TD2 Les comprimés-Loi normale corrigé PDF

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TD statistique L2 science de la vie, corrigé du TD2...

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UdS – Licence Sciences de la Vie – 2ème année

Introduction à la statistique

Correction Travaux Dirigés n°2 Les comprimés Utilisation de la loi normale On ouvre la feuille de travail « Masse des comprimés.MTW » puis on enregistre le projet sous « TD2 » (Fichier → Enregistrer le projet sous…). I) Représentations graphiques de la loi normale On ajoute une nouvelle feuille de travail « Normale N(510;36) » (Fichier → Nouveau → Feuille de travail puis renommer). Pour générer la suite de nombres 𝑥! de 480 à 540 par incréments de 1, on utilise Calc → Générer des suites de nombres → Ensemble simple de nombres… et on stocke la suite dans C1 de la première valeur 480 à la dernière valeur 540 par incrément de 1. Le fait de considérer des valeurs de -30 mg à +30 mg autour de la moyenne permet de bien représenter les queues de distribution en allant de -5 écart-types à +5 écart-types. 1) a-b) Pour la représentation de la fonction de densité 𝑓! , on utilise Calc → Lois de probabilité → Normale… puis on choisit densité de probabilité avec moyenne 510 et écart-type 6. Attention, Minitab demande l’écart-type alors que le second paramètre d’une loi normale est la variance. La colonne d’entrée est ‘x_i’ et on stocke dans ‘f_X(x_i)’. Le graphique obtenu est celui de gauche ci-dessous. 2) a) Pour une variable aléatoire 𝑋, la fonction de répartition notée 𝐹 ! est la fonction des probabilités cumulées pour la loi de 𝑋. Pour une valeur donnée 𝑥! de 𝑋, la valeur de la fonction de répartition en 𝑥! est donc la valeur de la probabilité cumulée 𝐹 ! 𝑥! = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥! , ici pour une loi normale 𝒩 𝜇 = 510;𝜎 ! = 36 . b–c) Dans le calcul de probabilité, on choisit cette fois probabilité cumulée (attention pour le stockage, Minitab ne distingue pas les majuscules dans le nom des colonnes donc ajouter par exemple un espace avant la parenthèse dans ‘F_X (x_i)’). La fonction de répartition est donnée sur le graphique de droite ci-dessous :

L’allure de la fonction de densité à gauche ci-dessus est une gaussienne centrée en 𝜇 = 510 mg. La forme de la fonction de répartition d’une loi normale à droite ci-dessus est appelée « sigmoïde ». On a représenté sur les deux graphiques la valeur 𝐹! 𝑥! = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥! .

TD2_Les_comprimés-Loi_normale.docx

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UdS – Licence Sciences de la Vie – 2ème année

Introduction à la statistique

III) Quelques calculs de probabilités (loi normale) 1) Probabilité pour que la masse d'un comprimé soit comprise entre 495 et 519 mg. Calcul avec la table : afin de pouvoir utiliser les tables de la loi normale centrée réduite, on centre

notre variable normale 𝑋 = masse d’un comprimé par rapport à sa moyenne 510 mg et on réduit par rapport à son écart-type 6 mg. On utilise les propriétés habituelles sur le calcul des probabilités pour se ramener à des probabilités cumulées pouvant être lues dans les tables (on peut également de façon avantageuse s’aider d’un dessin de la loi normale centrée réduite). On obtient : 𝑃 495 ≤ 𝑋 ≤ 519 = 𝑃 -2,5 ≤ 𝑍 ≤ 1,5 = 𝑃 𝑍 ≤ 1,5 − 𝑃 𝑍 ≤ -2,5 = 𝑃 𝑍 ≤ 1,5 − 𝑃 𝑍 ≥ 2,5 = 𝑃 𝑍 ≤ 1,5 − 1 − 𝑃 𝑍 ≥ 2,5 = 𝑃 𝑍 ≤ 1,5 + 𝑃 𝑍 ≥ 2,5 − 1 = 0,9332 + 0,9938 − 1

(on a centré et réduit, pté 3.2, p. 18) (par définition et pté 3.4, p. 18) (symétrie de la loi normale centrée réduite) (passage au complémentaire, pté 3.4, p. 18) (lecture dans la table B.2, pté 3.3, p. 18)

Calcul avec Minitab : Minitab permet de calculer directement les probabilités cumulées pour

n’importe quelle loi normale. On utilise la propriété 3.4 p. 18 du poly qui nous dit que : 𝑃 495 ≤ 𝑋 ≤ 519 = 𝑃 𝑋 ≤ 519 − 𝑃 𝑋 ≤ 495 . On calcule alors les deux probabilités cumulées avec Minitab puis leur différence. On obtient : Loi normale avec moyenne = 510 et écart-type = 6 x_i 495 519

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