Esercizi Derivate PDF

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Esercizi per l'esame...

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ESERCIZI SULLE DERIVATE Esercizio 1 Calcoliamo le derivate delle seguenti funzioni:

  D 4x  8x  3x   20x  24x  3 D x  e   3 x  e  x  e  3 x  x  e  x  e  D x  e x  x  e Dx  3x  e x  x  e 2 x   D   x x    x 3x  e x  x  e 2  3x  xe  2x  2e  x  2  x e 

D 8x 3  2x  8  3x 31  2  24x 2  2

I)

5

II) III)

3

3

2

x

3

IV)

4

x

3

x

2

3

x

x

2

2

2

3

x

x

3

2

x

2

x

2

3 2

3

x

3

3 1 2



x

x

3

x3

 x   D x   32 x

3

4

x

3

x3

D

x

2 2

2

V)

3

x3

3 21 3 x  x 2 2

 Calcolate le seguenti derivate: 5 VII) D 3 x  2x





 x 5  3x   VIII) D  1 x    Esercizio 2

Calcoliamo le derivate delle seguenti funzioni composte: I)

D 4 x  1

3

Questa funzione è funzione composta delle seguenti due funzioni: 3 y x   4x  1 e z y   y essendo infatti z y x   4 x  13. Applicando la regola di derivazione della funzione composta, si ha che: 3  D 4 x 1  z  y   x   z  y   y  x   z y x   y x . Poiché z y   D z y   D y 3   3y 2 e y x   D  y x   D 4 x 1   4 , risulta:

3 2 D  4x  1  z  y x  y  x  3 y x  4 e quindi, essendo y x   4 x  1 , si ottiene:

D 4 x  1  34 x  1  4 . 3

2



  

II)

D x 2  4x  1   D x 2 4x  1   x 2  D 4x  1   2x  4x  1  x 2  34x  1  4

III)

2 2  x   x   x   x  x  1  x  2x  x   x 1 D 2 3    3 2  D 2   3 2    2 2 2  x 1   x  1   x  1   x  1  x  1  x2  1 x2  1

IV)

D ex

V)

D ex

3

3

3

2

3

3

2

2



    e  2

 

x2

2



  D x 2   e x   2 x

 

 2ex

2

21

2

 

D e x  2e x  e x  2e 2 x

Si noti che questa derivata poteva venire calcolata anche nel modo seguente:





 

D ex

2

   

 D e 2 x  e 2 x D2 x   2 e 2 x

 Calcolate le seguenti derivate:



  

2 XII) D e x 1

XIII) D 3 x  2

Esercizio 3

Si calcolino la seguente derivata:

1 1  3 x 3x

I)

D log 3 x 

II)

D log 4x 3 

 

3 1  4  3  x 31  3 x 4x

Esercizio 4

Calcoliamo le seguenti derivate:





1 2

I)

D 1 x 2  D 1 x 2

II)

x 1 x 2 1  D 1 D x 1 x 2 1

1

 1 2



1 1 x2 2 1

x2

1



1 1 2



x  1  x  1 x 1 1 2

1 2

1 2



 D 1  x2 

2

1 2

1

x2

1



1 1 x 2 2



1

2

x

 2x 

1

1 x 2 1

1  1 x 2  1 x 2 1  x 2  2 1 2 x2 1





x



1



x 1

2...