Laboratrio 1 - Pendulos PDF

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O pêndulo de torção (Figura 1) é um sistema físico constituído por uma haste ou fio preso a um apoio fixo na parte superior e a um corpo na inferior que realiza oscilações harmônicas quando sofre um deslocamento angular com relação a sua posição de equilíbrio, tornando-se diferente dos demais pêndul...

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1. INTRODUÇÃO O pêndulo de torção (Figura 1) é um sistema físico constituído por uma haste ou fio preso a um apoio fixo na parte superior e a um corpo na inferior que realiza oscilações harmônicas quando sofre um deslocamento angular com relação a sua posição de equilíbrio, tornando-se diferente dos demais pêndulos, pois oscila de forma giratória (de -θm até +θm). O período desse pêndulo está relacionado ao momento de inércia (resistência de um sistema parado a sair do repouso quando submetido a um torque) que, por sua vez, depende do raio entre as massas e o centro de rotação, de modo que ao aumentar a distância da massa ao centro de rotação, o período do pêndulo aumenta e ao se diminuir essa distância, o período diminuirá.

Figura 1 – Esquema de um pêndulo de torção

Quando o corpo é girado em torno de seu eixo vertical causando uma deformação do fio o qual o corpo está preso, esse tende a retomar seu estado original por conta do torque restaurador exercido pelo fio conforme a Equação 1 que se relaciona à Equação 2 pois as oscilações têm uma frequência angular (ω).

τ restaurador =−θ ×k

√

ω=

k I

(1)

(2)

Sendo k é uma constante denominada de coeficiente de restituição ou de torção do fio e

θ

o

ângulo de torção e I o momento de inércia. O torque restaurador causa uma aceleração angular na massa, chegando-se na Equação diferencial do oscilador. 2

−k ×θ d θ = 2 m dt

(3)

A solução para a equação diferencial acima será a Equação 4:

θ ( t ) =θmáx × cos(ωt +ϕ )

(4)

2. MATERIAIS E MÉTODOS 2.1. Materiais Para a realização do experimento foram utilizados os seguintes instrumentos (Figura 1): 

Trena o Marca: Starret; o Faixa Nominal: 5m; o Erro: 0,05cm; o Precisão: 0,1cm; o Unidade de medida: Centímetros.

Figura 2: Trena



Cronômetro o Marca: Hanhart; o Faixa Nominal: 60 segundos; o Erro:0,5 segundos; o Precisão: 1 segundo; o Unidade de medida: Segundos.

Figura 2: Cronômetro



Pesos

Figura 3: Pesos de cobre

Figura 4: Pesos



Paquímetro o Marca: Kingtools; o Faixa Nominal: 15cm; o Erro: 0,025mm; o Precisão:0,05mm; o Unidade de medida: Milímetros.

Figura 5: Paquímetro



Esquadro o Marca: Desetec; o Faixa Nominal: 20cm; o Erro: 0,05cm; o Precisão: 0,1cm; o Unidade de medida: Centímetros.

Figura 6: Esquadro



Becker o Marca: J.Prolab; o Faixa Nominal: 250ml; o Erro: 2,5ml; o Precisão: 5ml; o Unidade de medida: Mililitros

Figura 7: Becker



Nível o Marca: Águia; o Estrutura com laser;

Figura 8: Nível



Balança o Marca: Marte; o Faixa Nominal: 2010g; o Erro: 0,05g; o Precisão: 0,1g; o Unidade de medida: Gramas.

Figura 9: Balança

Figura 10: Estrutura

2.2. Modelo Metodológico Para a obtenção de medidas de oscilação, diversos passos tiveram de ser feitos com a estrutura com laser. Primeiramente a estrutura foi posta na horizontal, e o nível foi utilizado para se ter a certeza do alinhamento. Para o alinhamento do laser com a escala de medição, utilizou-se o esquadro. Feita as medidas das distâncias entre o laser e a régua, e das pequenas massas, colocou-se sucessivamente as cinco massas (pequenas molas de cobre) na ranhura do ponteiro, e foi feita a medição da oscilação com o cronômetro. No segundo momento da experiência, a estrutura foi colocada na vertical, nível e esquadro novamente utilizados para alinhamento. Os pesos utilizados, e a barra utilizada com os pesos, foram medidos e pesados. 3 medidas diferentes do período de oscilação para 3 massas diferentes (momentos de inércia diferentes) foram realizadas. Primeiramente com 2 fios, depois com apenas um fio preso à estrutura. Nas duas situações foram medidas 10 oscilações completas com o cronômetro, e com o paquímetro e a balança os pesos foram medidos (massa e dimensões). Na terceira parte do experimento, houve a montagem da estrutura para medição do movimento harmônico rotacional amortecido. A montagem começou com o alinhamento do laser e da estrutura. Um ponteiro adicional foi colocado na estrutura, com uma de suas extremidades parcialmente

mergulhadas no recipiente com água. Em seguida cronometrou-se 10 oscilações completas com o cronômetro, e as amplitudes máximas correspondentes dos ciclos, à esquerda e à direita do zero da escala, anotadas. Com base nas figuras abaixo, temos:

Figura 11

Figura 12

Momento de inércia dos sistemas: 1°) Barras conjuntas 1 1 2 2 I t = M L + ml 2 12

1 1 I t = 59. 10−3 .0,166 2+ 53,7. 10−3 0,22 12 2 Equação 5

2°) Barra com pesos nos extremos

1 1 1 2 2 2 I t = M L + ml +2[ m ( R1 2+R 22) +m d ] 12 2 2

−4 −3 − I t =9,92. 10 +25,7.10 ( 0,0162+ 0,00672 ) +51,4. 10

Equação 6

3°) Barra com pesos próximos a barra central

1 1 1 2 2 I t = M L + ml +2[ m ( R1 2+R 22) +m d 2] 12 2 2

I t =31,45. 10−5 +25,7. 10−3 ( 0,0162 + 0,00672 ) +51,4. 10 Equação 7

2.3. Obtenção dos Dados Os dados foram obtidos no dia 14 de agosto de 2015 no Laboratório Didático de Física IV da Universidade Federal de Itajubá. Todos eles são válidos e foram utilizados na montagem das tabelas e gráficos e efetuação dos cálculos. As distâncias espelho-escala (l) e ranhura ao centro do pêndulo (L) medidas em laboratório são: l (mm) = 515,0 ± 0,5 L (mm) = 94,30 ± 0,02 A Tabela 1 contém os dados da primeira parte do experimento, em que foi realizado o ensaio estático da constante elástica de torção cinco vezes. Na primeira coluna consta o número

identificador do ensaio e as duas colunas seguintes indicam valores de medidas primárias. A coluna “m (±0,05) (g)” indica as medidas de massa dos conjuntos de molas de cobre utilizados em cada ensaio, a coluna “x (±1) (mm)” possui os valores das amplitudes dos deslocamentos do laser incidente sobre a escala milimétrica.

TABELA 1 – Dados para a obtenção do coeficiente elástico de torção. Itajubá, 14 de agosto de 2015 Ensaio 1 2 3 4 5

m (±0,05) (g) 0,90 1,70 2,40 3,20 4,00

x (±1) (mm) 65 60 60 72 112

Fonte: Laboratório Didático de Física IV – Universidade Federal de Itajubá

A Tabela 2 e a Tabela 3 contêm os dados da segunda parte do experimento, em que foram realizados ensaios dinâmicos da constante elástica de torção em situações em que o pêndulo era sustentado com dois fios e um fio. Nas colunas “Massas M (±0,05) (g)”, “Comprimentos L (mm)” e “Diâmetros d (±0,02) (mm)” da Tabela 2 constam valores de medidas primárias relativas às massas e dimensões das partes do pêndulo. TABELA 2 – Dimensões do pêndulo. Itajubá, 14 de agosto de 2015 Massas M (±0,05) (g) M1 = 59,00 M2 = 53,70 M3 = 27,50

Comprimentos L (mm) L1 = 166,0 ± 0,5 L2 = 200,0 ± 0,5 L3 = 20,00 ± 0,02

Diâmetros d (±0,02) (mm) d1 = 15,10 d2 = 6,60 d3 = 16,00 d3’ = 6,70

Fonte: Laboratório Didático de Física IV – Universidade Federal de Itajubá

A Tabela 3 contém os valores dos períodos calculados para cada ensaio dinâmico da constante elástica de torção.

TABELA 3 – Coeficiente elástico de torção dinâmico. Itajubá, 14 de agosto de 2015

Com dois fios Com um fio

Sem M3 Com M3 em l1 Com M3 em l2 Sem M3 Com M3 em l1 Com M3 em l2

Período T (±0,05) (s) 1,02 1,97 1,10 1,46 2,75 1,54

Fonte: Laboratório Didático de Física IV – Universidade Federal de Itajubá

As distâncias entre o centro do corpo de comprimento L2 e o corpo de comprimento L3 quando L3 está nas extremidades de L2 (l1) e quando L3 está mais próximo do centro de L2 (l2) medidas em laboratório são: l1 (mm) = 515,0 ± 0,5 l2 (mm) = 94,30 ± 0,02 A Tabela 4 contém os dados da terceira parte do experimento, em que foi realizado o ensaio movimento harmônico rotacional amortecido. Na coluna “Fração do período” consta a fração do período, a coluna “T (±0,05) (s)” trata dos valores dos períodos correspondentes às suas frações e a coluna “x (±1) (mm)” indica a amplitude do deslocamento do laser sobre a escala milimétrica e tem medidas primárias.

TABELA 4 – Movimento oscilatório amortecido. Itajubá, 14 de agosto de 2015 Fração do período 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

T (±0,05) (s) 0,60 1,20 1,80 2,40 3,00 3,60 4,20 4,80 5,40 6,00 6,60 7,20 7,80 8,40 9,00 9,60

x (±1) (mm) 140 -130 120 -110 100 -95 95 -90 80 -75 75 -70 65 -60 60 -55

Fonte: Laboratório Didático de Física IV – Universidade Federal de Itajubá

O período total (T), a distâncias espelho-escala (l) e a massa total do pêndulo (g) medidas em laboratório são: T (s) = 1,20 ± 0,05 l (mm) = 515,0 ± 0,5 m (g) = 110,70 ± 0,05 2.4. Análise dos Resultados Tendo como base os valores obtidos experimentalmente, a análise dos resultados fora dividida por três fases experimentais: “Coeficiente elástico de torção estático”; “Coeficiente elástico de torção dinâmico” e “Movimento oscilatório amortecido”, respectivamente. Sendo assim, a obtenção de dados para analise iniciou-se com a obtenção do deslocamento angular )(ϕ a partir da Equação 8 e do torque (τ) a partir da Equação 9. Tais cálculos feitos através da variação de massa em cada um dos casos podem ser analisados através das Tabelas 5 e 6 respectivamente: =arctg ϕ

x L

Equação 8

τ =mgLcos ( ϕ) Equação 9 Tabela 5 – Deslocamento angular (ϕ) Itajubá, 14 de agosto de 2015

Ensaio 1 2 3 4 5

Massa ± 0,00005 (kg) 0,0009 0,0017 0,0024 0,0032 0,004

x ± 0,001 (m) 0,065 0,060 0,060 0,072 0,112

L ± 0,005 (m) 0,515 0,515 0,515 0,515 0,515

ϕ± 0,05 (rad) 7,19 6.64 6.64 7.96 12,2 Fonte: Autoria deste trabalho

Tabela 6 - Torque (τ) Itajubá, 14 de agosto de 2015 Ensaio

Massa ± 0,00005 (kg)

1 2 3 4 5

0,0009 0,0017 0,0024 0,0032 0,0040

L ± 0,0005 (m) 0,515 0,515 0,515 0,515 0,515

ϕ± 0,5 (°)

τ ± 0,0003 (N.m)

51,6 6.64 6.64 54,4 65,3

0,0045 0,0085 0,0120 0,0160 0,0197 Fonte: Autoria deste trabalho

Desse modo observou-se a relação existente entre o deslocamento angular e o torque por meio do Gráfico 1:

Do Gráfico 1 obtivemos que o coeficiente angular é diretamente proporcional à constante elástica (K) para um pendulo com 2 fios, sendo assim K = 0,00230 +/- 0,00007. Posteriormente primeira fase experimental, a segunda fase composta pela torção dinâmica obteve-se mediante as Equações 5, 6 e 7 a relação do momento de inércia, segundo a literatura, indicado pela Tabela 6 nos três casos descritos: Tabela 7 – Momento de Inércia (I2) - Literatura Itajubá, 14 de agosto de 2015 CASO Sem pesos Com pesos nos extremos Com pesos próximos do centro

I.10-4 [kg.m2] ± 0,2 9,92 14,16 10,15

Fonte: Autoria deste trabalho

A fim de estabelecer uma comparação com valor de inércia indicado pela literatura, obtevese a frequência angular (W2) em dois fios para os três casos sujeitos, tal cálculo realizado pela Equação 10 é obtida segundo a Tabela 8: ω=

2π T

Equação 10

Tabela 8 – Frequência angular (W2) Itajubá, 14 de agosto de 2015 CASO Sem pesos Com pesos nos extremos com pesos no próximos do centro

W (rad/s) 6,16 ± 0,03 3,19 ± 0,08 5,71 ± 0,03

Fonte: Autoria deste trabalho

Juntamente com a frequência angular, obteve-se o valor do momento de inércia experimental (I2) a partir da Equação 2, tal resultado obtido é visto na Tabela 9:

Tabela 9 – Momento de inércia (I2) - Experimento Itajubá, 14 de agosto de 2015 CASO Sem pesos Com pesos nos extremos Com pesos próximos do centro

I2 .10-4 [kg.m2] ± 0,2 0,58 2,16 0,82

Fonte: Autoria deste trabalho

Realizando o mesmo raciocínio do pendulo com dois fios, fora realizado os mesmos cálculos para o pendulo de um fio, ou seja, os dados do momento de inércia - experimental (I1) foram calculados através da constante elástica “k`=k/2” e os dados adquiridos segundo a Tabela 10:

Tabela 10 – Momento de inércia (I1) - Experimento Itajubá, 14 de agosto de 2015 CASO Sem pesos Com pesos nos extremos Com pesos próximos do centro

I1.10-5 [kg.m^2] 0,30 1,13 0,35

Fonte: Autoria deste trabalho

A terceira fase do experimento composta pelo movimento oscilatório amortecido, fora calculado a frequência angular de amortecimento (Wa) e o momento de inércia no amortecimento (Ia) calculados segundo as Equações 2 e 10. Tal resultado é analisado a partir das Tabelas 11 e 12, respectivamente: Tabela 11 - Momento angular (Wa) Itajubá, 14 de agosto de 2015 Wa = 5,24 ± 0,05 rad/s Fonte: Autoria deste trabalho

Tabela 12 – Momento de inércia (Ia) Itajubá, 14 de agosto de 2015 Ia = 31,45.10-5 [kg.m2] Fonte: Autoria deste trabalho

Visto que nessa fase experimental a cada período de tempo houve uma variação do deslocamento devido o amortecimento (Tabela 9), obtivemos o Gráfico 2 do deslocamento em função do tempo:

Por fim, tendo o coeficiente angular do Gráfico 2 sendo a constante de amortecimento (y =0,1107) , calculou-se a frequência (W`) angular segundo a Equação 11, logo:

√

ω= ω−

2

y 4

Equação 11

Tabela 13 - Momento angular (W’) Itajubá, 14 de agosto de 2015 W` = 5,23 ± 0,05 rad/s Fonte: Autoria deste trabalho

Posteriormente fora calculado a energia (E(t)) segundo a Equação 12, mostrado na Tabela 14: 2

E (t ) = k × ϕ 2

Equação 12

Tabela 14 – Energia (E(t)) Itajubá, 14 de agosto de 2015 Fonte: Autoria deste

Por seguinte do Gráfico 3 da “E(t) x(t)”: ϕ

Dados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

k 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023

ϕ(rad) 0,2654 0,4829 0,6481 0,7706 0,8615 0,9331 0,9931 1,0413 1,0784 1,1091 1,1364 1,1593 1,1786 1,1949 1,21 1,224

E(t) ± 10-5 8,10213 7,03091 6,02677 5,09230 4,23001 3,82667 3,82667 3,44224 2,73117 2,40503 2,40503 2,09881 1,81271 1,54696 1,54696 1,30174

trabalho

efetuou-se a feição energia em função

− yt Mediante um ajuste dado por, “ E (t ) =E0 e ”, o Gráfico 3 forneceu a função “: y0+A*exp(x/t)“, que por sua vez possibilitou a aproximação de “y” que por sua vez fora, y = 0,27150. Tendo medido e calculado o momento de inércia e a massa total, calculou-se o momento de giração do experimento de amortecimento mediante a Equação 13, que por sua vez forneceu:

G=

√

I m

Equação 13

Tabela 15 – Raio de Giração Itajubá, 14 de agosto de 2015 G = 0,0533 ± 0,003 m Fonte: Autoria deste trabalho

3. DISCUSSÃO DO MÉTODO E DOS RESULTADOS Visto que o momento de inércia é diretamente proporcional à constante elástica e inversamente proporcional ao quadrado da frequência angular, temos inicialmente que a relação entre a constante elástica para um pêndulo de torção com dois fios e um pêndulo de torção de um fio é: τ =−kϕ τ RES=−k eq ×ϕ

−k eq ×=−k ϕ 1–ϕ k 2ϕ k 1= k 2

Logo, K eq =2 k A partir de uma análise dos casos experimentais, observa-se que há uma relação de proporção entre a constante de elasticidade e o quadrado da frequência angular em ambos os casos, que por sua vez pode ser concluído mediante a aproximação dos valores obtidos. Sendo assim pode-se dizer que independentemente da situação aplicada ao corpo de prova (um ou dois fios), o momento de inércia tende a se manter constante. Tendo como base o experimento de amortecimento, temos que o valor constante, “y”, definido a partir de ajustes, temos que tanto o ajuste realizado pelo gráfico de energia (E(t)) e pelo gráfico do deslocamento angular (ϕ) e o tempo, temos que ambos os valores são próximos tendo como base também a variação de erros. Por fim, tendo em vista que o raio de giração representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se tenha o mesmo momento de inércia, ou seja, temos que o valor encontrado é baixo o que propicia uma menor resistência que por sua vez minimiza erros nos dados coletados.

4. CONCLUSÕES

Concluiu-se que a torção de um fio gerou um torque resultante que se opõe ao deslocamento. Este torque atua como um tipo de força restauradora que se opõe à inércia da haste, resultando em uma oscilação em torno da posição de equilíbrio. Percebeu-se também que tal torque foi proporcional ao ângulo de torção, certificando-se uma relação de perda de energia com o decaimento de amplitude do movimento do pêndulo. Tal situação pôde ser representada aproximadamente por uma exponencial. Houve um ligeiro amortecimento nas oscilações em detrimento da perda de energia pelo atrito com o ar. Este amortecimento mostrou uma constante diminuição da amplitude tornando o movimento gradativamente mais lento. Por fim, observou-se o aparecimento de um torque restaurador que gerou um movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio do objeto oscilante. Este torque foi resultado de um movimento harmônico angular.

5. REFERÊNCIAS

NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Física Básica. São Paulo, Editora Blücher, 1983, v. 2. RESNICK e R. HALLIDAY, D., Física. Rio de Janeiro, LTC, 1983, v. 2...