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CHAPITRE 7 LA LOI NORMALE La loi normale, ou loi de Laplace-Gauss, est une loi de probabilité très utilisée en statistique. Cette loi est représentative de nombreux phénomènes réels. Les variables aléatoires qui suivent une loi normale peuvent prendre, en théorie, une infinité de valeurs possibles. Ce sont donc des variables aléatoires continues.

7.1 Les caractéristiques d’une variable aléatoire normale La loi normale dépend de 2 paramètres : l’espérance mathématique () et la variance (σ2). Son expression mathématique est la suivante : 1 f(x) = 𝜎 √2𝜋

1 𝑥− 𝜇 2

− ) 𝑒 2( 𝜎

Cette loi a la forme d’une cloche.

 La valeur centrale correspond à l’espérance mathématique.

Notation On indique qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de la manière suivante : X  N( ; σ2) Ainsi, X  N(85 ; 25) signifie que la variable aléatoire X est distribuée selon une loi normale d’espérance 85 et de variance 25. Symétrie La loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne. Ainsi, la probabilité d’observer une valeur inférieure à la moyenne est de 50%, et la probabilité d’observer une valeur supérieure à la moyenne est aussi de 50% : P(X < ) = P(X > ) = 0.5

50%

50% 

Mesures de tendance centrale La moyenne, la médiane et le mode sont identiques. Écarts autour de  La probabilité d’observer une valeur dans l’intervalle  - 1σ et  + 1σ est de 68.26%. La probabilité d’observer une valeur dans l’intervalle  - 2σ et  + 2σ est de 95.44%. La probabilité d’observer une valeur dans l’intervalle  - 3σ et  + 3σ est de 99.74%. Page 229

X  N(85 ; 25)

P(80 < X < 90) = 68.26%

68.26%

X  N(85 ; 25)

P(75 < X < 95) = 95.44%

95.44%

75

95

7.2 La loi normale centrée réduite La loi normale centrée réduite a les caractéristiques suivantes :  = 0 et σ2 = σ = 1. Une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite est notée « Z ». Page 230

C’est cette loi de probabilité que l’on utilisera pour effectuer des calculs de probabilités ainsi que des calculs de seuils de probabilité. Calcul de probabilité avec la loi normale centrée réduite Le calcul de probabilités va s’effectuer à l’aide de la table statistique suivante :

Cette table indique l’aire sous la courbe (la probabilité) entre 0 et une certaine valeur « z ». Page 231

Exemple 7.1 a)

P(0 < Z < 1.67) = 0.4525 On obtient cette probabilité directement dans le tableau, sans calcul. Cette probabilité est indiquée à l’intersection de la ligne 1.6 et de la colonne 0.07 (pour 1.67).

0.4525

1.67

Page 232

b)

P(-1.67 < Z < 0) = 0.4525 Grâce à la notion de symétrie de la loi normale, P(-1.67 < Z < 0) = P(0 < Z < 1.67).

c)

P(Z > 1.17) = 0.121 On obtient cette probabilité en soustrayant de 0.5 la probabilité obtenue dans le tableau sur la ligne 1.1 et sous la colonne 0.07 (pour 1.17). 0.5 – 0.3790 = 0.121

0.379 0.121

1.17

Page 233

d)

P(Z < -1.17) = 0.121 car, par la symétrie, P(Z < -1.17) = P(Z > 1.17).

e)

P(-1.83 < Z < 1.36) = 0.8795

0.4664

-1.83

0.4131

1.36

Puisque l’aire sous la courbe se situe de part et d’autre de la moyenne, on doit additionner les 2 probabilités correspondantes. P(-1.83 < Z < 0) = 0.4664 et P(0 < Z < 1.36) = 0.4131, la somme de ces 2 probabilités est de 87.95%. Page 234

f)

P(1.75 < Z < 2.17) = 0.0251

1.75 2.17 De 0 à 2.17, la probabilité est de 0.485; de 0 à 1.75, la probabilité est de 0.4599; de 1.75 à 2.17, la probabilité est la différence entre ces 2 valeurs : 0.485 – 0.4599 = 2.51%.

Page 235

Seuil de probabilité avec la loi normale centrée réduite Un seuil de probabilité est une valeur de la variable aléatoire. Ce n’est pas une probabilité. Toutefois, pour connaître un seuil, nous devons connaître une probabilité. On définit un seuil ainsi : Zα est la valeur de la variable aléatoire centrée réduite pour laquelle P(Z > Zα) = α.

α

0.5 - α

Zα

Pour trouver un seuil de la loi normale centrée réduite, nous devons utiliser la table statistique et chercher à l’intérieur la probabilité 0.5 – α. On examine ensuite la ligne et la colonne correspondante pour obtenir le seuil.

Exemple 7.2 a)

P(Z > Z0.025) = 0.025, Z0.025 = 1.96

Pour trouver cette valeur, on cherche 0.475 dans la table (0.5 – 0.025). On constate que cette valeur se situe à l’intersection de la ligne 1.9 et de la colonne 0.06, d’où Z0.025 = 1.96.

Page 236

0.025

0.475

1.96

Page 237

b)

P(Z > Z0.1) = 0.1, Z0.1 = 1.28

Pour trouver cette valeur, on cherche 0.4 dans la table (0.5 – 0.1). On constate que la valeur la plus proche de 0.4 se situe à l’intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.08, d’où Z0.1 = 1.28.

0.1

0.4

1.28

Principaux seuils de la loi normale centrée réduite Les principaux seuils de la loi normale centrée réduite sont les suivants : Z0.1 = 1.28 Z0.05 = 1.645 Z0.025 = 1.96 Z0.01 = 2.33 Z0.005 = 2.576 Page 238

7.3 Calcul de probabilité avec une loi normale quelconque Pour calculer des probabilités avec une loi normale qui n’est pas centrée réduite, on doit transformer la variable aléatoire X en variable aléatoire centrée réduite Z et utiliser la table statistique de la loi normale centrée réduite. Cela peut se faire à l’aide de la transformation suivante : Z=

X- μ σ

On rend ainsi le problème « sans unités de mesure ». Exemple 7.3 La durée de vie d’un globe (X) fabriqué par une certaine compagnie suit une loi normale de moyenne 2000 heures avec un écart-type de 150 heures. On sélectionne un globe au hasard de la production de cette compagnie. a)

Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce globe soit supérieure à 2200 heures ? On cherche P(X > 2200). Sous forme centrée réduite, cela équivaut à P(Z >

2200 - 2000 ), c’est-à-dire P(Z > 1.33). 150

Or, P(Z > 1.33) = 9.18%. Donc, P(X > 2200) = 9.18%.

P(X > 2200) b)

=

P(Z > 1.33)

Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce globe soit entre 1750 et 2250 heures ? On cherche P(1750 < X < 2250).

Page 239

Sous forme centrée réduite, cela équivaut à P(

1750 - 2000

P(-1.67 < Z < 1.67).

150

k) = 0.1

10%

K Page 240

Or, on sait que P(Z > Z0.1) = P(Z > 1.28) = 0.1 Donc, 1.28 est la valeur transformée de k. k - 2000 = 1.28 150

k = 2000 + 1.28 × 150 = 2192 Ainsi, 10% des globes qui durent le plus longtemps durent plus de 2192 heures. b)

5% des globes qui durent le moins longtemps ont une durée de vie inférieure à quelle valeur ? On cherche k tel que P(X < k) = 0.05

0.05

k Or, on sait que P(Z < -Z0.05) = P(Z < -1.645) = 0.05

(par symétrie, P(Z > 1.645) = 0.05)

Donc, -1.645 est la valeur transformée de k. k - 2000 150

= -1.645

k = 2000 – 1.645 × 150 = 1753.25 Ainsi, 5% des globes qui durent le moins longtemps durent moins de 1753.25 heures.

Page 241

Remarque On peut trouver un seuil « k » à l’aide de la formule suivante : k = µ ± (Zα × σ) Dans cette formule, on utilise « + » lorsque le seuil se situe à l’extrême droite de la courbe et on utilise « – » lorsqu’il se situe dans la partie inférieure de la courbe (à l’extrême gauche).

7.4 La loi normale et les outils technologiques Nous allons vous présenter, dans cette section, trois outils technologiques qui nous aideront à calculer des probabilités avec la loi normale, et, dans certains cas, à calculer des seuils de probabilités. Ces outils sont EXCEL, STATVIZ (pout IPAD) et un outil en ligne provenant de l’IREM1 de l’île de la Réunion.

7.4.1 EXCEL EXCEL permet de calculer des probabilités ainsi que des seuils de probabilités. La fonction LOI.NORMALE.N permet de calculer la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure à la valeur « X ». Pour ce faire, il s’agit de compléter la boîte de dialogue suivante.

1

IREM : Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques

Page 242

Par exemple, si on cherche P(X < 60) sachant que  = 75 et que σ = 12, on complètera la boîte de dialogue ainsi :

La probabilité est indiquée à la droite de Résultat =. Si on désire calculer un seuil, on doit utiliser la fonction LOI.NORMALE.INVERSE.N. Il faut, vis-àvis de Probabilité, indiquer la probabilité « à gauche » du seuil recherché.

Page 243

Ainsi, si on cherche k tel que P(X > k) = 0.025 (avec  = 75 et que σ = 12), on remplira la boîte de dialogue ainsi :

Le seuil est indiqué à droite de Résultat =.

7.4.2 STATVIZ Ceux qui ont installé l’application STATVIZ sur leur IPAD peuvent calculer des probabilités ainsi que des seuils à l’aide de cette application. Pour ce faire, nous devons sélectionner normal dans le menu Continuous probability distribution.

Nous obtenons l’écran suivant :

Page 244

Pour introduire les caractéristiques de la loi normale, nous devons toucher l’onglet Options dans le bas de l’écran.

Nous obtenons maintenant l’écran suivant :

Page 245

Dans la section Parameter, nous devons inscrire les caractéristiques de la loi normale : la moyenne (μ =) ainsi que l’écart-type (σ =). Dans la section Input, nous devons inscrire les valeurs pour lesquelles on veut calculer les probabilités ainsi que, si désiré, un pourcentage (%). Si on inscrit uniquement une valeur dans Left Bound (par exemple : 45), STATVIZ calculera dans la section Output, la probabilité d’obtenir une valeur supérieure ou égale à la valeur inscrite (par exemple : P(X ≥ 45)). Si on inscrit uniquement une valeur dans Right Bound (par exemple : 60), STATVIZ calculera dans la section Output, la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale à la valeur inscrite (par exemple : P(X ≤ 60)). Si on inscrit une valeur dans Left Bound (par exemple : 20), et une autre dans Right Bound (par exemple : 50), STATVIZ calculera dans la section Output, la probabilité d’obtenir une valeur comprise entre les deux valeurs inscrites (par exemple : P(20 ≤ X ≤ 50)). Toujours dans la section Input, si on inscrit un nombre vis-à-vis % = (par exemple : 25), STATVIZ calculera dans la section Output, le seuil de probabilité « k » correspondant (par exemple : P(X ≤ k) = 25%). Page 246

Par exemple, les résultats à un examen sont distribués selon une loi normale de moyenne μ = 75 et d’écart-type σ = 12. Pour calculer diverses probabilités, ainsi que des seuils, nous devons d’abord introduire les paramètres de la loi normale dans la section Parameter.

Répondons maintenant aux questions suivantes en utilisant STATVIZ : a) b) c) d) e)

Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne un résultat supérieur ou égal à 90 ? Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne un résultat inférieur ou égal à 50 ? Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne entre 60 et 80 ? Le 10% des étudiants les plus faibles ont une note inférieure ou égale à quelle valeur ? Le 10% des étudiants les plus forts ont une note supérieure ou égale à quelle valeur ?

Vous trouverez ci-après la façon d’introduire les données dans la section Input afin de répondre à chacune des questions. La réponse sera indiquée dans la section Output. a)

On cherche P(X ≥ 90)

Page 247

b) On cherche P(X ≤ 50)

c)

On cherche P(60 ≤ X ≤ 80)

d) On cherche « k » tel que P(X ≤ k) = 10%

Page 248

k = 59.6, 10% ont obtenu une note inférieure ou égale à 59.6 e) On cherche « k » tel que P(X ≥ k) = 10%, c’est-à-dire P(X ≤ k) = 90%,

k = 90.4, 10% ont obtenu une note supérieure ou égale à 90.4

7.4.3 Outil en ligne L’outil en ligne de l’IREM permet uniquement de calculer des probabilités. L’adresse pour accéder à cet outil est la suivante : http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article657.

Pour utiliser ce calculateur, il s’agit simplement d’indiquer la moyenne, l’écart-type, ainsi que 2 limites.

Page 249

Par exemple, si on veut calculer P(60 < X < 80), sachant que  = 75 et que σ = 12, on indiquera ces valeurs ainsi :

Le calculateur nous renvoie diverses probabilités : P(60 < X < 80) = 0.5559

P(X < 80) = 0.6615

Page 250

P(X > 60) = 0.8944

7.5 Exercices 1.

200 étudiants ont subi un examen où la moyenne du groupe est de 75% avec un écart-type de 10. Les résultats se distribuent normalement. a) b) c) d) e)

2.

Un autobus effectue plusieurs fois par jour le même trajet. Le temps prévu pour un allerretour est de 50 minutes. Les aléas de la circulation font varier cette durée. On a observé que la durée totale d’un aller-retour suivait une loi normale d’espérance 50 minutes et d’écart-type 9 minutes. a) b) c) d)

3.

Combien d’étudiants ont obtenus 75% ou moins à l’examen ? Combien d’étudiants ont obtenus entre 75% et 85% à l’examen ? Quelle est la probabilité qu’un étudiant ait une note supérieure à 95% ? Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne 55% ou moins ? La note de passage est de 60%. Combien y-aura-t-il d’échecs ?

Calculez la probabilité qu’un aller-retour dure plus d’une heure ? Calculez la probabilité qu’un aller-retour dure moins de 45 minutes ? Le 5% des trajets les plus longs durent combien de temps ? Le 2% des trajets les plus courts durent combien de temps ?

Une étude effectuée par le ministère de la Culture et des Communications a estimé à 350$ par année, en moyenne, la valeur des achats effectués en ligne (par l’intermédiaire d’Internet). On admet que le coefficient de variation de la valeur des achats réalisés par les internautes est de 16%. On suppose également que la valeur des achats suit une loi normale.

Page 251

a) Quel est l’écart-type des achats effectués en ligne ? b) On sélectionne un internaute au hasard. Quelle est la probabilité que la valeur des achats réalisés par cet internaute i) dépasse 570$ ? ii) se situe entre 280$ et 560$ ? iii) soit inférieur à 440$ ? c) Sur 50000 internautes qui font des achats en utilisant Internet, combien font des achats dont la valeur dépasse 275$ ? 4.

Une analyse de la fréquentation d’un site Web a permis d’établir que le nombre de visites au cours d’une journée était distribué selon une loi normale de moyenne 5090 visites. On a également établi que le coefficient de variation est de 9.5%. a) Déterminez l’écart-type de la distribution du nombre de visites par jour. b) Quelle est la probabilité que, pour une journée quelconque, le nombre de visites soit supérieur à 5900 visites ? c) Quelle est la probabilité que, pour une journée quelconque, le nombre de visites soit inférieur à 4100 visites ? d) Le site devient complètement engorgé si le nombre de visites excède 6200 visites. Quelle est la probabilité que le système devienne engorgé ?

5.

Supposons que les ménages québécois dépensent en moyenne 250$ par année pour les loteries, avec un écart-type de 85$. Supposons également que ces dépenses suivent une loi normale. a) Quelle est la probabilité qu’un ménage québécois dépense entre 200$ et 300$ par année ? b) Quelle est la probabilité qu’un ménage québécois dépense moins de 100$ par année ? c) Le 2% des ménages québécois qui dépensent le plus ont des dépenses supérieures à quelle valeur ? d) Le 5% des ménages québécois qui dépensent le moins ont des dépenses inférieures à quelle valeur ?

6.

En natation, le temps pris pour effectuer le 400m de style libre, chez les athlètes provinciaux du Québec, est distribué normalement avec une moyenne de 3.82 minutes avec un écarttype de 0.02 minute. a) Quel pourcentage des athlètes québécois ont fait le 400m de style libre en moins de 3.8 minutes ? b) Quel pourcentage des athlètes québécois ont fait le 400m de style libre en moins de 3.5 minutes ? c) Quel pourcentage des athlètes québécois ont fait le 400m de style libre dans un temps se situant entre 3.81 et 3.83 minutes ? d) Quel temps devait prendre un athlète québécois pour faire partie des 1% les plus rapides dans le 400m de style libre ? Page 252

e) Sur 2000 athlètes québécois, combien environ devaient faire le 400m de style libre en moins de 3.8 minutes ? f) Sur 2000 athlètes québécois, combien environ devaient faire le 400m de style libre en plus de 3.82 minutes ? 7.

Aux États-Unis, le nombre d’heures, par année, consacrées à des émissions pour enfants, chez les jeunes Américains âgés de 2 à 11 ans, obéit à une loi normale avec une moyenne de 312 heures avec un écart-type de 54.7 heures. a) Quel est le pourcentage des jeunes Américains âgés de 2 à émissions pour enfants entre 250 et 300 heures par année ? b) Quel est le pourcentage des jeunes Américains âgés de 2 à émissions pour enfants entre 275 et 325 heures par année ? c) Quel est le pourcentage des jeunes Américains âgés de 2 à émissions pour enfants plus de 400 heures par année ? d) Quel est le pourcentage des jeunes Américains âgés de 2 à émissions pour enfants plus de 200 heures par année ?

8.

11 ans qui regardent des 11 ans qui regardent des 11 ans qui regardent des 11 ans qui regardent des

Selon un météorologue, la température en une journée donnée du mois d’avril suit une loi normale de moyenne 3°C et d’écart-type 4.5°C. a) Quelle est la probabilité que, en une journée quelconque du mois d’avril, la température soit inférieure à −5°C ? b) Quelle est la probabilité que, en une journée quelconque du mois d’avril, la température soit au-dessus du point de congélation ? c) Quelle est la température « k » telle que 20% des journées du mois d’avril sont en-dessous de cette valeur ?

9. On sait que les dépenses quotidiennes pour un séjour d’aventure sont inférieures à 66$ avec une probabilité de 30% et qu’elles sont supérieures à 103$ avec une probabilité de 10%. Trouvez les dépenses quotidiennes moyennes (µ) ainsi que l’écart-type des dépenses quotidiennes (σ) si on suppose que les dépenses quotidiennes suivent une loi normale. 10. Les dépenses annuelles engagées pour l’achat d’œuvre d’art suivent une loi normale. On sait que le coefficient de variation est de 0.98 et que 15% des dépenses sont supérieures à 1300$. Trouvez les dépenses annuelles moyennes (µ) ainsi que l’écart-type des dépenses annuelles (σ). 11. Le nombre de livres lus par année, par les lecteurs québécois, suit une loi normale de moyenne 18.1 livres et d’écart-type 8.7 livres. a) Quelle est la probabilité qu’un lecteur québécois lise entre 1 et 5 livres par année ? b) Quelle est la probabilité qu’un lecteur québécois lise entre 10 et 19 livres par année ? c) Le 10% des plus gros lecteurs québécois lisent combien de livres par année ? Page 253

12. Le directeur d’une maison d’édition habite dans la ville A. Il part de chez lui à 8h45 et se rend en voiture à son bureau qui ouvre à 9h. La durée de son trajet suit une loi normale de moyenne 13 minutes et d’écart-type 3 minutes. La secrétaire du directeur habite aussi dans la ville A, elle va au bureau avec le train de 8h32 ; elle descend du train à la station B. Elle prend ensuite l’autobus qui part de la station B à 8h50 (sans attendre le train) pour aller à son bureau. La durée du trajet en train suit une loi normale de moyenne 16 minutes et d’écart-type 2 minutes, et la duré...