Title | Le derivate - Spiegazione con esercizi finali |
---|---|
Course | Istituzioni Di Diritto Privato 1 |
Institution | Università degli Studi di Teramo |
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Spiegazione con esercizi finali...
LE DERIVATE
1. GENERALITÀ Definizione 1.1) La derivata è un operatore che ad una funzione f associa un’altra funzione e che obbedisce alle seguenti regole: (1) D a0 xn
|
= a0 xn
= na0 xn
1
derivata di un monomio
ESEMPI D 3x 2 = 2 3 x 2
1
= 6x
= 4 5 x4
1
= 20x 3
D 5x 4 D
4x 3 = 3
(2) D a0 x
4 x3
1
=
12x 2
= a0
derivata di un monomio con n = 1
ESEMPI D 7x
= 1 7 x1
1
= 7x 0 = 7 1 = 7 , D 10x = 10 , D 3x = 3
(3) D x = 1
derivata di un monomio con a0 = 1 = n
(4) D c = 0
derivata di una costante
ESEMPI D 4 = 0 , D 10 = 0 , D 25 = 0
(5) D xn
= nxn
1
derivata di un monomio con a0 = 1
Più in generale risulta: (5.1) D x
=
x
1
(
reale qualsiasi )
1
Ricordando le regole delle potenze: 1 n
a) a n = b) a
c) a
n
1 an
=
1 n
a
1
=
n
a
seguono varie proprietà applicate nei seguenti ESEMPI D x 3 = 3x 3
D x
3
1
2
3
1
= 5x 4 , D x 8 = 8x 8
1
= 8x 7 , D x
2
=
2 1,
2x
2
2 x
1 allora si ha: n
1
1
=
D xn
3
= 1
=
Se
= 5x 5
= 3x 2 , D x5
1
1 n x n
1
1 x n
=
1 n
1 n
=
n
1 x
n 1 n
che si può scrivere, in modo più semplice, come segue: (6) D
n
=
x
1 n
n
xn
derivata della radice n-esima
1
ESEMPI D
x =
1 2
=
2 1
x
1 x
2
, D
x =
3
1 3
=
3 1
3 x
1 3
3
2
x
, D
5
x =
1 5
5 x
5 1
=
1 5
5
x4
Più in generale si ottiene: (7) D
n
f x
f' x
= n
n
derivata della radice n-esima di una funzione
n 1
f x
ESEMPI D
x
3
4x
2 = 2
|
x3
4x
2
x3
4x
2
2 1
=
3 x2 4 2 x3
4x
2
2
D
3
4x
3
6x
5 =
2
3 D
5
3
5x 3
5x 3 =
6x 2
5
4x3
6x2
5
|
5 5 5x 3
(8) D a f x
4x 3
3 1
3
5 5 5x 3
= aDf x
bg x
12x 2
=
5
=
5 1
|
4
4 x 3 6x 2 5
3
4x 2
=
2
4x
4 x 3 6x 2 5
3
2
1
= 5
bDg x
12x
4
5x 3
derivata della somma ( o differenza ) e linearità
ESEMPI 2
7x
6 = 5D x
D 6 x 3 2x 2
4x
6 = 6D x 3
D 5x
D
4
3x
7x =
4x 3
4
3D x
2
2D x 2
7D x =
4D x 3
6D 1 = 20x
4D x
6D 1 = 18x 2
12 x2
= f xg x ' = f'x gx
(9) D f x g x
3
7D x
6x
7
4x
4
7
f x g' x
derivata del prodotto
ESEMPI D x2
10 x2 D 2x
2x 2 D 3x 3 x92
45x 4
1 5x 2
5x2
4x 3 x2
|
= x2
1 5x
5 = 15x2
2x
= 2x
2
2 4 x3
72x 2
4 4
|
3 x2
= 3x 3 x33
1 5x
|
2
= 2x 5x
2
x2
= 2 x2
2x
1 5 =
4x 5 2x
4x 4 x 2 4 x 6x 6 = 6x 2 4x 1 3x 2
x2
x4
2x
3 x2
2x
|
2x
3 2x
2 =
14x 6 |
4x 1 3x 2 x4 1 x 6 = 27
4
3x 3 2 x36
4x x2 12
1 3x 2 4 16 x18
4
|
= 2 x24
x6 =
6x 16
3
f x (10) D gx
|
f x g x
=
f' x g x
=
f x g' x
gx
,
gx
x 2x
=
2
0
derivata del quoziente
ESEMPI D
D
|
x x2
x x2 1
=
1
x x2
x2
4
x3 4 x
=
x
x3 4 x
4 x
|
x2 1
2
x2 1 3x 2 4 x
=
1 x2
4 x2
x
2
1
2 x 3 12x 2
=
4 x
2x 4 x 2
=
2
x2
2
|
4 x2
1 x2
x3 1
4
1 x2 4 x2
=
=
2
|
1 x2 D 4 x2
|
2
1
|
x3
1
2
1 x 2 2x
4 x2
=
2
6x 2
4 x2
= f ' ..... g ' ..... = f ' g x g ' x
(11) D f g x
derivata di funzioni composte
ESEMPI 1 |
4x
D D
2
3 =
2 x3 1
5
2
=
2 5
2 x3 1
5
4x
3
2
3
=
2
2 x3 1
5
2
1
=
D
2
x
D 3x
2
7x
x
5
=
5 5 2x 3 1
x
= 5 3x
7x
2
|
2x 3 1
2 | 5
8x
=
2
4x 2
2 3 2x 1 5
=
3 3 5
4x
=
2x
3
4x2 |
1
3
=
12x2
6x2 =
2
3
3
|
1 | 3
4 x2
2
4x 2
x
1 2 x 3
=
3
5 1
3x
3
2
x
|
1
7x
3
1
x2
7x
|
=
2x 3 3 x2
= 5 3x
2
x
4
7 7x
2
6x 1
4
(12) D e
f x
= ef
x
f' x
derivata di funzioni esponenziali
ESEMPI
D e D e
x2 5 x 2
3x 3
7x
x3
3
D e
x2
= e 3x = e
1
3x 2
3
x2
7x
4x
3x2
5
24 x 2
5
3x
2x 2
= e
x
2
5x
3
7x
2 |
|
= e
= e 3x x3 3
|
3 x 3 x2 1
1
4x
3x 2 5
2x 2 4x
e
x2 5 x 2
x3 3
2 x2
D e
= e
= e
x2
3
x2 5 x 2
7x
9x
2x
2
7
3x2 x2
1
1 x
2 x 2 4x 3x 2 5
2 x2
|
= e
5
4x
x
2
3
= ex
2
1
2
1
x
4
3x 2 x
4 x 3x 2 5
3x 2 5
x3 3
3 2x
2x 2
3x 2
5
4x 6x
2
2
1
6x 2
=
20x
3x2
5
2
f' x f x
=
(13) D ln f x
derivata di funzioni logaritmiche
ESEMPI D ln 3 x2 3
D ln x
D ln
=
2
2x 1
2x2 4 x 3x
2
5
1 3x
2
=
3x 2
2
2
|
1 x3 2x 1
x3 2
3x 5 = 2 2x 4x
6x 3x 2
=
2
3x 2 2 1 = 3 x 2x 1 |
2x
2
2x 4x 2 3x 5
|
2
=
3x 2 2x
2
5 4x
24 x 3x
20 x
2
5
2
2
=
24 x 2 2x 4x
20 x 3x 2 5
Osservazione: vengono riportate, di seguito, alcune proprietà dei logaritmi che si riveleranno utili soprattutto per lo studio di funzioni: log a b c log a
b c
log a b n
log a
n
b
= log a b log a c
con
a, b
= log a b log a c
con
a, b, c
= n loga b
con
a, b
0
e
a
1
e
n intero positivo
con
a, b
0
e
a
1
e
n intero positivo
con
a
=
log a a = 1
1 log a b n
0
0
e 0
e
a e
a
1 a
1
1
5
log a 1 = 0
con
a
0
e
a
1
log a 0 =
con
a
0
e
a
1
log b N =
log a N loga b
formula del cambio di base con N intero positivo
Inoltre, sfruttando la definizione classica di logaritmo, è facile verificare l’equivalenza delle seguenti espressioni: z = log a b ;
az = b ;
a log a b = b ;
In generale si è soliti indicare con ln o anche con log il logaritmo naturale o Neperiano, cioè in base e.
2. TABELLA DELLE DERIVATE PIÙ COMUNI Riportiamo qui di seguito una tabella riassuntiva delle derivate di alcune funzioni elementari, scrivendo a sinistra la funzione e, nella stessa linea, a destra, la sua derivata: y = c
y' = 0
y = x
y' = 1
y = xn , n y =x , y =
y =
¥ ¡ex
x n
xm , n
m
y ' = nx n 0
1
y' =
x
y' =
1
1
x
2
m
y' = n
n
y = sinx
y ' = cosx
y = cosx
y' =
y = tgx
y' =
y = ctgx
y' =
y = ex
y ' = ex
y = a x, a
0
m
sinx 1 = 1 tg2 x 2 cos x 1 2
=
sin x
1 cotg 2 x
y ' = a x loga y ' = x x 1 lnx
y = xx y = lnx, x
xn
0
y' = 1 x 6
y = log a x , x
0, a
y = arcsinx,
1
y 2
y = arccosx, 0
0, a
2
y
y' = 1 loga e x
1
y' =
x2
1
1
y' =
y = arctgx
y' =
y = arcctgx
y' =
1 x2 1 1 x2 1 1 x2
Seguirà, adesso, l’elenco delle derivate di funzioni elementari ottenuto dalla tabella precedente sostituendo alla variabile indipendente x una certa funzione f x di cui si conosca la derivata ed applicando poi la regola di derivazione delle funzioni composte:
y =
f x
y =
n
y' = n f x
f x
2
y =
n
f x
m
f' x
f' x
y' =
f x
n 1
m
y' = n
n
n m
f x
y = sin f x
y' = cos f x f ' x
y = cos f x
y' =
sin f x f ' x
y = tg f x
y' =
1 f' x cos f x
y = ctg f x
y' =
y = arcsin f x
y' =
2
1 f' x sin f x 2
1 f x
1 y = arccos f x
f' x
1
y' = 1
y = arctg f x
2
f x
1
y' = 1
f x
2
2
f' x
f' x
7
1
y = arcctg f x
y' =
y = ef
x
y' = e
y = af
x
y' = a
1
f x
2
f x
f' x
f x
ln a f ' x
f' x
y = ln f x
y' =
1 f' x f x
y = log a f x
y' =
1 logae f ' x f x
y' =
f x
y =
f x
g x
g x
g ' x log f x
g x f x
f 'x
8
ESERCIZI PROPOSTI Calcolare le derivate delle seguenti funzioni polinomiali: y = 3x 2 + 1
[6x]
y = 5x + 7
[5]
y = 2x
[2]
5
y = 3x 2
6x + 4
y = 4x 3
2x 2 + 5x
[6x
6]
[12x 2
3
4x + 5] y = 4x 2
1
[8x]
y = 1 + x + x2
[1 + 2x]
y = x3
2x
[3x 2
y = 3x
1
[3]
y = 4x 2
[8x]
y = 4x 2 + 5 5
y = x + 4x
[8x]
2
4
[5x + 8x]
y = x 3 + 2x 2 + 1 y = 3x 4
2]
[3x 2 + 4x]
5x 3 + 4x
[12x 3
7
15x 2 + 4] y = 8x 5 y
1 2 x 2
24x 3 + 7 1 3 x 3
5x 9
y = (2x + 3)(x 2 + 3x y = (x 2
[40x 4
1)
[x + x 2 + 5] [6x 2 + 18x + 7] [15x 2 + 4x
1)(5x + 2)
y = (x 2 + 1)5 y
72x 2]
5]
[10x(x 2 + 1)4]
5x 3
7x 2
3x
4
2
5
9
y = x (x – 1)3 y = (1 + x 2)(2x – 5) y = (2x – 1)2(3 – 7x )5 y = (2x + 3)(x 2 + 3x – 1) y = (1 – 2x 2)(3x + 1)
15 2 x 4
7x
[ (2x + 1)(x [6x 2
3 5
1)2]
10x + 2]
[(2x – 1)(3 – 7x)4( 98x + 47)] [6x 2 + 18x + 7] [– 18x 2 – 4x + 3]
9
y = (3 – 2x – x 2)(x 4 – 2x 2)
[2x(– 3x 4 – 5x 3 + 10x 2 + 6x – 6)]
y = x 2(4 + x )(5x + 1)
[x(20x 2 +63x + 8)]
y = (8x – 1)10
[80(8x – 1)9]
y = (x – 1)2(x – 2) y = (5 + x 3)(1 – 2x – 4x 3)2
[(x – 1)(3x – 5)] [(1 – 2x – 4x 3)(– 36x 5 – 10x 3 – 117x 2 – 20)]
y = (1 – 3x )4(1 + x )
[(11 + 15x)(3x – 1)3]
y = (2 – x )2(x 3 + 2x )
[(2 – x)(– 5x 3 + 6x 2 – 6x + 4)]
y = (x – 2)3(x + 1)2
[(x + 1)(x – 2)2(5x – 1)]
y = (x 2 + x + 1)3(x – 1)4
[(x 2 + x + 1)2(x – 1)3(10x 2 + x + 1)]
y = (x 6 + 1)(3x + 1)8
[6(3x + 1)7(7x 6 + x 5 + 4)]
y = (x 2 + 2x – 3)3(4 – x 2)7
[2(12 + 33x – 17x 2 – 10x 3)(x 2 + 2x – 3)2(4 – x 2)6]
y = 2(x + 2)2(x 2 + 4x – 3)
[4(x + 2)(2x 2 + 8x + 1)]
y = x 2(x 4 + 1)3 + 3x (x 2 + 1)]
[2x(x 4 + 1)2(7x 4 + 1) + 3(3x 2 + 1)]
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni razionali fratte: y
5
5
x 1
x 1
y
x 1 2x
y
x 3 x 4
y
y
y
2x 3 3x 4 x 1 x 3 3x 4 2 x 1
2
1 2x2
1 x 4
2
1 3x 4
2
4 x 3
2
x 5 3x x2 1
2
10
y
y
y
y
y
2x
1 x
2
1
2
x
4 x2 1
2x 1 2x 1 x2
x x
2
x
3x 1 x 1
1 x
2
x 3x 2 5 2 x 1
2x 2 2 x 1
4x 2
x
2
4x 5x 3 2 x 6x 5
19x 2
y
3x 2 2 x 3 2 x 2x 1
4 x2
1
2
34x 7
x 2 6x 5
2
3x 2
x 2 2x 1
2
1
1
x
x
1 y 2 2x
3 x
y 3 x2
9x
...