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Apuntes de la Ley de la gravitación universal...

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224 Física I • Unidad III

Fuerza de gravedad El fenómeno de que las cosas puedan caer al suelo al ser liberadas lo conocemos casi desde que nacemos. Una “fuerza invisible” atrae a todos los cuerpos hacia la superficie de la Tierra. A veces pensamos que esa fuerza es demasiado molesta, ya que nos impide flotar por los aires a nuestro antojo (uno de los más grandes deseos del ser humano desde tiempos inmemorables) o porque nos mantiene atados a un mismo sistema solar. La realidad es que si no existiera la fuerza de gravedad nuestro mundo sería totalmente distinto y es probable que ni siquiera existiera. No habría aire, debido a que la atmósfera habría escapado y seguramente la Tierra no sería redonda. La fuerza de gravedad es una fuerza que se presenta entre dos cuerpos debido a su masa. La ley de la gravitación universal dice que todos los cuerpos se atraen entre sí debido a su masa, (Figura 6.49).

sientes, ya que es la que te hace regresar a la superficie terrestre cuando saltas, tal parece que la Tierra es el único cuerpo conocido que tuviera gravedad.

Ley de la gravitación universal Isaac Newton unió la mecánica terrestre de los objetos que se mueven por la superficie de la Tierra, o que caen a la misma, y la mecánica celeste de los planetas que giran alrededor del Sol, y demostró que ambas están regidas por la ley de la gravitación universal, la cual publicó en 1668 en sus Principios matemáticos de filosofía natural. La ley de la gravitacional universal establece que: Toda partícula en el Universo atrae a otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m1 y m2 y están separadas por una distancia r, la magnitud de la fuerza gravitacional que existe entre ellas está dada por: Gm1m2 F r2 donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor en el SI es 6.67 ⫻ 10-11 N · m2/kg2. Es importante señalar que las fuerzas gravitacionales entre dos partículas son un par acción-reacción. La primera partícula ejerce una fuerza sobre la segunda, que se dirige hacia la primera a lo largo de la línea que las une. De igual forma, la segunda partícula ejerce una fuerza sobre la primera, que se dirige hacia la segunda. Estas fuerzas son de igual magnitud pero de sentidos contrarios (Figura 6.50).

Figura 6.49 Todos los cuerpos poseen gravedad y se atraen entre sí debido a sus masas. Las fuerzas con que la Tierra y la Luna se atraen son de magnitudes iguales pero de sentido contrario.

¿Pero cómo es posible esto, si nosotros no nos sentimos atraídos unos por otros? Pues sí, en este momento tú estás siendo atraído por cada uno de tus compañeros, por este libro y por tu banca. Lo que pasa es que esa fuerza es tan pequeña que no la notas. La Tierra te atrae de igual manera, pero debido a que su masa es muy grande en comparación con la de tus compañeros y objetos que te rodean, dicha fuerza de atracción sí la

r Figura 6.50 La fuerza F1 ejercida sobre m1 debido a m2 es r de igual magnitud, pero de sentido contrario a la fuerza F2 ejercida sobre m2 debido a m1.

Capítulo 6 • Leyes de Newton 225

La constante gravitacional G no se debe confundir con la aceleración de la gravedad g, ya que la primera 3 2 tiene las dimensiones L /MT y es una escalar, mientras que la segunda es una magnitud vectorial que tie2 ne las dimensiones L/T , la cual no es ni constante ni universal. Al no depender G del medio, se ha comprobado que la fuerza entre dos partículas permanece inmutable independientemente del medio en que estén inmersas. Otro hecho que debemos destacar es cómo se comporta la fuerza gravitacional de una masa esférica de tamaño finito como la Tierra sobre una partícula próxima a dicha esfera: es como si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en su centro. Por ejemplo, la fuerza ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa m en la superficie tiene la magnitud:

F

GmmT

Problema ejemplo 6.13 Calcula la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre una persona de 80 kg que se encuentra sobre la superficie terrestre. Solución Si la masa de la Tierra es mT = 5.98 ⫻ 1024 kg y el radio medio de la Tierra es rT = 6.37 ⫻ 106 m, entonces la fuerza de atracción gravitacional entre la persona y la Tierra se obtiene de la siguiente ecuación: GmmT F rT 2 Al sustituir valores, se obtiene:

rT 2

donde: mT = masa de la Tierra rT = radio de la Tierra. La ley de la gravitacional universal se conoce como una ley del inverso al cuadrado debido a que la magnitud de la fuerza varía con el cuadrado del inverso de la separación de las partículas; es decir, si la distancia entre dos partículas aumenta al doble, la fuerza disminuye cuatro veces, pero si la distancia entre las partículas aumenta al triple, la fuerza disminuye nueve veces, y así sucesivamente (Figura 6.51).

6 .67 10 −11 N m2 / kg 2

80 kg 5 .98 1024 kg

F 6 6. 37 10 m

2

F = 786.4 N Este valor de la fuerza de atracción gravitacional es igual al peso de la persona en un lugar de la Tierra donde g = 9.82 m/s2.

Como la fuerza de atracción gravitacional entre un cuerpo de masa m en la superficie de la tierra es igual al peso de éste, entonces: W=F o sea mg=

GmmT rT2

Simplificando g=

GmT rT2

De esta ecuación se deduce que la aceleración de la gravedad depende de la masa y el radio de la Tierra. Figura 6.51 Al aumentar la distancia entre las partículas, la fuerza disminuye como el cuadrado de la distancia.

226 Física I • Unidad III

Problema ejemplo 6.14 La fuerza de atracción gravitacional entre dos partículas es de 480 N. Si la distancia entre ellas aumenta cuatro veces más, ¿qué fuerza experimentará cada partícula? Solución De la ley de la gravitacional universal:

F

Gm 1m 2

r2 como se conoce la fuerza entre las dos partículas F1 se tiene entonces: Gm 1m 2 4 80 N (1) r12 Al aumentar la distancia entre ellas (r2 = 4r1), la nueva fuerza entre ellas F2 se obtiene de: Gm1 m2 F2 2 4 r1 Reordenando: 1 Gm1 m2 (2) F2 16 r12 Sustituyendo el valor de la fuerza de la ecuación (1) en la ecuación (2) se tiene: 1 F2 480 N 16 F2 = 30 N O sea que la fuerza entre las partículas disminuye dieciséis veces, cuando la distancia entre ellas aumentó cuatro veces.

Fuerza gravitacional entre dos cuerpos de un kilogramo De acuerdo con la ley de la gravitación universal entre dos cuerpos, debido a sus masas existe una fuerza de atracción entre ellos. Si estos cuerpos son dos pesas de 1 kg separadas una distancia de un metro sobre una mesa, como se muestra en la figura 6.52, éstas deberían desplazarse hasta juntarse por la acción de la fuerza gravitacional. Pero, ¿qué es lo que se observa? Que las dos pesas permanecen inmóviles separadas a una distancia de un metro. Entonces, ¿es incorrecta la ley de la gravitación universal? Figura 6.52 Dos pesas de un kilogramo sobre una mesa.

Capítulo 6 • Leyes de Newton 227

Para responder esta pregunta realicemos los siguientes cálculos: 1. Determinemos primero la fuerza de atracción gravitacional entre dichos cuerpos:

F

Gm 1m 2 r2

6.67 10 −11 N m2 / kg2 1 kg 1 kg 1m

2

F = 0.000 000 000 0667 N

Como se observa, la fuerza de atracción entre dichas pesas es muy pequeña. 2. Determinemos ahora la fuerza de fricción estática máxima entre las pesas y la superficie de la mesa, ya que esta fuerza es la fuerza máxima que se opone al movimiento de las pesas. Si esta fuerza de fricción es menor que la fuerza de atracción gravitacional entre las pesas, éstas deberán moverse, si por el contrario, la fuerza de fricción estática máxima puede tener un valor igual o mayor que la fuerza de atracción entre ellas, las pesas permanecerán inmóviles.

Se observa que esta fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de atracción gravitacional. Esto quiere decir que, para mover las pesas sobre la superficie, la fuerza de atracción gravitacional debería ser igual o mayor de 4.41 N. Por lo tanto, la fuerza de fricción estática corresponde a la fuerza de atracción gravitación con una magnitud igual a 0.000 000 000 0667 N. Sin embargo, si estas pesas se encontraran en el espacio separadas una distancia de un metro, éstas se moverían la una sobre la otra, aunque lentamente, ya que la fuerza de atracción gravitacional entre ellas es mínima. En síntesis, la fuerza de fricción es la responsable de que las dos pesas no se muevan y no es porque la ley de la gravitación formulada por Newton sea incorrecta. Es importante señalar que la razón de que la fuerza de atracción gravitacional entre las dos pesas de 1 kg sea pequeña, se debe principalmente al hecho de que la constante de gravitación universal es muy pequeña comparada con las masas involucradas. En cambio, si consideramos la fuerza de atracción entre una pesa de 1 kg y la Tierra, cuya masa es enorme, esta fuerza deja de ser despreciable, por lo que la pesa de 1 kg se moverá hacia la Tierra.

La fuerza de fricción estática máxima la calculamos a partir del análisis de las fuerzas que actúan sobre una de las pesas (Figura 6.54).

De la definición de fuerza de fricción estática: fs máx = ␮sN donde ␮s es el coeficiente de fricción estática entre la pesa y la mesa. Si N = W = mg, entonces: fs máx = ␮smg Suponiendo que ␮s = 0.45, se tiene: fs máx = (0.45)(1 kg)(9.8 m/s2) fs máx = 4.41 N

Descubre la física No en todas las ciudades los atletas en las competencias tienen que hacer el mismo esfuerzo. Existen ciudades que en el terreno deportivo es más fácil batir un récord de atletismo. Por ejemplo, en la ciudad de Melbourne es más fácil vatir un récord olímpico que en la ciudad de Helsinki, pues al encontrarse a diferente latitud, el valor de g en Helsinki es mayor que en Melbourne. Ante esto, el atleta pesa menos en Melbourne, lo que le permite dar saltos de mayor altura y longitud con el mismo esfuerzo, así como lanzar la jabalina a mayor distancia.

Bloque III: Las leyes del movimiento ¡útiles y prácticas!

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153

Saberes requeridos para el desarrollo de las competencias disciplinares básicas 3.4 Ley de la Gravitación Universal Una de las leyes más famosas de Isaac Newton es la Ley de la Gravitación Universal. Cuenta la leyenda que Newton descansaba al pie de un manzano, cuando una manzana cayó y lo golpeó en la cabeza, surgiendo ahí la idea de la atracción que ejercen los planetas sobre los cuerpos, luego determinó que no era sólo sobre los cuerpos, sino también sobre otros planetas, que aunque no tenían un contacto físico entre ellos, se atraían con una fuerza invisible, llamada Fuerza de campo (descubierta más tarde por Michael Faraday). Después de muchas observaciones encontró que los cuerpos se atraían directamente con respecto a sus masas y que si se alejaban mucho, la fuerza se reducía más y más, por lo que estableció su ley: “La fuerza de atracción de dos cuerpos cualesquiera es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos”. Expresada en forma matemática, esta ley establece: Fα

m1 m2 r2

Después de diversos experimentos, encontró la constante de proporcionalidad, a la que denominó Constante de Gravitación, G. G = 6.67 × 10−11

Nm2 kg 2

Transforma esta constante al Sistema cegesimal y al Sistema inglés. Sistema cegesimal

Sistema inglés

154

Q

Física I

El orden que nosotros conocemos como Sistema Solar se debe principalmente a esta fuerza, debido a que las atracciones de cada planeta con los demás generan el equilibrio y provocan la formación de las órbitas elípticas alrededor del Sol.

Es importante tener una base de referencia para poder trabajar con los planetas, es decir, conocer su masa, su distancia a la Tierra o su distancia entre sí.

Planeta

Periodo de traslación (años)

Masa (kg)

Distancia al Sol (km)

Mercurio

0.24

3.588 × 1023

57,910,000

Venus

0.62

4.904 × 1024

108,200,000

24

Tierra

1.00

5.98 × 10

149,600,000

Marte

1.88

6.578 × 1023

227,940,000

Júpiter

11.86

1.902 × 1027

778,330,000

Saturno

29.46

5.687 × 1026

1’429,400,000

Urano

84.01

8.731 × 1025

2’870,990,000

1.029 × 1026

4’504,300,000

1.99 × 1030

0

Neptuno

Sol

164.8

Bloque III: Las leyes del movimiento ¡útiles y prácticas!

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Aplicando las conclusiones de Newton

Ejemplo 1 Imaginemos que un cometa de tan sólo 1 × 1020 kg se acerca a la Tierra, y se encuentra a una distancia de 400,000 km de la misma. ¿Con qué fuerza se estarán atrayendo? De la tabla anterior, conocemos que la Tierra tiene una masa de 5.98 × 1024 kg, además, la constante es universal y equivale a G = 6.67 × 10−11

Nm2 kg2

Matemáticamente, la fórmula queda como: F =G

m 1m 2 r2

Sustituyendo directamente, tenemos:  × 20 kg  (1 10 )(5 .98 × 10 24 kg ) = 2.49 × 1017 N F = (6 .67 × 10− 11 Nm 2 / kg 2 )  8 2   4× 10 m)

Ejercicio 1 para meta 13 Reto de aprendizaje ¿Crees tú que la fuerza determinada en el ejercicio anterior es suficientemente grande para causarle algún daño irreversible a la Tierra? Argumenta con el uso de fórmulas tu respuesta.

156

Q

Física I

Ejemplo 2 ¿A qué distancia se encuentra la Tierra de la Luna, si la masa de la Luna es de 7.35 × 1022 kg y se atraen con una fuerza de 2.0 × 1020 N? En este caso debemos despejar la distancia r de la fórmula de la Ley de Gravitación Universal, por lo que nos queda: r2 =

Gm1 m2 F

Si quitamos el cuadrado nos quedará como raíz cuadrada y podremos proseguir a sustituir los valores. r= Sustituyendo tenemos: ( 6. 67 × 10−11 r=

Nm2 22 24 )( 7.35 × 10 kg)(5.98 × 10 kg) kg2 2 × 1020 N

= 3.83 × 108 m

Si este valor que encontramos lo comparamos con el valor real de la distancia de la Tierra a la Luna, que es de 384,400 km, podemos observar que el error es mínimo; esto se debe a la cantidad de decimales que se utilizaron en los cálculos del problema.

Ejercicio 2 para meta 13 Reto de aprendizaje 1. Dos elefantes de 10 toneladas cada uno se encuentran separados una distancia de 1.5 metros, ¿con qué fuerza se atraen?

Bloque III: Las leyes del movimiento ¡útiles y prácticas!

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2. ¿Con qué fuerza se atraen dos electrones de masa 9.11 × 10−31 kg si se encuentran separados a una distancia de 3.5 Å?

3. ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra un satélite artificial de 8 000 kg si se atrae a ésta con una fuerza de 6.5 × 104 N?

4. Calcula la fuerza con la que se atraen todos los planetas con el Sol, posteriormente realiza un diagrama de cuerpo libre tratando de interpretar el equilibrio del Sistema Solar. Finalizada la actividad comparte con uno de tus compañeros tus hallazgos.

Meta 14

Instrucciones (5.1)

Argumento el movimiento de los planetas a partir de las leyes de Kepler. (Valor %)

Me apoyaré en el material escrito en el libro y, si es necesario, de información adicional que el docente me provea o sugiera; además, tendré cuidado de seguir el siguiente procedimiento: 1. En el espacio siguiente escribiré las leyes que explican el movimiento de los planetas de acuerdo con las leyes de Kepler (5.3): Leyes de Kepler que explican el movimiento de los planetas Primera Segunda Tercera 2. Desarrollaré el ensayo solicitado para la meta 14 (utilidad de las leyes de Kepler). 3. Al finalizar el ensayo, realizaré la verificación de nuevos conocimientos o puntos de vista que estoy integrando a mi acervo (6.3). En esta meta estoy integrando a mi acervo Los nuevos conocimientos

Los nuevos puntos de vista

Escala valorativa para evaluar mi desempeño en la meta 14 Con las instrucciones del docente, revisaré mi desempeño en la meta decimocuarta para establecer qué debo mejorar o consolidar: (El docente puede organizar y dirigir un ejercicio de autoevaluación o coevaluación y revisar los resultados o un esquema compuesto.) Solicitaré al docente que me indique los valores que pondré entre paréntesis en la escala. Meta 14 Argumento el movimiento de los planetas a partir de las leyes de Kepler (Valor %) 411

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas.

511

Sigue instrucciones para alcanzar un objetivo de manera reflexiva.

512

Sigue procedimientos para alcanzar un objetivo de manera reflexiva.

521

Ordena información de acuerdo con categorías.

523

Ordena información de acuerdo con relaciones.

Muestra interés ( 1 )

En aprendizaje ( 2 )

En consolidación ( )

Modelo a seguir ( )

Promueve el aprendizaje ( )

611

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico.

711

Define metas.

712

Da seguimiento a sus procesos de construcción del conocimiento.

821

Aporta puntos de vista con apertura.

822

Considera los puntos de vista de otros de manera reflexiva.

831

Asume una actitud constructiva dentro de distintos equipos de trabajo.

5.3

Identificando los sistemas, reglas o principios que subyacen una serie de fenómenos.

6.3

Reconociendo mis prejuicios y modificando mis puntos de vista al conocer nuevas evidencias y así integrar nuevos conocimientos a mi acervo.

Para ser evaluado solicitaré que me retroalimenten principalmente en los atributos 5.3 y 6.3 con la misma escala que venimos manejando: 1. Muestra interés. Está atento en las conversaciones del docente y de sus compañeros pero no aporta. Es pasivo. 2. En aprendizaje. Está atento en las conversaciones del docente y de sus compañeros. No aporta pero sus preguntas son inteligentes y consigue que se enriquezca el proceso. 3. En consolidación. Se involucra. Algunas veces aporta y pregunta, dialoga, conversa. 4. Modelo a seguir. Organiza, modera, integra y motiva al grupo a conseguir las metas del equipo. 5. Promueve el aprendizaje. Se interesa y agrega valor no sólo al trabajo del equipo sino a que cada uno consiga sus metas personales, apoyando y promoviendo. De acuerdo con la evaluación de mi meta, puedo decir que: Debo conservar las siguientes fortalezas

Debo poner atención en las siguientes áreas de oportunidad

Evaluación

+

% competencias clave

=

% competencias disciplinares

% total en la meta...