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Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro

ESTUDIO DE SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Y SU RELACIÓN CON EL CAMPO ELÉCTRICO Resumen La carga eléctrica genera un campo eléctrico en el espacio que la rodea, mecanismo mediante el cual interactúa con otras cargas a su alrededor. Para entender la naturaleza del campo eléctrico es importante describir sus características y modelarlo. Las superficies equipotenciales son de gran ayuda para cumplir este propósito. Es así como en este proyecto de investigación se pretende estudiar la relación que existe entre campo y potencial eléctrico mediante la construcción de superficies equipotenciales producidas por diferentes configuraciones de carga continua.

Planteamiento del problema En todo proceso físico o químico, la carga eléctrica total de un sistema de partículas se conserva. Todos los cuerpos cargados modifican las propiedades del espacio en una zona próxima a ellos. Esta zona constituye un campo eléctrico. El campo eléctrico se puede representar gráficamente por medio de líneas de fuerza. Según las distribuciones de las cargas, se pueden determinar regiones de igual potencial eléctrico. En este proyecto de investigación se busca medir y representar los puntos con el mismo potencial, entre dos electrodos, los cuales serán modelados por distribuciones de carga continua construidas a partir de cargas puntuales en un laboratorio virtual. Dado que las líneas de campo y las superficies equipotenciales se organizan de acuerdo con la geometría de la carga.

Objetivo general Relacionar el campo eléctrico y el potencial eléctrico producidos por diferentes electrodos cargados eléctricamente.

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Objetivos específicos ● Construir diferentes geometrías de carga eléctrica usando cargas puntuales en un simulador virtual. ● Comprobar la dependencia que tienen las superficies equipotenciales según la geometría de la carga eléctrica. ● Determinar el campo eléctrico a partir de medidas de potencial y coordenadas (x, y).

Marco Teórico 1. Campo eléctrico Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) sufre, en presencia de otra carga q1 (carga fuente), una fuerza electrostática. Si eliminamos la carga de prueba, podemos pensar que el espacio que rodea a la carga fuente ha sufrido algún tipo de perturbación, ya que una carga de prueba situada en ese espacio sufrirá una fuerza. La perturbación que crea en torno a ella la carga fuente, se representa mediante un vector denominado campo eléctrico. La dirección y sentido del vector campo eléctrico en un punto vienen dados por la dirección y sentido de la fuerza que experimentaría una carga positiva colocada en ese punto: si la carga fuente es positiva, el campo eléctrico generado será un vector dirigido hacia afuera (A) y si es negativa, el campo estará dirigido hacia la carga (B):

Figura 1. Campo eléctrico creado en el punto P por una carga de fuente q1 positiva (A) y por una otra negativa (B).

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El campo eléctrico E creado por la carga puntual q 1 en un punto cualquiera P se define como:

 E=

Ke q r^ r2

(1)

Donde q es la carga creadora del campo (carga fuente), Ke es la constante electrostática, r es la distancia desde la carga fuente al punto p y ^r es un vector unitario que va desde la carga fuente hacia el punto donde se calcula el campo eléctrico. El campo eléctrico depende únicamente de la carga fuente (carga creadora del campo) y en el Sistema Internacional se mide en N/C o V/m. Si en vez de cargas puntuales se tiene de una distribución continua de carga (un objeto macroscópico cargado), el campo creado se calcula sumando el campo creado por cada elemento diferencial de carga, es decir: (R. A. Serway, 2000 ).  E= ∫

K e dq r2

^r

(2)

La ecuación (2), salvo casos concretos, es difícil de calcular. Para hallar el campo creado por distribuciones continuas de carga resulta más práctico utilizar la Ley de Gauss. Una vez conocido el campo eléctrico E en un punto P, la fuerza que dicho campo ejerce sobre una carga de prueba q que se sitúe en P será:  (3) F =q  E Por tanto, si la carga de prueba es positiva, la fuerza que sufre será paralela al campo eléctrico en ese punto, y si es negativa la fuerza será opuesta al campo, independientemente del signo de la carga fuente. El campo eléctrico cumple el principio de superposición, por lo que el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos eléctricos creados en ese mismo punto por cada una de las cargas fuente (Martin, T. y Serrano,A., s.f.). 2. Líneas de campo Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo varía la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro del espacio. Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las líneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a< las cargas negativas.

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Además, el campo eléctrico será un vector tangente a la línea en cualquier punto considerado.

Figura 3. Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales diferentes Imagen tomada de 2. Líneas de campo electrostático e-ducativa.catedu.es Propiedades de las líneas de campo eléctrico: ● El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto. ● Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas. ● El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga. ● La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto. ● Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario, en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico distinto. ● A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual. 3. Potencial eléctrico Definido como se muestra en la ecuación (4). K q V= e (4) r Si introducimos una carga q en el seno de un campo eléctrico, la carga sufrirá la acción de una fuerza eléctrica y como consecuencia de esto, adquirirá cierta energía potencial eléctrica (también conocida como energía potencial electrostática). Si lo vemos desde una perspectiva más simple, podemos pensar

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que el campo eléctrico crea un área de influencia donde cada uno de sus puntos tiene la propiedad de poder conferir una energía potencial a cualquier carga que se sitúe en su interior. El potencial depende de la carga fuente y sus unidades en el Sistema Internacional son voltios (V). Para calcular el potencial en un punto generado por varias cargas fuente se suman los potenciales creados por cada una de ellas, teniendo en cuenta que es una magnitud escalar y que será positivo o negativo dependiendo del signo de la carga fuente. El trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar una carga q desde un punto A hacia un punto B se puede expresar entonces en función de la diferencia de potencial entre A y B: W AB=U B− U A=q V B −q V A =qΔV (5) Bajo la única acción de la fuerza electrostática, todas las cargas tienden a moverse de modo que el trabajo de la fuerza sea positivo, es decir, de modo que disminuye su energía potencial. Esto significa que: las cargas de prueba positivas se mueven hacia donde el potencial eléctrico disminuye y las cargas de prueba negativas se mueven hacia donde el potencial aumenta B

W AB=−∫ ❑ q  E⋅ d l

(6)

A

Luego a partir de las ecuaciones (5) y (6) es posible obtener la relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre dos puntos: B

V AB=V B−V A =−∫ ❑  E ⋅d l

(7)

A

De la ecuación (7), se deduce que en una región del espacio en la que el campo eléctrico es nulo, el potencial es constante (R. A. Serway, 2000). Esta deducción es más clara de la ecuación (7) se deduce el campo eléctrico en función de las coordenadas. ∂V ∂V −∂V  k j− i− E(x , y , z)= (8) ∂z ∂y ∂x La ecuación (8) se lee, el campo es igual a menos el gradiente del potencial para obtener finalmente la ecuación (9).  (9) E(x , y , z)=−∇V (x , y , z)

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En este proyecto de investigación se hará uso de la ecuación en su forma discreta (ver ecuación (10)) en dos dimensiones, debido a que no se obtendrá una función matemática del potencial en su lugar se obtendrán voltajes en coordenadas discretas. ΔV −ΔV  j i− E (x , y)= (10) Δy Δx Donde ΔV =V 2−V 1 , Δ x=x 2− x 1 y Δ y = y 2− y 1 . Y ΔV es la diferencia de potencial entre dos equipotenciales contiguas. 4. Superficies equipotenciales Las superficies equipotenciales son aquellas en las que el potencial toma un valor constante. Por ejemplo, las superficies equipotenciales creadas por cargas puntuales son esferas concéntricas centradas en la carga, como se deduce de la definición de potencial (r= cte).

Figura 4. Superficies equipotenciales creadas por una carga puntual positiva (A) y otra negativa (B). Cuando una carga se mueve sobre una superficie equipotencial, la fuerza electrostática no realiza trabajo, puesto que la ΔV es nula. Por otra parte, para que el trabajo realizado por una fuerza sea nulo, ésta debe ser perpendicular al desplazamiento, por lo que el campo eléctrico (paralelo a la fuerza) es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales. En la figura 4 anterior (A) se observa que en el desplazamiento sobre la superficie equipotencial desde el punto A hasta el B, el campo eléctrico es perpendicular al desplazamiento. Las propiedades de las superficies equipotenciales se pueden resumir así: ● Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales y se dirigen hacia donde el potencial disminuye.

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● El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo. Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar.

Metodología Este proyecto de investigación se llevará a cabo en tres fases metodológicas: primero, se determinará el campo eléctrico en electrodos planos paralelos (ver figura 5), circulares y combinación de los anteriores; s egundo, se determinará experimentalmente la dependencia entre geometría de las líneas de campo eléctrico, las superficies equipotenciales y los electrodos modelados por cargas puntuales en un laboratorio virtual; tercero, se presentará un informe con los resultados de la investigación. Recuerde que el profesor debe revisar todas las configuraciones para lo cual el estudiante debe anexar soporte de la construcción de las configuraciones de electrodos. En la parte inferior derecha del simulador, oprimir el botón opción captura de pantalla.

despliega un menú que cuenta con la

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Figura 5. Montaje experimental en simulador Phet para la determinación de un campo eléctrico. Fase 1: para determinar experimentalmente el campo eléctrico y las líneas equipotenciales de dos electrodos planos paralelos, se realizará un montaje como el de la figura 5, para ello se deberá seguir los siguientes pasos: primero, en un explorador de internet ingrese a https://phet.colorado.edu/es/simulation/charges-and-fields. Luego, arrastre cargas al tablero hasta formar la configuración de cargas positivas y negativas

de la figura 5, active las opciones de voltajes, valores y grilla.

Desplace el medidor de voltaje

y con la opción

dibuje las superficies

equipotenciales. También deberá arrastrar la cinta métrica para medir las coordenadas (x, y) en [cm] en el espacio entre los electrodos. Repita el mismo proceso para las configuraciones de electrodos Circular-Circular y ParaleloCircular. Registre los voltajes de las equipotenciales y las coordenadas (x, y) en [cm] en la tabla 1 de la hoja de trabajo. Fase 2: en esta fase determinará experimentalmente la dependencia entre geometría de las líneas de campo eléctrico, las superficies equipotenciales y los electrodos modelados por cargas puntuales. Para cada configuración verifique que las líneas de campo y las superficies equipotenciales son perpendiculares entre sí. En una hoja realice un bosquejo de dos superficies equipotenciales de cada configuración, también dibuje los vectores de campo eléctrico que se encuentren entre ellas. Si es necesario proyecte la línea de campo para unir las equipotenciales y escriba las coordenadas donde la línea de campo se cruza con las equipotenciales (ver figura 6). Finalmente usando la ecuación (10) determine el campo eléctrico entre las dos equipotenciales.

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Figura 6. Vectores de campo eléctrico (en rojo) y líneas equipotenciales (en negro). Haciendo uso del sensor mida el campo eléctrico entre las equipotenciales y use este valor como teórico para realizar una estimación del error respecto al valor calculado con la ecuación (10). Fase 3: en esta última fase, se sintetizarán los resultados a través de un informe donde se establecerán las relaciones obtenidas entre las variables involucradas en todos los experimentos una estimación del error de los campos eléctricos calculados.

Preguntas adicionales ¿Cómo varía el potencial sobre la superficie de un electrodo? ¿De qué depende la distribución de las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales? ¿En la práctica para qué es útil conocer las líneas equipotenciales? ¿Qué ocurre si se cambia la polaridad de los electrodos, cambian de forma las líneas equipotenciales?

Resultados esperados Con la ejecución de este proyecto de investigación se espera que los estudiantes aprendan a realizar montajes eléctricos y aclaren los conceptos de campo eléctrico y superficies equipotenciales. Adicionalmente, se espera despertar en los estudiantes el espíritu investigador.

Bibliografía ● Martin, T. y Serrano,A. (s.f.). Electrostática. (Universidad Politécnica de Madrid UPM) Recuperado (03/04/202): http://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/electro/electro_portada.html

● R. A. Serway. (2000 ). FISICA, (5 ed., Vols. II, 5ª.). Edición.McGraw Hill. ● Sears, F. e. (2004). Fisica Universitaria (1 ed., Vol. vol I). Texas: Pearson Education. ● Simulador Phet cargas y campos eléctricos. Recuperado (04/04/202) https://phet.colorado.edu/es/simulation/charges-and-fields

Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro Este material fue desarrollado por: Ana M. Forero Pinto, Daniel A. Triana Camacho, Karen L. Cristiano Rodríguez, Melba J. Sánchez Soledad, Yuber A. Galeano; con el apoyo de: David A. Miranda Mercado, Jorge H. Quintero Orozco, Raúl F. Valdivieso Bohorquez, Rogelio Ospina Ospina; las autoriades académicas: Hernán Porras Díaz (Rector), Orlando Pardo Martínez (Vicerrector Académico), Jose David Sanabria Gómez (Decano de la Facultad de Ciencias) y Jorge Humberto Martínez Téllez (Director de la Escuela de Física). Un agradecimiento especial a la Universidad Industrial de Santander. Abril 14 de 2020....