Lab 6. aplicacion de la ley de Torricelli PDF

Preview

Summary

Download Lab 6. aplicacion de la ley de Torricelli PDF

Description

1

Comprobación experimental de la ley de Torricelli Universidad del Cauca Resumen—El siguiente documento contiene, a manera de informe, los resultados obtenidos en una práctica donde se pone a prueba la ley de Torricelli, su respectivo tratamiento de datos y posterior análisis que conducen a la comprobación experimental de dicho modelo teórico. La experiencia se realiza con un recipiente plástico de gaseosa al cual se le han practicado cinco agujeros pequeños colineales en forma vertical, a diferentes distancias respecto al suelo; la salida de agua de manera individual por cada uno de los agujeros permitió medir la distancia de alcance del chorro con la cual se comprueba, con un alto grado de precisión el principio de Torricelli. Palabras clave— presión, ley de Bernoulli, ley de Torricelli.

I.

INTRODUCCIÓN

La mecánica de fluidos, en modo general, es la rama de la física encargada de estudiar el comportamiento de las diferentes sustancias en estado de fluidez, es decir, en estado líquido, gaseoso o de plasma y donde las partículas de las que están compuestas tienen un mayor grado de libertad debido a una considerable disminución entre las interacciones de cohesión entre las moléculas. El cuerpo teórico de la mecánica de fluidos comprende un extenso conjunto de leyes o principios que pueden ser expresados matemáticamente, algunos de forma muy sencilla y otros de una complejidad matemática tal que aún se consideran problemas abiertos de la ciencia como lo son, por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes, que son, a groso modo, la segunda ley de Newton aplicada al movimiento de fluidos viscosos incompresibles. En el caso de fluidos ideales, es decir aquellos en los que la velocidad del flujo en cada punto permanece constante, no hay fuerzas de fricción interna y el fluido es incompresible, las leyes que gobiernan el comportamiento de los fluidos se expresan con gran simplicidad matemática y toman la forma de las leyes conocidas clásicamente; por nombrar algunas: el principio de Arquímedes, la ecuación de continuidad, la ecuación de Bernoulli, la ley de Torricelli, el principio de Pascal, ley de Stokes, entre otras. Cada uno de los principios nombrados anteriormente tienen gran cantidad de aplicaciones que van desde la ingeniería industrial-hidráulica hasta el diseño aeronáutico e inclusive, la climatología. Sin embargo, algunas de estas leyes son consecuencias de otros principios más generales como la ley de conservación de la masa de donde se deduce la ecuación de continuidad, la ley de conservación de la energía de donde se deduce la ecuación de Bernoulli o la segunda ley de Newton de donde se deduce la ley de Pascal.

A lo largo de este informe se nombrará la ley de Torricelli la cual relaciona la rapidez de salida, a través de un agujero, de un líquido contenido en un tanque, con la distancia del agujero a la superficie y otras propiedades del líquido como se expondrá en el marco teórico. Se verá que dicha ley es una consecuencia de aplicar la ecuación de Bernoulli al caso particular de un líquido en un recipiente, que se escapa por un agujero debido a una diferencia de presiones entre dos puntos, y su comprobación experimental se logra midiendo la distancia de alcance del chorro que sale del recipiente a través del agujero y el uso de la ecuación para la caída libre. II.

OBJETIVOS

1.

Comprobar experimentalmente la ley de Torricelli.

2.

Realizar un ajuste del modelo experimental mediante linealización y el principio de mínimos cuadrados. III.

MARCO TEÓRICO

Un fluido es un conjunto de moléculas distribuidas al azar que se mantienen unidas por fuerzas cohesivas débiles y por fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente. Tanto los líquidos como los gases son fluidos [2]. 

Variación de la presión con la profundidad

Los fluidos no soportan los esfuerzos de corte o tensión, por lo que el único esfuerzo que puede existir sobre un objeto sumergido en ellos es uno que tiende a comprimir el objeto. La fuerza perpendicular F ejercida por el fluido sobre la unidad de área A se denomina presión y se expresa matemáticamente como

p=

F (1) A

2

La presión en un líquido aumenta linealmente con la profundidad. Si se considera un fluido de densidad ρ constante (fluido incompresible), en reposo y abierto a la atmósfera (figura 1), el cilindro imaginario de sección transversal A que se extiende desde la profundidad d del líquido hasta una profundidad h + d ejerce una fuerza de más sobre la superficie inferior igual al peso de dicho cilindro, aplicando la segunda ley de Newton y realizando algunos cálculos se obtiene que

1 1 p1+ ρ v 12+ρg y 1= p2 + ρ v 22 + ρg y 2 (3 a) 2 2 donde, p1 y p2 , v 1 y v 2 , y 1 e y 2 son la presión, la velocidad y la altura en los puntos 1 y 2 respectivamente. La ecuación de Bernoulli (3a) a menudo se expresa como

1 p+ ρ v 2 + ρgy=constante (3 b) 2

p= p0 + ρgh (2) siendo p la presión en la parte inferior del cilindro, p0 la presión en la parte superior y ρgh la presión debida al cilindro de altura h y g la gravedad del lugar.



Principio de Torricelli

El principio de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia en flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. El principio o ley de Torricelli enuncia que “La velocidad de un líquido en un recipiente abierto, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio” Figura 1. Variación de la presión con la profundidad en un fluido.



Ecuación de Bernoulli

El principio de Bernoulli puede ser visto como el principio de conservación de la energía en un el movimiento de un fluido ideal a través de una región donde a medida que su rapidez o elevación sobre la superficie de la Tierra cambian, la presión en el mismo varia con dichos cambios [2].

Considerando un tanque cerrado como en la figura 3, que contiene un líquido de densidad ρ y un agujero en uno de sus lados a una distancia y 1 del fondo, abierto a la atmósfera y cuyo diámetro es muy pequeño comparado con el del tanque, se tiene que la velocidad de salida del líquido por el agujero es

v 1=

√

2( p− p 0) + 2 gh( 4 a) ρ

donde p es la presión en la superficie del líquido, p0 la y 2 - y 1 la presión afuera del tanque y h = profundidad del agujero respecto a la superficie.

Figura 2. Un fluido ideal a través de un tubo estrecho.

Considerando el caso del movimiento de un fluido a través de una tubería como se muestra en la figura 2, el principio de Bernoulli expresado matemáticamente es

Figura 3. Salida de un líquido por un orificio en un tanque.

Si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces y

p= p0

3

v 1=√ 2 gh(4 b) Es decir, en un tanque abierto la rapidez del líquido que sale a través de un agujero a una distancia h bajo la superficie es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente a través de una trayectoria vertical h; esta es la Ley de Torricelli. IV.

MATERIALES Y PROCEDIMIENTO

Los siguientes fueron los materiales utilizados en la práctica de laboratorio:      

Botella plástica de gaseosa Cautín Agua Cinta métrica Marcador permanente Cinta de enmascarar

A continuación se describe el procedimiento experimental realizado: 1.

Se ubica la botella plástica sobre un muro de concreto y, a partir de la base del muro, se marcan cinco puntos colineales en la misma cada dos centímetros.

Figura 4. Esquema del montaje experimental.

V.

RESULTADOS Y ANÁLISIS

En la siguiente tabla se exponen las mediciones realizadas a la distancia total recorrida, medida desde el pie del muro como se muestra en la figura 4, por el chorro que sale por cada uno de los cinco agujeros practicados a la botella. Tabla 1. Cinco mediciones de distancia horizontal recorrida por el chorro que sale por cada uno de los cinco agujeros ubicados a diferentes alturas yi. Obs 1. 2. 3. 4. 5.

y1 59.5 60.0 60.0 59.5 59.5

Distancia horizontal d (cm) y2 y3 y4 56.5 53.0 50.5 57.0 54.0 51.0 57.5 53.0 50.0 58.0 53.5 50.5 56.0 53.5 51.0

y5 45.5 46.0 46.0 46.0 45.0

2.

Con el cautín caliente se practica, sobre cada punto marcado previamente, un agujero pequeño y todos del mismo diámetro aproximadamente.

3.

Cada agujero fue tapado por la parte exterior con cinta de enmascarar gruesa de modo que el agua no pueda salir por ninguno de ellos. Luego, se procede a llenar la botella con agua hasta un nivel fijo establecido a 70 cm de la base del muro.

A continuación, se especifica el valor de cada una de las alturas, respecto a la base del muro, a las que se encontraban los agujeros y la respectiva distancia horizontal promedio de alcance del chorro que salía por cada uno de ellos, calculada a partir de los datos de la tabla anterior.

4.

Se procede a destapar en orden ascendente (o descendente) cada uno de los agujeros de manera individual, es decir, primero uno, luego el siguiente pero tapando el anterior y se mide la distancia horizontal que alcanza el chorro que sale por cada agujero.

Además se calcula, en cada caso, la velocidad de salida del chorro a partir de la conocida ecuación de caída libre

Nota: entre medida y medida la botella plástica vuelve a ser llenada hasta el nivel de referencia (a 70 cm de la base del muro). 5.

Se repitió el procedimiento anterior 5 veces para cada agujero.

1 2 y= g t (5) 2 de donde es posible calcular el tiempo de caída del chorro desde la altura y, asumiendo que este sale solo con velocidad horizontal como en la figura 3. Conociendo el alcance máximo horizontal, que se realiza en el tiempo de caída, se despeja la velocidad inicial a partir de la ecuación del M.R.U.

d=vt (6) puesto que en la dirección horizontal no hay aceleración. Por ejemplo, tomando la gravedad de la ciudad de Popayán

4

como 9,78 m/s2, para el dato 1, se tiene que y = 0,50 m, d = 0,597 m y de (5) se tiene que el tiempo de caída es

t=

√

2 ×(0,5) =0,319 s 9,78

y su velocidad de salida, a partir de (6), es

v=

0,597 =1,86 m /s 0,32

Aplicando este procedimiento para cada agujero se completan los datos de la tabla 2. Tabla 2. Alturas usadas para cada agujero y promedio de la distancia horizontal para el chorro que sale por cada una de ellos. Alturas (m) 0,5 y1 0 0,5 y2 2 0,5 y3 4 0,5 y4 6 0,5 y5 8

Distancia horizontal media (m) 0,597

Tiempo de caída (s) 0,319

Velocidad (m/s) 1,87

0,570

0,326

1,75

0,534

0,332

1,61

0,506

0,338

1,50

0,457

0,344

1,33

Grafica 1. Distribución de datos de la tabla 2 en grafico de puntos v2 vs h.

La grafica de la mejor línea recta que mejor se ajusta al modelo experimental, calculada a través del principio de mínimos cuadrados, es

De (4b) se observa que la relación entre v y h no es lineal, pero puede ser linealizada de la siguiente forma

v 2=2 gh(7) siendo, h = 0,70m – y, según nuestro valor de referencia la distancia del agujero a la superficie del agua. Por ejemplo, el agujero 2, ubicado a una altura y = 0,52 m de la base del muro, está a una distancia h = 0,18 m de la superficie. Tomando y = v2, m = 2g y x = h, y graficando los datos de la tabla 3 de esta manera, se obtiene la ecuación de la mejor recta con ayuda del principio de mínimos cuadrados. La distribución de estos datos, realizada en el paquete informático OriginLab 8, se muestra en la siguiente gráfica.

Grafica 2. Mejor línea recta para los datos de la tabla 2 en un gráfico v2 vs h. Tabla 3. Valores de los parámetros de la mejor línea recta y sus desviaciones estándar. Parámetro Intercepto (b) Pendiente (m) Salida (y)

Valor -0,79 m2/s2 21,35 m/s2 ---

Desviación estándar 0,09 m2/s2 0,53 m/s2 0,003 m2/s2

Luego, la ecuación de la mejor línea recta luce de la forma

y =21,35 x −0,79(8) o, escrita en términos de nuestras variables iniciales

5

v 2=21,35h−0,79(9) Según la ecuación (8) se tiene que

m=2 g=21,35

[] m s2

De acuerdo con lo anterior, la gravedad de la ciudad de Popayán es

g=

[]

[ ]

m m 21,35 m = =10,67 2 2 2 2 s s

Luego, teniendo en cuenta el valor teórico de la gravedad de la ciudad de Popayán utilizado en este informe (9,78 m/s 2), el porcentaje de error para esta práctica es de

¿ × 100=8,34 % 10,67 E %=¿

¿ 9,78− 10,67∨

VI.

CONCLUSIONES



El porcentaje de error en la práctica, aunque no fue muy bajo (8,34%), indica que el modelo teórico se ajusta con gran precisión a la experiencia. Los errores que más afectaron las medidas en esta práctica son catalogados como sistemáticos pues existen parámetros que no se tuvieron en cuenta como: el rozamiento del chorro de agua con el aire que, por ser tan delgado, es afectado considerablemente; la distancia entre agujeros y el diámetro de los mismos no fue medida con gran precisión; al salir el chorro por el agujero alcanza una distancia horizontal máxima que después empieza a disminuir y su medida es afectada la imprecisión del punto exacto de caída, etc.



A partir de a grafica 2, donde se ajusta la mejor línea recta a los datos experimentales, es posible comprobar que efectivamente la ley de Torricelli linealizada (7) y por ende el modelo teórico (4a) en un alto grado de precisión se ajustan a la realidad, puesto que las medidas efectuadas en la práctica, asociadas a dicho principio linealizado, se ajusta a una línea recta casi perfecta con desviaciones estándar (o grado de dispersión entre los datos) de la pendiente, intercepto y variable de salida, pequeñas.



Los métodos de linealización y mínimos cuadrados son una buena herramienta matemática para el tratamiento

de datos experimentales, el ajuste y la optimización de curvas y la obtención de modelos teóricos, como por ejemplo (4a), a partir de observaciones y mediciones realizadas en el laboratorio. Además, permiten realizar un estudio estadístico y calcular las incertidumbres de las medidas a partir de las desviaciones estándar de los parámetros linealizados. VII.

REFERENCIAS

[1]. Baird D.C. Experimentación, una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. Segunda edición. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México D.F. 1991. [2]. Serway R. A. Física para ciencias e ingeniería, Tomo I. Quinta edición. Mc Graw Hill, México D.F. 2000. [3]. Notas de clase. Introducción al tratamiento de datos y señales. Programa de ingeniería física. Universidad del Cauca, 2014....