La loi binomiale - Stats PDF

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Description

Prise de notes en lien avec la capsule

La loi binomiale Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire à laquelle il y a exactement 2 issues possibles :

succès

Remplir les boîtes par les noms généralement utilisés.

Expérience aléatoire

échec Quatre ingrédients sont essentiels pour garantir que la variable

X

soit de loi

binomiale, avec paramètres n et p : 1. un nombre prédéterminé d’épreuves de Bernoulli, notons-le n, est réalisé; 2. la probabilité d’obtenir un succès est la même à chaque épreuve, notons-la 3. les épreuves de Bernoulli sont indépendantes entre elles; 4.

X =¿ Nombre total de succès parmi les n épreuves.

On utilise alors la notation :

Les valeurs possibles de la variable X

X

Bin (n,p)

sont 0, 1, 2, …, n

p ;

L’utilité principale de reconnaître qu’une variable obéit à la loi binomiale est que cela habilite à effectuer efficacement plusieurs calculs.

La moyenne et l’écart-type de la variable binomiale

X

sont facilement calculés au

moyen des formules : E [ X ] =¿ np

et

σ =√ np(1− p)

En utilisant la fonction LOI.BINOMIALE.N dans Excel, il est possible de calculer toute probabilité de l’une des deux formes : P(X = x) et P(X plus petit ou égal à x) Remarque : La capsule complémentaire Binomiale, calculs de probabilité avec Excel, expose cette fonction de façon détaillée. Toute autre probabilité peut être déduite de probabilités qui s’expriment sous l’une des deux formes ci-haut. Une astuce pour éviter les erreurs de calcul est de faire appel à de petits diagrammes comme :

P ( 55 ≤ X ≤ 65)=¿ ?

Notes additionnelles : ______________________________________________________

Exercices 1- Reprenons l’un des exercices en lien avec la capsule « règle de multiplication pour événements indépendants ». Un organisme de bienfaisance obtient un don lors de la sollicitation de 15% des gens. Les gens décident de donner ou non indépendamment les uns des autres. On s’intéresse au nombre X de personnes parmi les 3 prochaines sollicitées, qui feront un don. Exprimez les probabilités suivantes en termes de la variable X et calculez-les en utilisant la loi binomiale : a) probabilité que les trois personnes fassent un don. b) probabilité qu’aucune des trois personnes fassent un don. c) probabilité qu’au moins un don soit recueilli. d) probabilité que les trois personnes ne fassent pas le même choix.

2- Chaque billet d’une loto est gagnant avec une probabilité de 5%. Vous achetez 10 billets. a) Quelle est la probabilité qu’au moins un des billets soit gagnant? b) Quelle est la probabilité que plus de deux des billets soient gagnants?

3- Un étudiant répond au hasard à un examen à choix multiples composé de 20 questions. Chaque question comporte quatre choix de réponses et toutes les questions ont la même pondération lors du calcul de la note finale. a) Quelle est la probabilité que l’étudiant réponde correctement à exactement 5 questions? b) Quelle est la probabilité qu’il réponde correctement à au plus 5 questions? c) Quelle est la probabilité qu’il obtienne (au moins) la note de passage, si celle-ci est fixée à 60% ? d) Quelle est la probabilité que sa note soit entre 50% et 60%, inclusivement?

e) Si trois étudiants répondent (indépendamment!) au hasard à cet examen, quelle est la probabilité qu’exactement un d’entre eux obtienne au moins 50% ? 4- Supposons qu’un québécois (adulte) sur quatre ait vu les publicités d’un produit. Votre agence a été mandatée pour évaluer l’efficacité de ces publicités. L’une de vos stratégies est de sonder la population au moyen d’un sondage d’opinion. Un échantillon de 50 québécois est recueilli au hasard. a) Quelle est la loi de probabilité du nombre personnes ayant vu la publicité parmi les 50? b) Quel est le nombre espéré de québécois aillant vu les publicités au sein de l’échantillon? Quel en est l’écart-type? c)

Quelle est la probabilité qu’au moins 8 personnes de l’échantillon aient vu les publicités?

d) Quelle est la probabilité qu’entre 20% et 30% des gens sondés, inclusivement, aient vu la publicité?

Réponses aux exercices : 1- X suit une loi binomiale avec n=3 et a) P (X=3) = 0.003375. b) P (X=0) = 0.614125. c) 1-P(X=0) = 0.385875. d) 1-P(X=0)-P(X=3) = 0.3825.

p=0.15 .

Remarque : Cet exercice a également été proposé dans le document accompagnant la capsule « règle de multiplication pour événements indépendants ». En comparant la solution donnée dans le document susmentionné et la solution du présent document, on peut apprécier le fait que la solution fournie ici est plus simple. Il est possible d’effectuer les calculs sans faire appel à la loi binomiale, mais, quand on réalise que la loi binomiale peut être appliquée, on sauve du temps et de l’énergie! En général, pour les problèmes où n est plus grand, on sauve encore beaucoup plus d’énergie. 2- Soit X = le nombre de billets gagnants. Puisque le fait de gagner avec un billet est indépendant du résultat des autres billets, X suit une loi binomiale avec n=10 et une probabilité de succès de p=¿ 5%. a) P ( X ≥ 1 )=1−P ( X=0 ) ≈ 0.4013 b) P ( X >2 )=1 −P ( X ≤ 2 ) ≈ 0.0115 3- Soit X = le nombre de bonnes réponses. X suit une loi binomiale avec n=20 et une probabilité de succès de p=¿ 25%. P ( X=5 )≈ 0.2023 a) b) P ( X ≤ 5 ) ≈ 0.6172 c) P ( X ≥ 12 ) ≈ 1−P(X ≤ 11)  0.00094 P ( X ≤ 12 )−P ( X ≤ 9 ) ≈ 0.0137 d) e) Soit Y = le nombre d’étudiants ayant au moins 50%. Y suit une loi binomiale avec n=3 et une probabilité de succès de p= ( X ≥ 10) ≈ 1,4%. P ( Y =1) ≈ 0.0404 4- Soit X = le nombre de québécois ayant vu la publicité. X suit une loi binomiale avec n=50 et une probabilité de succès de p=¿ 25%. a) μ=12.5 , σ ≈ 3.062 . b) P ( X ≥ 8 )=1−P ( X ≤7 )  0.9547 c) P ( X ≤ 15 )−P ( X ≤ 9 )  0.6723 (probabilité qu’entre 10 et 15 personnes, inclusivement, aient vu la pub)...