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LA LÓGICA enciclopedia lógica DE LA VERDAD LA LÓGICA DE LA VERDAD Eduardo Alejandro Barrio (Director) Eduardo Alejandro Barrio (Director) Otros libros de la colección Eduardo Alejandro Barrio (Director) Eduardo Alejandro Barrio es profesor regu- lar de Lógica de la Universidad de Buenos Lógica infor...

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La Lógica de la Verdad Eduardo Barrio

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Barrio (ed) Lógica de la Verdad.pdf Eduardo Barrio Enfoques paraconsist ent es sobre la Disyunción de Gödel Alba E Cuenca Una Int roduccion a la t eoria logica de la Edad Media MANUEL A DAHLQUIST

Otros libros de la colección Lógica informal Falacias y argumentos ilosóicos Juan Manuel Comesaña La Verdad Desestructurada Eduardo Alejandro Barrio Concepciones de la Referencia Eleonora Orlando Conjuntos e ininitos Ana Carolina Sartorio Forma y modalidad Una introducción al concepto de consecuencia lógica Mario Gómez Torrente La paradoja de Orayén Alberto Moretti y Guillermo Hurtado (compiladores)

Eduardo Alejandro Barrio (Director) Esta colección se propone presentar las principales discusiones de la lógica contemporánea, explorando los problemas ilosóicos que a ella subyacen. La idea es que cada volumen reconstruya un problema actual de manera clara y exhaustiva. En todos los casos, no sólo se intenta describir el estado de las discusiones en torno a ese desafío, sino además ofrecer puntos de vista originales. En La Lógica de la Verdad se aborda un problema central: ¿cuál es la lógica de un lenguaje que intenta representar su propio predicado veritativo? El libro puede verse como una respuesta a fondo al desafío planteado por el conocido Teorema de Tarski de indeinibilidad de la verdad. ¿Puede capturarse consistentemente la noción de verdad revisando la lógica clásica?, ¿cuál es la lógica resultante de tal emprendimiento? Este volumen contiene, además, una exposición detallada de cada una de las teorías contemporáneas de la verdad: la teoría tarskiana, la teoría de la verdad como un punto ijo, la de la revisión, las teorías paracompletas y las paraconsistentes. En todos los casos, se incluyen ejercicios y una bibliografía complementaria.

Lógica, lenguaje y signiicado Volumen I: Introducción a la lógica Volumen II: Lógica intensional y gramática lógica L. T. F. Gamut

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LA LÓGICA DE LA VERDAD Eduardo Alejandro Barrio (Director)

enciclopedia lógica

LA LÓGICA DE LA VERDAD Eduardo Alejandro Barrio (Director) Eduardo Alejandro Barrio es profesor regular de Lógica de la Universidad de Buenos Aires e investigador independiente del Conicet. Su trabajo de investigación alrededor de las paradojas semánticas ha sido publicado en prestigiosas revistas de impacto internacional como Studia Logica y The Review of Symbolic Logic. Es director de la colección “Enciclopedia Lógica” de Eudeba, donde además ha publicado La Verdad Desestructurada. Actualmente, dirige el Grupo de Lógica de Buenos Aires, integrado por Natalia Buacar (UBA), Federico Pailos (UBA-Conicet), Lavinia Picollo (UBA-Conicet), Lucas Rosenblatt (UBA-Conicet), Damián Szmuc (UBA), Diego Tajer (UBA-Conicet) y Paula Teijeiro (UBA-Conicet), que realiza investigaciones conjuntas con los grupos de Lógica de la Universidad de Oxford y del Munich Center for Mathematical Philosophy (MCMP), Munich.

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Director de colección Eduardo Alejandro Barrio

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LA LÓGICA DE LA VERDAD

EDUARDO ALEJANDRO BARRIO (DIRECTOR)

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La lógica de la verdad / Eduardo Alejandro Barrio ... [et.al.] ; dirigido por Eduardo Alejandro Barrio. - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Eudeba, 2014. 304 p. ; 23x16 cm. - (Enciclopedia lógica / Eduardo Barrio) ISBN 978-950-23-2268-1 1. Filosoia. I. Barrio, Eduardo Alejandro II. Barrio, Eduardo Alejandro, dir. CDD 190

Eudeba Universidad de Buenos Aires 1ª edición: marzo de 2014

© 2014 Editorial Universitaria de Buenos Aires Sociedad de Economía Mixta Av. Rivadavia 1571/73 (1033) Ciudad de Buenos Aires Tel.: 4383-8025 / Fax: 4383-2202 www.eudeba.com.ar Diseño de tapa: Lisandro Aldegani Corrección y composición general: Eudeba

Impreso en Argentina. Hecho el depósito que establece la ley 11.723

No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su almacenamiento en un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopia u otros métodos, sin el permiso previo del editor.

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................... 9 Eduardo Alejandro Barrio Bibliografía ..................................................................................................23 CAPÍTULO 1. DEFINICIONES TARSKIANAS DE LA VERDAD .....................................25 Eduardo Alejandro Barrio 1. Verdad y consecuencias ...........................................................................26 2. Presentación intuitiva .............................................................................28 3. Deiniciones tarskianas de verdad ..........................................................33 3.1. Deiniciones de verdad sin dominios ..............................................33 3.2. La verdad relativa a un modelo M...................................................40 4. El Teorema de la Indeinibilidad de la Verdad.......................................55 4.1. Indeinibilidad de la verdad para lenguajes de orden inito ...........56 4.2. Indeinibilidad de la verdad para lenguajes de tipo ininito...........59 4.3. Indeinibilidad de la verdad para la aritmética ...............................64 Conclusión ...................................................................................................65 Apéndice ...................................................................................................67 Bibliografía ...................................................................................................70 Lecturas sugeridas ....................................................................................71 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE PUNTOS FIJOS DE KRIPKE ............................................75 Paula Teijeiro y Damián E. Szmuc 1. Crítica a las jerarquías tarskianas ...........................................................76

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1.2 Infundación .......................................................................................76 1.2.1 Infundación inherente...................................................................77 1.2.2 Infundación empírica ....................................................................78 2. Teoría de Puntos Fijos.............................................................................80 2.1 Exposición conceptual ......................................................................80 2.2 Semántica de puntos ijos .................................................................83 2.3 Algunas decisiones ............................................................................99 3. Problemas en torno al condicional: la invalidez del Esquema-T ...... 105 4. El regreso del metalenguaje...................................................................107 5. Revanchas .............................................................................................. 109 6. Conclusión ..............................................................................................111 Apéndice: Axiomatizaciones de la Teoría de Puntos Fijos de Kripke 113 Biliografía ...................................................................................................115 Bibliografía comentada..........................................................................116 CAPÍTULO 3. LA TEORÍA REVISIONISTA DE LA VERDAD ....................................117 Natalia M. Buacar y Lavinia M. Picollo 1 Introducción ..........................................................................................118 1.1 Preliminares ...................................................................................118 1.2 El problema a resolver .................................................................. 120 1.3 Una intuición fundamental ........................................................... 121 1.4 La tesis de la signiicación ............................................................ 122 1.5 Algunos desiderata ......................................................................... 122 1.6 Verdad circular .............................................................................. 124 2. Una presentación formal de la teoría revisionista de la verdad ........ 129 2.1 La teoría de las deiniciones de Gupta y Belnap .......................... 129 2.2 Una deinición circular de ‘verdad’. ............................................... 133 2.3 Secuencias de revisión ................................................................... 135 2.4 Las teorías T*, T# y Tc ................................................................... 141 2.5 Algunos resultados sobre los tres sistemas .................................. 149 2.6 Verdad en la aritmética ................................................................. 152 3 Problemas y soluciones alternativas .................................................... 158 3.1 Políticas de bootstrapping ............................................................. 158 3.2 Venganzas ...................................................................................... 175 4. Conclusiones ......................................................................................... 179 Apéndice: Un punto de vista axiomático ............................................ 181 Bibliografía ............................................................................................... 185 Bibliografía comentada......................................................................... 186

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CAPÍTULO 4. PARACOMPLETITUD SOFISTICADA ................................................ 187 Lucas Rosenblatt y Federico Pailos 1. Introducción ........................................................................................ 187 2. Combinar secuencias de revisión con puntos ijos.............................. 190 3. La semántica de vecindades ................................................................. 200 4. Una variación de Yablo......................................................................... 204 5. La teoría de Field, en versión soisticada .............................................210 6. Sobre el operador de ‘Determinación’ ................................................. 214 7. Objeciones ........................................................................................... 230 7.1 ¿Es el condicional razonable? ....................................................... 230 7.2 Cuantiicaciones restringidas ........................................................ 232 7.3 Otras paradojas .............................................................................. 234 7.4 ¿Es la teoría realmente inmune a las revanchas? ........................ 240 8. Conclusión ........................................................................................... 243 Apéndice: Un condicional razonable................................................... 244 Bibliografía ................................................................................................ 246 Bibliografía comentada......................................................................... 247 CAPÍTULO 5. DIALETEÍSMO: UNA TEORÍA CONTRADICTORIA DE LA VERDAD ...... 249 Diego Tajer 1. Introducción ......................................................................................... 249 2. LP como sistema lógico ....................................................................... 252 3. Condicionales ....................................................................................... 261 4. Teorías de la verdad .............................................................................. 270 5. ¿Dónde están las dialeteias?................................................................. 277 6. Objeciones al dialeteísmo .................................................................... 279 6.1 Perdemos varias leyes fundamentales del razonamiento ............ 280 6.2 No se logra un objetivo central: tener un lenguaje semánticamente cerrado ................................................................................................... 282 6.3 El autoboicot del dialeteísmo ........................................................ 286 6.4 La anormalidad de los mundos anormales ................................... 287 7. Conclusión ............................................................................................ 289 Apéndice: axiomatizaciones de las teorías........................................... 290 Bibliografía ................................................................................................ 291 Bibliografía comentada......................................................................... 292

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INTRODUCCIÓN Eduardo Alejandro Barrio

La posibilidad de tener lenguajes con máxima capacidad expresiva es una fuerte tentación. A in de cuentas, todo intento explicativo en la búsqueda de la comprensión de la totalidad de las cosas debería ser expresados en un lenguaje universal: uno con suicientes recursos como para hablar de todo. Claro que podrían resultar misteriosos estos lenguajes. Sin embargo, Tarski (1935: 164) los vincula directamente con nuestros lenguajes naturales. A characteristic feature of colloquial language … is its universality. It would not be in harmony with the spirit of this language if in some other language a word occurred which could not be translated into it; it could be claimed that ‘if we can speak meaningfully about anything at all, we can also speak about it in colloquial language’.

Así, el español, el inglés, el alemán y el francés serían lenguajes universales. Ahora bien, tal como ocurre con estos instrumentos lingüísticos, un lenguaje capaz de describirlo todo también debería tener, como parte de sus medios expresivos, la posibilidad de hablar de su propia semántica. Esto es, un lenguaje universal debería tener suicientes recursos expresivos como para representar su propio predicado veritativo. De esta manera, y tal como hacemos en nuestros lenguajes naturales, deberíamos ser capaces de predicar verdad frente a todas aquellas oraciones que estamos dispuestos a aceptar. Casos como:

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EDUARDO ALEJANDRO BARRIO

‘La nieve es blanca’ es verdadera o ‘No es cierto que llueve y no llueve’ es una verdad lógica o incluso: ‘La regla de Modus Ponens preserva verdad’ es verdadera. Son aserciones que deberíamos poder hacer sin problemas en un lenguaje universal. Si prestamos atención al uso del predicado veritativo en los lenguajes naturales, los vínculos entre aserción y verdad parecen indicar que la verdad debería ser transparente: lo que aceptamos es lo que tomamos como verdadero y lo que rechazamos es lo que no lo es. Así, por ejemplo, al aceptar que la nieve es blanca nos vemos comprometidos con su verdad y si lo rechazáramos, nos comprometeríamos a tomarlo como no verdadero. Sea Tr(x) el predicado veritativo de un lenguaje, Ƚ una oración y ‘A’ un nombre para A. Técnicamente, la transparencia de la verdad consiste en que para toda Ƚǡ”ሺǮǯሻ y A son intersubstituibles en todos los contextos no opacos. Así, si ٟ‫ ـ‬1

entonces, asumiendo que el condicional no genera contextos opacos se sigue por transparencia que: ٟ”ሺǮǯሻ‫”ـ‬ሺǮǯሻ

La transparencia de la noción de verdad es usualmente tomada como un mecanismo de captura y liberación. Imaginemos un hablante omnisciente, Zeus si se lo desea, con poderes super-humanos. Él podría listar un conjunto ininito enumerable de oraciones en un tiempo inito. Esta capacidad le permitiría usar sólo el fragmento sin el predicado de verdad del castellano para especiicar cualquier información acerca de su entorno. Simplemente, Zeus no necesitaría 1 A lo largo de este libro, hemos tomado la decisión de usar ‘‫ ’ـ‬para expresar el condicional material y ‘՜’ para expresar los condicionales especiales que se introducen en los diferentes sistemas para hablar de la verdad.

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INTRODUCCIÓN

usar un lenguaje con expresiones semánticas. Mientras hablara con otros que también posean super-poderes, podría eliminar todo uso de la verdad. En una dirección semejante, J. C. Beall (2009: 1) airma: God could use only the T-free fragment of English to uniquely specify our world. We are unlike God in that respect; we need a device that enables us to overcome inite constraints in our effort to describe the world.

Los hablantes como nosotros, en cambio, necesitamos un mecanismo que nos capacite para superar nuestras limitaciones initistas al esforzarnos cuando intentamos hablar acerca de lo que nos rodea. Este mecanismo es la verdad: nosotros, seres limitados expresivamente, no podríamos hablar de todo sin nuestro predicado veritativo. Así, muchas veces la introducción del predicado de verdad en un discurso recopila información para su eventual liberación. Esto es útil tanto como un mecanismo de generalización ininita: (1) Todos los teoremas de la aritmética son verdaderos como uno de generalización ciega: (2) Todo lo que dijo Aristóteles es verdadero. Sin tales generalizaciones, no tendríamos otra alternativa que enumerar una a una la información capturada por la predicación de verdad, lo cual, a diferencia de Zeus, no sería para nosotros una alternativa comunicacional apropiada. Aunque la verdad sea transparente tanto para nosotros como para Zeus, dadas nuestras capacidades expresivas, nuestros lenguajes no pueden eliminar sus expresiones semánticas. Así, nuestro predicado veritativo es un mecanismo para capturar información y para liberarla: 

y el de liberación en:

Ƚ֜”ሺǮȽǯሻ

Liberación: 

”ሺǮȽǯሻ֜Ƚ

Captura:

Cuando ֜ es un condicional, tenemos la forma condicional de Captura y Liberación que juntas forman lo que se conoce como bicondicionales T. Cuando ֜ es un martillo, tenemos sus formulaciones en términos de reglas. En este caso, el martillo indica que se trata de una inferencia válida (en algún sentido, no necesariamente clásico de validez).

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EDUARDO ALEJANDRO BARRIO

Muchos ilósofos y lógicos aceptan los principios de Tercer Excluido (LEM) y Bivalencia (BIV) vinculados a nuestro uso de la verdad. Ellos pueden ser comprendidos como sigue, donde ٟ expresa validez. ǣٟ‫ש‬൓

 ǣٟ”ሺǮǯሻ‫”ש‬ሺǮ൓Ǯ)

Supongamos que falsedad fuera tomada como verdad de la negación de una oración. Es decir, A es falsa si su negación ൓ es verdadera. De hecho, por transparencia ambos principios son equivalentes. Esto es, por transparencia, ”ሺǮǯ) y Ƚ son intersustituibles en todos los contextos no opacos para toda Ƚ. Por lo tanto, asumiendo que ni la negación, ni la disyunción generan opacidad, ‫ש‬൓ implica ”ሺǮǯሻ‫ש‬൓”ሺǮǯ), y ൓”ሺǮǯሻimplica ”ሺǮ൓ǯሻ, y por eso ‫ש‬൓ implica”ሺǮǯሻ‫”ש‬ሺǮ൓’). Esto es precisamente cómo funciona la transparencia. Expresada en un leguaje, la verdad transparente conduce a que la validez de LEM sea equivalente a la de BIV. También, muchos ilósofos aceptan el principio de no contradicción (PNC) aplicado a la verdad: ǣٟ൓ሺ”ሺǮǯሻ‫ר‬൓”ሺǮǯሻሻ

Y explosió...