía como la intersección de un cono con un plano perpendicular a una generatriz, así que su innovación fue hacer variar el ángulo de inclinación del plano secante. En relación a estas curvas, descubrió que se podían clasificar en 3 clases que denominó elipses, hipérbolas y parábolas, y estudió las propiedades de los clásicos elementos notables de estas curvas: ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, tangentes y normales. Registró sobre estas curvas en su obra “Las Cónicas”. Los matemáticos griegos, Apolonio en particular, se ocuparon de las propiedades geométricas de las cónicas. No obstante, hasta el siglo XVII se desarrolló la Geometría Analítica, las cónicas quedaran puestas de manifiesto, además de que fueron importantes en el desarrollo del cálculo. En este siglo fueron descubiertas las propiedades proyectivas de las cónicas. Pascal, en el año 1640, publicó “Ensayo sobre las cónicas” que trata la geometría de las secciones cónicas, dando un avance a los trabajos de Apolonio. Arquímedes, sabía que si los rayos del sol incidían paralelos al eje de un espejo parabólico, éstos se reflejaban y convergían en 1 punto, Galileo Galilei demostró que la trayectoria de un proyectil es una parábola. Pero 2 grandes descubrimientos fueron, el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y tienen al sol como 1 de sus focos y que, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. Hasta el siglo XVII existía la visión puramente geométrica de las secciones cónicas dada

por los griegos. Con el desarrollo de la Geometría Analítica, se incorporaron las nociones de coordenadas y distancia, definiendo estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. La primera definición de cónicas se atribuye a Menecmo, como secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz. Apolonio de Perga, definió a una sección cónica como una curva que se obtiene de intersectar un plano con la superficie de un cono circular recto....