Laporan Praktikum Statistik Elementer:Pendugaan Parameter PDF

Preview

Summary

LAPORAN PRAKTIKUM STATISTIK ELEMENTER PENDUGAAN PARAMETER Dosen Pengampu Dr. Sri Harini, M.Si Oleh Nurul Anggraeni Hidayati NIM. 14610002 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015 I. Contoh Soal 1. Pendugaan Nilai tengah dengan Varian ...

Description

LAPORAN PRAKTIKUM STATISTIK ELEMENTER PENDUGAAN PARAMETER

Dosen Pengampu Dr. Sri Harini, M.Si

Oleh Nurul Anggraeni Hidayati NIM. 14610002

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015

I.

Contoh Soal 1. Pendugaan Nilai tengah dengan Varian populasi diketahui Suatu contoh acak terdiri atas 16 batang rokok Nikmat yang mempunyai kadar nikotin rata-rata 4 mg dengan simpangan baku 0,9 mg. Tentukan selang kepercayaan 98% bagi rataan kandungan nikotin pada rokok Nikmat tersebut! Sumber: Sudaryono, statistika probabilitas, (Yogyakarta:Penerbit Andi, 2012), hlm. 205, Nomor 4

2. Pendugaan Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui Penelitian yang dilakukan Departemen Pertanian terhadap varietas padi jenis baru yang ditanam pada 15 lokasi yang berbeda didapatkan hasil (ton/ha) sebagai berikut: 2.7, 6.0, 5.5, 5.5, 8.0, 6.5, 7.0, 6.5, 7.5, 7.5, 6.0, 6.0, 4.6, dan 5.5. Tentukan : a. Selang kepercayaan 90% untuk kemampuan produksi padi tersebut b. Selang kepercayaan 99% untuk kemampuan produksi padi tersebut. Sumber: Turmudi

dan

Sri

Harini,

Metode

Statistika,

Pendekatan Teoritis dan Aplikatif, (Malang:UIN Malang Press, 2008), hlm. 240, Nomor 4 3. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi diketahui Suatu sampel terdiri dari 20 bola lampu merek A dan 25 merek B. Dari hasil penelitian diketahui bahwa rata-rata lama hidup bola lampu A 1500 jam dan simpangan bakunya 100 jam. Bola lampu B rata-rata lama hidup 1400 jam dan simpangan bakunya 200 jam. Tentukan: a. Selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata lama hidup bola lampu merek A dan B

b. Selang kepercayaan 99% untuk selisih rata-rata lama hidup bola lampu merek A dan B Sumber;Turmudi dan Sri Harini, Metode Statistika, Pendekatan Teoritis dan Aplikatif, (Malang:UIN Malang Press, 2008), hlm. 241, Nomor 8

4. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui Seorang dokter ingin mengetahui apakah suatu jenis ramuan obat baru efektif untuk penderita penyakit kronis. Dengan memakai alat ukur yang telah teruji kualitasnya, dokter mengamati dan mencatat tingkat rasa sakit dari 8 pasien sebelum dan sesudah obat itu dimakan dan bereaksi. Datanya dicatat dengan acuan bahwa angka yang tinggi menandakan rasa sakit yang tinggi dinyatakan sebagai berikut; Pasien

1

2

3

4

5

6

7

8

Tingkat rasa sakit sebelum 14 15 10 12 11 13 12 10 makan obat Tingkat rasa sakit sesudah 8

9

11 10 11 9

11 10

makan obat Bila diasumsikan tingkat rasa sakit sebelum dan sesudah makan obat berdistribusi normal dengan variasi yang tidak sama, buatlah selang kepercayaan 99% untuk beda rata-rata tingkat rasa sakit sebelum dan sesudah makan obat baru tersebut! Sumber;Turmudi dan Sri Harini, Metode Statistika, Pendekatan Teoritis dan Aplikatif, (Malang:UIN Malang Press, 2008), hlm. 243, Nomor 14

5. Selang Kepercayaan Untuk Proporsi Seorang pejabat bank akan memperkirakan berapa persen para nasabah yang tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh para pegawainya. Untuk maksud tersebut dilakukan penelitian

terhadap 250 orang nasabah yang dipilih secara acak. Ternyata ada 60 orang yang tidak puas. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval persentase para nasabah yang tidak puas! Sumber: Sudaryono, statistika probabilitas, (Yogyakarta:Penerbit Andi, 2012), hlm. 207, Nomor 12

6. Selang Kepercayaan Untuk Selisih 2 Proporsi Seorang ahli genetika tertarik pada proporsi pria dan wanita dalam populasi yang mengidap kelainan darah tertentu. Pada contoh acak pertama yang terdiri dari 100 orang pria, setelah diperiksa dengan seksama diperoleh informasi bahwa terdapat 24 orang yang positif menderita kelainan darah. Pada contoh acak kedua yang terdiri dari 100 orang wanita, setelah diperiksa dengan seksama diperoleh informasi bahwa terdapat 13 orang yang positif menderita kelainan darah. Tentukan selang kepercayaan 95% dan 98% bagi selisih proporsi yang sebenarnya antara pria dan wanita yang telah positif menderita kelainan darah! Sumber: Sudaryono, statistika probabilitas, (Yogyakarta:Penerbit Andi, 2012), hlm. 206, Nomor 9

II.

Kajian Pustaka

Pendahuluan Pada umumnya jika kita mengadakan penelitian terkadang kita tidak tahu secara tepat nilai-nilai parameter dari distribusi teoritis di mana sampel itu kita ambil. Hal tersebut terjadi karena kita tidak mengambil seluruh populasi yang akan diteliti. Artinya kita mengalami kesulitan untuk menentukan sampel yang representative mewakili populasi. Untuk itu kita perlu mencari sampel yang benar-benar dapat mewakili populasi dengan metode dan cara yang efektif. Adapun sampel yang akan digunakan dalam penelitian disebut sebagai penduga

atau estimator. Sedang fungsi nilai sampel yang digunakan untuk menduga parameter disebut penduga parameter dan angka yang merupakan hasilnya disebut dugaan secara statistic. (Nana Danapriatna dan Roni Setiawan,2005:69-70) Statistik inferesia atau statistic induktif adalah pengambilan kesimpulan mengenai nilai sebenarnya dari parameter (yang dihitung berdasarkan populasi) yang didasarkan atas perhitungan sampel sehingga kesimpulan tersebut mengandung unsur ketidakpastian (uncertainly factor). Artinya, kesimpulan tersebut bisa benar dan bisa salah. Hal ini karena data yang digunakan adalah data pendugaan atau estimasi dari sampel yang mengandung kesalahan dalam penarikan sampel.

Statistika

inferesia

(induktif)

mempersoalkan

tentang

bagaimana menduga atau menguji hipotesis mengenai parameter populasi yang belum diketahui dengan menggunakan contoh acak dan hitung peluang. Dugaan terhadap parameter populasi dapat berupa pendugaan titik (point estimation) yang dapat juga berupa pendugaan interval/selang (interval

estimation). Pendugaan titik adalah pendugaan yang

didasarkan pada keyakinan yang pasti mengurai nilai penduga terhadap parameternya. Jika kita menduga dengan sampel, diharapkan nilainya akan sama dengan nilai populasinya. Tetapi hal ini mempunyai resiko penyimpangan, ditunjukkan dengan tingkat kesalahan atau eror. (Sunyoto, 2010) Dalam praktek, pendugaan titik yang hanya satu angka tidak memberikan gambaran tentang jarak atau selisih nilai penduga terhadap nilai yang sebenarnya. Hal ini karena suatu nilai sangat dimungkinkan memiliki penyimpangan dimana yang diharapkan tidak sama dengan kenyataan. Oleh karena itu untuk memperkecil tingkat kesalahan yang terjadi dalam pendugaan terhadap nilai variable tertentu, kita lebih baik menggunakan pendugaan interval, yaitu pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut

nilai batas bawah dan nilai batas atas. Interval demikian disebut interval keyakinan.(Sudaryono, 2012:180-182) Pendugaan bertujuan mendapatkan gambaran yang jelas tentang ciri-ciri populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan informasi contoh atau penduga (estimator). Agar ciri-ciri atau parameter populasi dapat ditampilkan dengan jelas dan benar, penduga yang digunakan harus merupakan penduga terbaik. Statistika sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi dikatakan terbaik apabila memiliki ciri-ciri sebagai berikut: (Partino, 2010) Ciri penduga yang baik: 

Tidak bias; Suatu penduga dapat dikatakan tak bias apabila nilai harapan dari penduga tersebut sama dengan nilai parameter yang diduga, seperti:(Sudaryono, 2012:182) ̅ ̂

Penduga yang tidak bias terjadi apabila parameter variabel sampel random sama dengan penduga parameter populasi. Dengan kata lain mendekati nilai sebenarnya dari parameter yang diduga. (Nana Danapriatna dan Roni Setiawan,2005:70) Apabila nilai tengah dari distribusi penarikan sampel suatu statistic adalah sama dengan parameter populasi, maka statistic ini disebut parameter yang tidak bias dari parameter tersebut, kalau tidak demikian maka disebut penduga yang bias. Nilainilai statistic yang bersangkutan disebut penduga yang tidak bias atau penduga yang bias. Contoh 1. Nilai tengah (mean) dari distribusi penarikan sampel nilai tengah

̅

, yaitu nilai tengah populasi. Maka nilai tengah

sampel ̅ merupakan penduga yang tidak bias dari nilai tengah populasi

Contoh 2. Nilai tengah dari distribusi penarikan sampel varians , dimana

merupakan sampel

yang bias dari varians populasi yang disesuaikan



̂

merupakan penduga

. Dengan memakai varians , kita mendapatkan bahwa

sehingga ̂ merupakan penduga yang tidak bias dari

̂

.(Spiegel, Murray R,1992:163) Efisiensi

Apabila distribusi sampling dari dua statistic mempunyai nilai tengah (atau nilai harapan) yang sama, maka statistic dengan varians yang lebih kecil disebut penduga yang efisien dari nilai tengah sedangkan statistic yang lain disebut penduga yang tidak efisien. Nilai-nilai statistic yang bersangkutan berturut-turut disebut penduga yang efisien atau tidak efisien. Contoh Distribusi penarikan sampel dari nilai tengah dan median keduanya mempunyai nilai tengah yang sama, yaitu nilai tengah populasi. Namun demikian, varians dari distribusi penarikan sampel nilai tengah adalah lebih kecil daripada varians dari distribusi penarikan median. Oleh karena itu, nilai tengah sampel merupakan penduga yang efisien dari nilai tengah efisien dari nilai tengah populasi, sedangkan median sampel merupakan penduga yang tidak efisien. Dari antara semua statistic yang menduga nilai tengah populasi, nilai tengah sampel merupakan penduga yang paling baik dan 

efisien. (Spiegel, Murray R,1992:163-164) Konsisten Artinya, distribusi

tetap berkonsentrasi pada

meskipun

bertambah banyak. Makin besar ukuran sampel penduga makin mendekati nilai parameter yang diduga. (Nana Danapriatna dan Roni Setiawan,2005:70)

Menurut Sudaryono (2012:182), suatu penduga dikatakan konsisten apabila jumlah kuadrat galatnya mendekati nol kalau 

ukuran contoh mendekati tak terhingga. Kecukupan (sufficiency) Selain tak bias, efisien dan konsisten, penduga juga harus mengandung semua informasi tentang parameter populasi atas dengan kata lain, penduga tersebut harus mempunyai syarat kecukupan. Dalam hal ini, median dan modus bukanlah penduga yang berkecukupan karena hanya mencakup satu nilai pada pertengahan data yang telah diurutkan atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.(Sudaryono, 2012:182) Pemeriksa yang sufficient, misalnya ̅ adalah pemerkira

yang memanfaatkan seluruh informasi mengenai parameter yang akan diperkirakan, yang terkandung dalam suatu sampel. Pemerkira ini akan dikembangkan oleh Sir R.A. Fisher (sufficient artinya cukup). Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: ̂

merupakan

sufficient

estimator

dari

,

apabila

̂ mencakup seluruh informasi tentang , yang terkandung di

dalam sampel, dengan perkataan lain kalau distribusi bersayarat dari variabel:

sebagai sampel untuk nilai ̂ yang diketahui,

tidak tergantung pada parameter . Ini berarti fungsi kepadatan bersama dari

dapat ditulis sebagai berikut: =

⁄̂

̂ ̂

Fungsi g yang bersyarat tak tergantung pada

. Perlu

disebutkan di sini bahwa ̅ dan p merupakan pemerkita

sufficient

bagi

U

dan

proporsi

sebenarnya

P.(J.

Supranto,1986:38)  Pendugaan Interval (Interval kepercayaan/confidence Interval) Menurut Nana Danapriatna dan Roni Setiawan (2005:81), sering ditemukan bahwa pendugaan titik (point estimation) kurang identic untuk mewakili parameter populasi. Oleh karena itu, diperlukan pendugaan interval atau interval kepercayaan untuk memperoleh pendugaan hasil yang lebih obyektif. 1. Pendugaan rata-rata untuk sampel besar Untuk sampel lebih besar dari 30

dari populasi

tidak terbatas dengan interval keyakinan ⁄

maka: ⁄

√

√

Sehingga keyakinan bawahnya adalah sebagai berikut. ⁄ √

Sedang

dan keyakinan batasnya koefisien

⁄ √

probabilitasnya

atau

koefisien

keyakinannya adalah sebagai berikut. ⁄

⁄

Galat dalam pendugaan rata-rata dengan taraf nyata a nilainya tidak akan melebihi

⁄

.

2. Pendugaan rata-rata untuk sampel kecil Untuk sampel lebih kecil

menggunakan distribusi

yang variabelnya standar (distribusi standar). Adapun rumus yang digunakan adalah sebagai berikut. √

√

3. Menghitung besarnya sampel untuk pendugaan rata-rata Untuk

mengadakan

sampling

secara

random

untuk

menduga parameter populasi maka kita harus mengetahui berapa besar sampel random yang harus diambil/digunakan.

Hal ini dilakukan agar memperoleh pendugaan yang tepat atas dasar interval keyakinan. ⁄

|

Dimana

|

:

= Ukuran sample = Simpangan baku = Suatu nilai penyimpangan terhadap = Nilai

⁄

tabel

Berdasarkan kriteria tersebut, ̅ (rata-rata sampel), ̂

(proporsi sampel), dan s (standar deviasi) masing-masing merupakan pendunga yang baik untuk populasi), P (proporsi populasi) dan

(rata-rata

(standar deviasi

populasi). Sedang menurut Turmudi dan Sri Harini (2008:225) Dalam pendugaan parameter ini akan dibicarakan selang kepercayaan untuk nilai proporsi

dan selang kepercayaan untuk

.

A. Pendugaan Nilai Tengah Misalkan diberikan populasi terbatas atau tak terbatas di mana simpangan baku pendugaan titik bagi rataan populasi ̅

dinyatakan dengan Tanda

atau

dibaca diduga sama dengan.

a. Varian Populasi diketahui. Salah satu penduga titik bagi nilai tengah populasi statistic. Misalkan tersebar normal dengan maka selang kepercayaan ⁄

bagi ⁄

adalah

diketahui, adalah:

Selanjutnya dengan mengganti Z= yang merupakan sebaran normal baku akan didapatkan: ⁄

⁄

(

⁄

Dengan

⁄ √

⁄ ) √

⁄

mempertimbangkan

rumus

tersebut,

maka

diperoleh batas kepercayaan terendah terendah dan tertinggi berturut-turut: Batas bawah = ̅ Batas atas

⁄ √

⁄

= ̅

⁄ √

⁄

Berdasarkan peluang diatas

(Simpangan baku)

bisa diketahui. Tetapi, jika

tidak diketahu, dan

dapat diganti dengan

(simpangan baku contoh),

sedangkan jika Jika

persamaan tersebut tidak berlaku. benar-benar merupakan nilai pusat selang

kepercayaan atau

̅ ̅ merupakan penduga bagi

tanpa kesalahan. Akan tetapi, hal semacam ini hampir tidak pernah terjadi. Selalu saja terdapat selisih antara Selisih antara

dan ̅ .

dan ̅ disebut galat (error) dugaan titik,

yang dapat diperoleh dengan: Galat:

|

⁄ √

|

Galat sampling (sampling error) sama dengan ⁄

Dalil: Jika

√

digunakan untuk menduga

, dapat

dipercaya bahwa galat tidak lebih dari. ⁄

Dalil : Jika dipercaya w jika ukuran contoh.

√

digunakan untuk menduga , dapat bahwa galat tidak lebih kecil dari

⁄

b. Varian Populasi tidak diketahui. Bila ragam populasi kecil (

tidak diketahui dan ukuran contoh

), maka kita tidak dapat menggunakan rumus

dari normal baku Z, tetapi kita dapat menggunakan peubah t (sebaran t). Maka selang kepercayaan

bagi

diberikan rumus dibawah ini: ̅

Dengan nilai bebas

⁄

⁄ √

⁄

⁄

⁄ √

adalah nilai t dari tabel dengan derajat

B. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah a. Varian Populasi diketahui Bila dalam suatu penelitianterdapat dua populasi dengan nilai tengah

dan varian

dan

diketahui, maka penduga titik bagi selisih dua nilai tengah adalah, dimana kedua peubah berasal dari kedua populasi berukuran

dan

selang kepercayaan dan varian ( ̅

̅

⁄

√

yang saling bebas. Maka bagi selisih dua nilai tengah

dan ̅

diketahui adalah: ̅

⁄

√

)

Dengan mempertimbangkan rumusan diatas, maka

diperoleh batas kepercayaan terendah dan tertinggi berturut-turut: Batas bawah Batas bawah

̅

̅

̅

̅

⁄ ⁄

√

√

b. Varian Populasi tidak diketahui Bila ragam populasi tidak diketahui, maka selang kepercayaan seperti pada pendugaan nilai tengah dengan varian populasi tidak diketahui tidak dapat langsung diterapkan. Meskipun

dan

merupakan penduga tak

bias dari variansi populasi. Sehingga perhitungan selang kepercayaan untuk

dengan titik kritis sebaran t

tidak dapat begitu saja diterapkan. Pembahasan ini secara khusus dibahas dalam pengujian hipotesis. C. Selang Kepercayaan untuk Proporsi Dalam materi percobaan binomial kita diberikan suatu penduga titik bagi proporsi p adalah ̂

⁄ . Jika

sebaran contoh ini mempunyai n yang cukup besar, maka sebaran bagi ̂ dapat dihampiri oleh sebaran normal dengan

nilai tengah dan varian:

̂

⁄

Sehingga sebaran normal baku (Z) akan menjadi:

√

̂

Dengan mendistribusikan Z kita peroleh selang kepercayaan

untuk p yaitu: ⁄

⁄

̂

⁄

( ⁄

√

̂

√

Untuk selang kepercayaan dalam populasi p.

̂

⁄

) ⁄

√

untuk proporsi

Karena nilai p tidak diketahui, maka nilai p dapat diganti dengan, sehingga selang kepercayaan

100%

bagi parameter p sebagaimana persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk: ̂

⁄

̂

√

̂ ̂

⁄

̂

√

̂

D. Selang Kepercayaan untuk Selisih 2 Proporsi Dalam uji selang kepercayaan selisih 2 proporsi ini, diduga selisih antara 2 parameter

dan

Dimisalkan

proporsi perokok yang menderita penyakit paru-paru dan adalah proporsi bukan perokok yang menderita penyakit paru-paru. Maka kita akan mempunyai selisih antara kedua proporsi tersebut

. Penduga titik bagi selisih antara

kedua proporsi populasi ̂

̂ . Bila

̂

̂

adalah proporsi keberhasilan dari

contoh acak berukuran

̂

bagi ̂

⁄

√

secara spesifik adalah

, maka kepercayaan

̂

adalah : ̂ ̂ ̂ ̂

̂

⁄

√

̂ ̂

̂ ̂

Berlaku umum bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan,
...