La Integral Indefinida , técnicas de integración PDF

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La Integral Indefinida , técnicas de integración,
Integración por partes, integración trigonométrica...

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MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefi Indefinida nida

1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES 1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivo: Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas

1

MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefi Indefinida nida

En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral.

1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos integral

F

a

una

indefinida

D x F ( x ) = f ( x)

de

es decir

antiderivada,

f

en

el

primitiva

intervalo

I

,

o si

F´( x) = f ( x)

1.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

∫

f ( x) dx = F ( x) + C

1.1.2 Teorema Si

F´( x) = G´( x)

constante

C

,

∀x ∈ (a, b )

tal que

entonces existe una

F ( x ) = G ( x ) + C , ∀ x ∈ ( a, b)

Demostración Demostración: definida en un intervalo ( a, b) entonces Sea H ( x) = F ( x) − G (x ) H ´( x) = F ´(x ) − G´(x ) . Por Hipótesis, como F´( x) = G´(x ) entonces H ´(x ) = 0 , ∀x ∈ (a , b) . Como H es derivable ∀x ∈ (a , b) , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para H ( x1 ) − H ( x ) derivada, ∃x 0 ∈ ( x, x1 ) ⊆ (a , b) tal que H ´(x 0 ) = . Haciendo H´( x0 ) = 0 x1 − x tenemos

H( x1 ) − H ( x) x1 − x

= 0 es decir H( x) = H( x1 ) = C .

Por lo tanto F( x) − G( x) = C

2

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La integral Indefi Indefinida nida

1.2 INTEGRACIÓN. Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. 1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales

∫ dx = x + C x 2. ∫ x dx = n+ 1 + C ; n ≠ −1 1 3. ∫ x dx = ln x + C 4. ∫ e dx = e + C a 5. ∫ a dx = ln a + C 6. ∫ sen xdx = − cos x + C 7. ∫ cos xdx = sen x + C 8. ∫ sec xdx = tg x + C 9. ∫ csc xdx = − cot gx + C 10. sec x tg xdx = sec x + C ∫ 1.

n +1

n

x

x

x

x

2

2

11.

∫

csc x cot gdx = − csc x + C

∫ tg xdx = −ln cos x + C = ln sec x + C 13. cot gxdx = ln sen x + C ∫ 14. sec xdx = ln sec x + tg x + C ∫ 15. csc xdx = ln csc x − cot gx + C ∫ 1 ⎛x ⎞ 16. ∫ a − x dx = arcsen ⎜⎝a ⎟⎠ + C

12.

17.

18.

19. 20.

∫ ∫ ∫

2

2

1

dx =

a2 + x2

1 x arctg⎛⎜ ⎟⎞ + C a ⎝ a⎠

⎛x ⎞ ⎛ a⎞ 1 1 dx = arcsen ⎜ ⎟ + C = arccos⎜ ⎟ + C ⎜ ⎟ ⎜ x⎟ a a x x2 − a2 ⎝a⎠ ⎝ ⎠ 1

senh xdx = cosh x + C

∫ cosh xdx = senh x + C 3

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La integral Indefi Indefinida nida

Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas. Ejemplo 1 Calcular

∫ x dx 2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. x2 +1 x3 x 2 dx = +C = +C 2 +1 3

∫

Ejemplo 2 Calcular

∫

1

dx

x

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

∫

1

dx =

x

∫x

−1

2 dx

=

x

−12 +1

− 12 +1

+C

Ejemplo 3 Calcular

∫ 4+ x 1

2

dx

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 17. 1 1 dx = arctan 2 22 + x2

∫

( x2 )+ C

Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades. 1.2.2 PROPIEDADES. La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

∫[ 2. ∫ 1.

f ( x ) ± g ( x)]dx =

kf ( x )dx = k

4

∫

∫

∫

f ( x) dx ± g ( x) dx

f ( x) dx; k ∈ R

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La integral Indefi Indefinida nida

Ejemplo 4 Calcular

⎛2

x⎞

∫ ⎜⎝ x + 3sin x − 4e ⎠⎟dx

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas: ⎛2 x ⎞ ⎜ + 3 sin x − 4 e ⎟dx = ⎝x ⎠

∫

∫ ∫ 3 sin dx − ∫ 4e dx 1 =2 ∫ x dx + 3 ∫sin xdx − 4 ∫e dx 2 dx + x

x

x

= 2 ln x − 3 cos x − 4e x + C

Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo.

1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas. Ejemplo 1 Calcular

∫

(1 − x)3 dx x3 x

SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:

∫

(1 − x )3 dx x3

∫ ∫ ∫ ∫

=

x =

=

=

= =

1 − 3 x + 3 x 2 − x3 x

4

dx

3

⎡ 1 x3 ⎤ 3x 3x 2 ⎢ − 4 + 4 − 4 ⎥ dx 4 ⎢ 3 ⎥ x 3 x 3 x 3⎦ ⎣x

2 5 ⎤ −1 ⎡ − 43 −3 x 3 +3 x 3 − x 3 ⎥ dx ⎢x ⎦ ⎣

x

−4

−1 x 3

−1

∫

3 dx − 3 2

x

−1 3 dx + 5

∫

3

2

x

3 dx −

∫

x

5 3 dx

8

x 3 x 3 x 3 +3 − +C 5 8 2 3 3 3 9 2 9 5 3 8 − x 3 + x 3 − x 3 +C 2 5 8

−3

3

−1 −3 x 3

5

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La integral Indefi Indefinida nida

Ejercicios Propuestos 1.1 Encuentre las antiderivadas de:

∫ ∫ ∫(

1.

2.

3.

(3 − x ) dx

4.

⎛ 1 ⎞ ⎜ 1− ⎟ x x dx ⎜ ⎟ ⎝ x2 ⎠

5.

23

)(

x 2 + 1 x2 − 2 3 2 x

)dx

∫ ∫

x x 2 +1 − 5 −1

10x

dx

x 4 + x −4 + 2 x3

dx

1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas. En este caso las formulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable. Ejemplo 1 Calcular

∫(

1 − x )30 dx

SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable t = 1 − x .

dt = −1dx → dx = −dt . dx

Del cambio de variable, tenemos: Ahora sustituyendo resulta:

∫

t30 ( − dt) = −

Una vez integrado, reemplazando

t

∫

t30 dt = −

se obtiene:

∫

t 31 +C 31

(1 − x)30 dx = − (1 − x) 31

31

+C

Ejemplo 2 Calcular

∫

sen x x

dx

SOLUCIÓN:

Aquí empleamos el cambio de variable: t = x . Del cambio de variable se obtiene:

Sustituyendo resulta:

6

∫

sen

x x

dt 1 = → dx = 2 x dt . dx 2 x

dx =

∫

sen t x

2 x dt = 2

∫

sen tdt = 2(− cos t ) + C

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La integral Indefi Indefinida nida

Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos:

∫

sen x x

dx = −2 cos x + C

Ejemplo 3 Calcular

∫

x x − 1dx

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1

dt = 1 → dx = dt dx

Del cambio de variable se obtiene: Sustituyendo resulta:

∫x

∫

x x − 1dx =

Como no se simplifica la

x t dt

, debemos reemplazarla.

En este caso, despejando del cambio de variable: x = t + 1

Entonces:

∫

x t dt =

∫

= 25 t

(t + 1)

t dt =

5 2

3

+ 23 t

Una vez integrado, reemplazando

t

2

∫

(t

)

t + t dt =

∫ ∫ t

3

2 dt +

t

1

2 dt

+C

resulta:

∫

x x − 1dx =

2 5

5

(x − 1)

2

+

2 3

(x − 1)

3 2

+C

Ejemplo 4 Calcular

⎛ 4 x − 1+ arc tan x − e arc tan x ⎞ ⎟ dx ⎜ 2 ⎜ ⎟ x 1 + ⎠ ⎝

∫

SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos:

∫

4x dx − x +1 2

∫

1 dx + x +1 2

∫

arctanx dx − x2 +1

Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado. 1.

∫

4x 2 x +1

∫

e

arc tan x

x2 + 1

dx

dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = x2 + 1 , de donde

dt dt . = 2 x , entonces dx = dx 2x

Sustituyendo, resulta:

2.

3.

∫ ∫

1 x 2 +1

dx = x +1

∫

dx . Esta integral es directa.

arctgx x2+1

∫

4x

2

4 x dt =2 t 2x

∫

∫

1 2 dt = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + C t

1 dx = arctanx+ C x2 +1

dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = arctg x , de donde

(

)

1 dt = , entonces dx = x 2 + 1 dt . dx x 2 +1

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La integral Indefi Indefinida nida Sustituyendo, resulta:

∫ 4.

∫

e

arc tg x

x2+1

arctanx dx = x 2 +1

∫

x

(x +1)dt = +1 2

∫

tdt =

(arctanx)2 C t2 +C = + 2 2

dx . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:

∫

earc tan x 2 x +1

dx =

FINALMENTE:

∫

t 2

∫

et

(x +1)dt = 2

2 x +1

∫

e t dt = e t + C = e arctanx + C

2 ⎛ 4x − 1+ arc tan x − e arc tan x ⎞ ⎜ ⎟ dx = 2 ln x 2 + 1 −arc tan x + ( arc tan x) − earc tan x + C ⎜ ⎟ 2 x2+1 ⎝ ⎠

Ejemplo 5 Calcular

∫(

dx

)

1 + x 2 ln⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝

SOLUCIÓN: Tomando el cambio de variable: t = ln⎛⎜ x + 1+ x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝

1 dt = dx x + 1+ x 2 Del cambio de variable:

1

=

⎛ ⎞ 1 ⎜1 + 2x ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 1+ x ⎠ ⎛ 1 + x2 + x ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎝ 1+ x ⎠

x + 1 + x2 1 dt = → dx = 1 + x 2 dt 2 dx 1+ x

Reemplazando, resulta:

∫(

)

dx

1+ x 2 ln⎛⎜ x + 1+ x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝

=

=

∫ ∫

1 + x 2 dt 1 + x2 t

t

− 12

1

dt = 2 t 2 + C

⎛ ⎞ = 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ + C ⎝ ⎠

8

MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefi Indefinida nida

Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (

dx

11.

)

5 5x− 2 2

x 2 x − 1dx

12.

dx

13.

π ⎞ ⎛ sen 2 ⎜ 2x + ⎟ 4⎠

⎝

14.

1 − sen (2 x) dx

15.

x 2 +1 dx x− 1

(1 + x ) 2 1 +x 2

16. dx

dx

(1+ x )

17. x

arc tan x

1

1− x 2

10.

18.

dx

x (1 + x)

⎛1+ x ⎞ ln ⎜ ⎟ dx ⎝1 − x ⎠

19.

dx x+1 +

20.

x−1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 + x 2 + x 1 − x2

dx

1 − x4 ln x dx x 1 + ln x dx

x ln x ln (ln x ) a+ x dx a− x sen x cos x a 2 sen 2 x + b 2 cos 2 x

dx

dx sen 2 x

4c tg x

⎞ ⎛ ln⎜ x + 1+ x 2 ⎟ ⎠ dx ⎝ 1+ x 2 2x 3x 9x −4x

dx

x dx 1+ x 2 +

(1+ x )

x −1

2 3

dx

2

4 x − 8 x+ 3

1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. Para el producto de funciones, tenemos: d (uv ) = udv + vdu udv = d (uv ) − vdu

Despejando y tomando integral, resulta:

∫

udv =

∫

d ( uv ) −

∫

vdu

En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes es:

∫

udv = uv −

∫

vdu

Ejemplo 1 Calcular

∫

x e x dx

SOLUCIÓN:

x Haciendo u = x y dv = e dx .

9

MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefi Indefinida nida

Entonces du = dx y v =

Integrando, resulta:

∫

∫

e x dx = e x

dv v u 678 u } } } x x e dx = x e x −

∫

v du } } e x dx

x

= x e − ex + C

Ejemplo 2 Calcular

∫(

)

2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx

SOLUCIÓN:

Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dv = sen x dx . Entonces du = ( 4 x + 3) dx y v = Por lo tanto, integrando tenemos:

∫

∫

sen xdx = − cos x

u 44 u 44 dv 4 v4 6 447 86 6 447 8 6 47 8 47 8 2 2 2x + 3x − 5 sen x dx = 2 x + 3 x − 5 (− cos x ) −

(

)

(

)

(

)

2

= − 2 x + 3 x − 5 cos x + Ahora, la integral Haciendo

∫

v =

∫(

∫(

∫

v4 du 4 6 47 8 647 8 cos x )(4 x + 3 )dx

(−

4 x + 3 ) cos xdx

4 x + 3 ) cos xdx también se la realiza por partes.

u = 4x + 3

y

dv = cos x dx .

Entonces

du = 4 dx

y

cos xdx = sen x

Por tanto:

∫(

4 x + 3 )cos xdx = (4 x + 3 )sen x −

∫

sen x (4 dx )

= ( 4x + 3) sen x + 4 cos x

FINALMENTE:

∫(

)

(

)

2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + ( 4 x + 3) sen x + 4 cos x + C

Ejemplo 3 Calcular

∫

e x cos xdx

SOLUCIÓN:

Haciendo u = e x y dv = cos x dx . Entonces du = e x dx y v =

10

∫

cos xdx = sen x

MOISES VILLENA MUÑOZ

Por tanto:

La integral

La integral Indefi Indefinida nida

∫ ∫

ex cos xdx = ex sen x −

∫

sen x e x dx

sen xe x dx se la calcula por parte. Hacemos u = e x y dv = sen x dx .

Entonces du = e x dx y v =

Por lo tanto

∫

∫

sen xdx = − cos x .

e x sen xdx = −e x cos x +

∫

e x cos xdx

FINALMENTE:

∫ ∫

⎡ x x x e cos xdx = e sen x − ⎢− e cos x + ⎢ ⎣ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x −

∫

⎤ x e cos xdx ⎥ ⎥ ⎦

∫

e x cos xdx

Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando

∫ ∫

2

e x cos xdx = e x sen x + e x cos x

e x cos xdx =

e x sen x +e x cos x +C 2

Ejemplo 4 Calcular

∫

x ln xdx

SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar u = ln x y dv = x dx .(¿por qué?) Entonces du =

1 dx y v = x

Por tanto:

∫

∫

xdx =

x2 2

∫ ∫

⎛ x2 ⎞ ⎟− x ln xdx = (ln x)⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ =

1 x 2 ln x − 1 2 2

=

1 2 x ln x − 12 2

x2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ dx ⎟ 2 ⎝x ⎠

xdx

⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟+C ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠

Ejemplo 5 Calcular

∫

ln xdx

SOLUCIÓN:

11

MOISES VILLENA MUÑOZ

La integral Indefi Indefinida nida

u = ln x

Entonces, aquí sería también v =

∫

y

dv = dx . Entonces du =

1 dx x

dx = x

Por tanto:

∫

ln xdx = x ln x −

∫

⎛1 ⎞ x ⎜ dx ⎟ ⎝x ⎠

= x ln x − x + C

Ejemplo 6 Calcular

∫

x arctg x dx

SOLUCIÓN:

Tomamos u = arctg x y dv = xdx , entonces: du = Por tanto:

∫

⎛ x2 ⎞ ⎟− x arctgxdx = (arctgx )⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ = 12 x2 arctg x − 12

∫ ∫

1 1 +x

dx y v =

2

x2 2

x2 ⎛ 1 ⎞ dx ⎟ ⎜ 2 ⎜⎝ 1+ x2 ⎟⎠ x2 dx x2 + 1

Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: Reemplazando

FINALMENTE:

∫ ∫

x2

dx = x 2 +1

∫

x arctg xdx =

1 ⎞ ⎛ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dx = x ⎝ +1 ⎠

1 2

x 2 arctg x −

1 2

∫ ∫ dx −

1 x2+ 1

x2 1 =1 − 2 x +1 x +1 2

dx = x − arctg x

[x − arctg x] + C

Ejercicios Propuestos 1.3 Encuentre las antiderivadas de: 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

12

∫ ∫(

x e 3 x dx
...