Le Derivate esercizi PDF

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Esercizi derivate ...

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CAPITOLO VII DERIVATE

1. GENERALITÀ Definizione 1.1) La derivata è un operatore che ad una funzione f associa un’altra funzione e che obbedisce alle seguenti regole: (1) D a0 xn

|

= a0 xn

= na0 xn

1

derivata di un monomio

ESEMPI D 3x 2 = 2 3 x 2 D 5x D

4

= 4 5 x

4x 3 = 3

(2) D a0 x

= 6x

1

4 1

= 20x

4 x3

1

=

3

12x 2

= a0

derivata di un monomio con n = 1

ESEMPI D 7x

= 1 7 x1

1

= 7x 0 = 7 1 = 7 , D 10x = 10 , D 3x = 3

(3) D x = 1

derivata di un monomio con a0 = 1 = n

(4) D c = 0

derivata di una costante

ESEMPI D 4 = 0 , D 10 = 0 , D 25 = 0

(5) D xn

= nxn

1

derivata di un monomio con a0 = 1

Più in generale risulta: (5.1) D x

=

x

1

(

reale qualsiasi )

225

Ricordando le regole delle potenze: 1 n

a) a n = b) a

c) a

n

1 an

=

1 n

a

1

=

n

a

seguono varie proprietà applicate nei seguenti ESEMPI D x 3 = 3x 3

D x

3

1

2

3

1

= 5x 4 , D x 8 = 8x 8

1

= 8x 7 , D x

2

=

2 1,

2x

2

2 x

1 allora si ha: n

1

1

=

D xn

3

= 1

=

Se

= 5x 5

= 3x 2 , D x5

1

1 n x n

1

1 x n

=

1 n

1 n

=

n

1 x

n 1 n

che si può scrivere, in modo più semplice, come segue: (6) D

n

=

x

1 n

n

xn

derivata della radice n-esima

1

ESEMPI D

x =

1 2

=

2 1

x

1 x

2

, D

x =

3

1 3

3 1

3 x

=

1 3

3

2

x

, D

5

x =

1 5

5 x

5 1

=

1 5

5

x4

Più in generale si ottiene: (7) D

n

f x

f' x

= n

n

derivata della radicen-esima di una funzione

n 1

f x

ESEMPI D

x

3

4x

2 = 2

|

x3

4x

2

x3

4x

2

2 1

=

3 x2 4 2 x3

4x

2

226

D

3

4x

3

6x

5 =

2

3 D

5

3

5x 3

5x 3 =

6x 2

5

4x3

6x2

5

|

5 5 5x 3

(8) D a f x

4x 3

3 1

3

5 5 5x 3

= aDf x

bg x

12x 2

=

5

=

5 1

|

4

4x 2

=

2

4 x 3 6x 2 5

3

4x

4 x 3 6x 2 5

3

2

1

= 5

bDg x

12x

4

5x 3

derivata della somma ( o differenza ) e linearità

ESEMPI 2

7x

6 = 5D x

D 6 x 3 2x 2

4x

6 = 6D x 3

D 5x

D

4

3x

7x =

4x 3

4

3D x

2

2D x 2

7D x =

4D x 3

6D 1 = 20x

4D x

6D 1 = 18x 2

12 x2

= f xg x ' = f'x gx

(9) D f x g x

3

7D x

6x

7

4x

4

7

f x g' x

derivata del prodotto

ESEMPI D x2

10 x2 D 2x

2x 2 D 3x 3 x92

45x 4

1 5x 2

5x2

4x 3 x2

|

= x2

1 5x

5 = 15x2 = 2x

2x

2

x2

|

3 x2

4 x23

72x 2

f x (10) D gx

= 3x 3

4 4

x33

|

2

= 2x 5x

2

x2

= 2 x2

2x

1 5 =

4x 5 2x

4x 4 x 2 4 x 6x 6 = 6x 2 4x 1 3x 2

1 5x

x4

2x

3 x2

2x

|

2x

3 2x

2 =

14x 6 |

4x 1 3x 2

3x 3

4

x4 1 x 6 = 27

2 x36

4x

1 3x 2

x2 12

4 16 x18

4

|

= 2 x24

x6 =

6x 16

=

f x g x

|

=

f' x g x gx

f x g' x 2

,

gx

0

derivata del quoziente

227

ESEMPI D

D

|

x x2

x x2 1

=

1

x x2

x2

4

x3 4 x

=

x

x3 4 x

1 x2 4 x2

=

x2 1

=

|

x 2x

x

2

2 x 3 12x 2 4 x

2x 4 x 2

=

2

4 x2

1

=

2

|

4 x2

x2

x3 1

4

1 x2

1 x2

=

2

x2 1 3x 2 4 x

=

2

4 x |

1 x2 D 4 x2

|

2

1

|

x3

1

2

1 x 2 2x

=

2

4 x2

6x 2

4 x2

(11) D f g x

= f ' ..... g ' ..... = f ' g x g ' x

derivata di funzioni composte

ESEMPI D

4x

3 =

2

4x

2

3

1 2

|

1

=

4x

2 D

2 x3 1

5

2

=

2 5 D

3

2 x3 1

5

2

7x

x

D 3x 2

x

(12) D e

f x

5

2 x3 1

5

3

2

=

x

7x

= 5 3x 2

= ef

x

x

f' x

5x 2

x

1 | 3

5 1

|

=

8x

= 2

2 |

2x 3 1

2 2x 3 1 5

=

5

4x

4x

=

2

4x2

3 3 5

2x 3 1

|

3

=

2

5 5 2x 3 1 2

3

3

|

12x

6x2 =

4x 2

2

3

1 2 x 3

=

3x 2

|

x

7x

1 1 3

x2

7x

|

=

2x 3 3 x2

= 5 3x 2

x

4

7 7x

2

6x 1

derivata di funzioni esponenziali

ESEMPI

D e D e

x2 5 x 2

3x 3

7x

2

= ex = e 3x

3

7x

3x

2

3

5x 7x

2 |

|

= ex

= e 3x

3

7x

2

5x 2

2x

2

7

9x

5

228

x3

D e

2

x

x3 3

3

= ex

1

2 x2

D e

3x 2

2x 2

4x

3x2

5

= e

5

24 x 2

5

3 x 3 2 x 1

1

4x

3x 2

2x 2 4x

e

2

x3 3

|

= ex

2

3x2 x2

1

1 x

2 x 2 4x 3x 2 5

2 x2

|

= e

x

2

1

3

= ex

2

2

3 1

x

4

3x 2 x

4 x 3x 2 5

4x

3x 2 5

x3

3 2x

2x 2

3x 2

5

4x 6x

2

2

1

6x 2

=

20x

2

3x

5

2

f' x f x

=

(13) D ln f x

derivata di funzioni logaritmiche

ESEMPI D ln 3 x2

=

2

1 3x

2

2

3x 2

=

2x2 4 x D ln 2 3x 5

3x 2 5 = 2 2x 4x

3

|

6x 3x 2

=

1 x3 2x 1

D ln x3 2 x 1

x

2

2

2x 2 4x 2 3x 5

3x 2 2 3 x 2x 1

|

1 =

2x |

3 x2 5 2 2x 4 x

=

24 x2 3x

20 x

2

5

2

=

2x

2

24 x 2

20 x

4x

3x 2

5

Osservazione: riteniamo opportuno richiamare l’attenzione dello studente su alcune proprietà dei logaritmi che si riveleranno particolarmente utili soprattutto per lo studio di funzioni: = log a b log a c

log a b c

con

a, b

= log a b log a c

con

a, b, c

= n loga b

con

a, b

0

e

a

1

e

n intero positivo

con

a, b

0

e

a

1

e

n intero positivo

log a a = 1

con

a

0

e

a

1

log a 1 = 0

con

a

0

e

a

1

log a 0 =

con

a

0

e

a

1

log a

b c

log a b n

log a

n

b

log b N =

=

1 n

log a b

log a N loga b

0

e 0

a e

1 a

1

formula del cambio di base con N intero positivo

229

Inoltre, sfruttando la definizione classica di logaritmo, è facile verificare l’equivalenza delle seguenti espressioni: z = log a b ;

z

a = b;

a log a b = b ;

In generale si è soliti indicare con ln o anche con log il logaritmo naturale o Neperiano, cioè in base e.

2. TABELLA DELLE DERIVATE PIÙ COMUNI Riportiamo qui di seguito una tabella riassuntiva delle derivate di alcune funzioni elementari, scrivendo a sinistra la funzione e, nella stessa linea, a destra, la sua derivata: y = c

y' = 0

y = x

y' = 1

y = x n, n

y ' =nx n

y = x , y =

y =

y' =

e x0

y' =

x n

xm , n

x

1

1 2

x m

y' =

m

1

n

n

xn

y = sinx

y' = cosx

y = cosx

y' =

sinx

y = tgx

y' =

1

y = ctgx

y' =

y = ex

y' = e x

y = a x, a

1 = sin2 x

1 cotg 2 x

y' = x x 1 lnx

y = xx

y = log a x , x

2 = 1 tg x

y' = a x loga

0

y = lnx, x

2

cos x

m

y' = 1 x

0 0, a

0, a

1

y' = 1 loga e x

230

y = arcsinx, y = arccosx, 0

y 2

1

y' =

2

x2

1

1

y' =

y

1 x2

y = arctgx

y' =

1 1 x2

y = arcctgx

y' =

1 1

x2

Riportiamo adesso un elenco di derivate di funzioni elementari ottenuto dalla tabella precedente sostituendo alla variabile indipendente x una certa funzione f x di cui si conosca la derivata ed applicando poi la regola di derivazione delle funzioni composte:

y =

f x

y =

n

n

f x

m

f' x

f' x

y' =

f x

f x

2

y =

n 1

y' = n f x

m

y' = n

n

n m

f x

y = sin f x

y' = cos f x f ' x

y = cos f x

y' =

sin f x f ' x

y = tg f x

y' =

1 f' x cos f x

y = ctg f x

y' =

y = arcsin f x

y' =

2

1 f' x sin f x 2

1

y = arccos f x

f' x 2

f x

1

y' =

f x

1 y = arcctg f x

f' x

1

y' = 1

y = arctg f x

2

f x

1

2

f' x

1

y' = 1

f x

2

f' x

231

y = ef

x

f y' = e

x

y = af

x

y' = a

f x

f' x ln a f ' x

y = ln f x

y' =

1 f' x f x

y = log a f x

y' =

1 logae f ' x f x

y' =

f x

y =

f x

g x

g x

g ' x log f x

g x f x

f' x

232

ESERCIZI PROPOSTI Calcolare le derivate delle seguenti funzioni polinomiali: y = 3x 2 + 1

[6x ]

y = 5x + 7

[5]

y = 2x

[2]

5

y = 3x 2

6x + 4

y = 4x 3

2x 2 + 5x

y = 4x 2

1

[6x [12x 2

3

6]

4x + 5] [8x ]

y = 1 + x + x2

[1 + 2x ]

y = x3

2x

[3x 2

y = 3x

1

2] [3]

y = 4x 2

[8x ]

y = 4x 2 + 5

[8x ]

y = x 5 + 4x 2

[5x 4 + 8x ]

y = x 3 + 2x 2 + 1

[3x 2 + 4x ]

y = 3x 4

5x 3 + 4x

y = 8x 5

24x 3 + 7

y

1 2 x 2

1 3 x 3

5x 3 4

[6x 2 + 18x + 7]

1)

[15x 2 + 4x

1)(5x + 2)

7x 2 2

72x 2]

[x + x 2 + 5]

y = (x 2 + 1)5 y

15x 2 + 4]

[40x 4

5x 9

y = (2x + 3)(x 2 + 3x y = (x 2

[12x 3

7

5]

[10x (x 2 + 1)4] 3x 5

y = x (x – 1)3 y = (1 + x 2)(2x – 5) y = (2x – 1)2(3 – 7x )5 y = (2x + 3)(x 2 + 3x – 1) y = (1 – 2x 2)(3x + 1)

15 2 x 7x 4

9 [

(4x-1))(x

[6x 2

3 5

1)2]

10x + 2]

[(2x – 1)(3 – 7x )4( 98x + 47)] [6x 2 + 18x + 7] [– 18x 2 – 4x + 3]

233

y = (3 – 2x – x 2)(x 4 – 2x 2)

[2x (– 3x 4 – 5x 3 + 10x 2 + 6x – 6)]

y = x 2(4 + x )(5x + 1)

[x (20x 2 +63x + 8)]

y = (8x – 1)10

[80(8x – 1)9]

y = (x – 1)2(x – 2) y = (5 + x 3)(1 – 2x – 4x 3)2

[(x – 1)(3x – 5)] [(1 – 2x – 4x 3)(– 36x 5 – 10x 3 – 117x 2 – 20)]

y = (1 – 3x )4(1 + x )

[(11 + 15x )(3x – 1)3]

y = (2 – x )2(x 3 + 2x )

[(2 – x )(– 5x 3 + 6x 2 – 6x + 4)]

y = (x – 2)3(x + 1)2

[(x + 1)(x – 2)2(5x – 1)]

y = (x 2 + x + 1)3(x – 1)4

[(x 2 + x + 1)2(x – 1)3(10x 2 + x + 1)]

y = (x 6 + 1)(3x + 1)8

[6(3x + 1)7(7x 6 + x 5 + 4)]

y = (x 2 + 2x – 3)3(4 – x 2)7

[2(12 + 33x – 17x 2 – 10x 3)(x 2 + 2x – 3)2(4 – x 2)6]

y = 2(x + 2)2(x 2 + 4x – 3)

[4(x + 2)(2x 2 + 8x + 1)]

y = x 2(x 4 + 1)3 + 3x (x 2 + 1)]

[2x (x 4 + 1)2(7x 4 + 1) + 3(3x 2 + 1)]

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni razionali fratte: y

5

5

x 1

x 1

y

x 1 2x

y

x 3 x 4

y

y

y

2x 3 3x 4 x 1 x 3 3x 4 2 x 1

2

1 2x2

1 2

x 4 1

2

3x 4 4

2

x 3

x 5 3x x2 1

2

234

y

y

y

y

y

2x

1 x

2

1

x

4 x2 1

2

x

3x 1 x 1

1 x

2

x

2

3x 2 5 2 x 1

2x 2 2 x 1

4x x

2

4x 5x 3 2 x 6x 5

19x 2

y

3x 2 2 x 3 2 x 2x 1

4 x2

2

1

2

34x 7

x 2 6x 5

2

3x 2

x 2 2x 1

2

1

...