Derivate - teoria e formule PDF

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Riassunti...

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1. IL RAPPORTO INCREMENTALE Definizione: data una funzione y = f(x), definita in un intervallo chiuso [a, b], e due numeri interni all’intervallo, il rapporto incrementale è:

,

→ Il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare (m) della retta secante passante per [a,b] → Infatti:

→

→

Questo perché:

Lo si può provare semplicemente guardando il grafico:

2. DERIVATA E DERIVABILITÀ Nel grafico, con la tangente.

. Più

, più

si avvicinerà a

, fino a che i la retta secante coincide

Ne deriva che:

→

→

Se questo limite esiste ed è finito, la funzione si dice derivabile nel punto di ascissa assume prende il nome di derivata.

, e il valore che il limite

Perciò

→

Possiamo anche affermare che la funzione è derivabile nel punto di ascissa retta tangente.

se in quel punto passa solo 1

3. LE DERIVATE FONDAMENTALI Sono le derivate fondamentali quelle immediate da sapere a memoria, che si possono dimostrare applicando la formula

.

Queste sono:

Grafico derivata funzione costante

4. LE DERIVATE ELEMENTARI 1. Derivata della funzione potenza

Data la funzione

, la derivata sarà

2. Derivata delle funzioni logaritmiche ed esponenziali

3. Derivata delle goniometriche: seno e coseno

5. LE REGOLE DI DERIVAZIONE 1. Derivata della somma algebrica di funzioni

2. Derivata del prodotto di una costante per una funzione

3. Derivata del prodotto di funzioni

4. Derivata del quoziente di funzioni

5. Derivata della funzione composta Si parla di funzioni potenza, funzioni irrazionali e funzioni logaritmiche

6. ESEMPI PRATICI 1. Derivata della somma algebrica di funzioni

2. Derivata del prodotto di una costante per una funzione

3. Derivata del prodotto di funzioni

4. Derivata del quoziente di funzioni

5. Derivata della funzione composta

7. PUNTI DI NON DERIVABILITÀ’ La funzione può essere continua e derivabile. Se una funzione è derivabile, allora è anche continua. (ma non viceversa)

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ’ 1. Punto angoloso In questo punto, la derivata destra e sinistra in esistono, sono diverse tra loro e almeno una delle due è un valore finito. Geometricamente: esistono due tangenti passanti in (una a destra e una a sinistra).

Derivata da destra=derivata da sinistra Quello negativo: 2° e 4° quadrante Quello positivo: 1° e terzo

2. Cuspide Sia la derivata destra che sinistra tendono a verticale.

Una delle 2 derivate (destra) è infinita

, ma con segni opposti. La tangente nel punto

è

3. Flesso a tangente verticale La derivata destra e anche sinistra in sono infinite e hanno lo stesso segno: è dove avviene il cambio di concavità di una funzione → Ascendente o discendente...