Leyes de kepler y la ley de gravitacion universal PDF

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investigacion completa con ejercicios sobre las leyes de kepler y la ley de gravitacion universal ...

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LEYES DE KPLER Y LEY GRAVITACIONAL UNIVERSAL

JULIETA MICHEL UGALDE GALAVIZ

Fisica 1

Las leyes de Kepler PRIMERA LEY DE KEPLER La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos. Matemáticamente, una elipse puede ser representada por la fórmula:

Dónde está el recto semilato, ε es la excentricidad de la elipse, r es la distancia del Sol al planeta, y θ es el ángulo a la posición actual del planeta desde su aproximación más cercana, vista desde el Sol. Así que (r, θ) son coordenadas polares. Para una elipse 0 < ε < 1 ; en el caso límite ε = 0, la órbita es un círculo con el sol en el centro (es decir, donde hay cero excentricidad). En θ = 0°, perihelio, la distancia es mínima.

En θ = 90° y en θ = 270° la distancia es igual a . En θ = 180°, aphelion, la distancia es máxima (por definición, aphelion es – invariablemente – perihelion más 180°)

El semieje mayor a es la media aritmética entre rmin y rmax:

r m −a=r m n P a= 2 1−ε ax

i

El eje semimenor b es la media geométrica entre rmin y rmax:

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El recto semilato p es la media armónica entre rmin and rmax:

La excentricidad ε es el coeficiente de variación entre rmin y rmax:

El área de la elipse es

El caso especial de un círculo es ε = 0, resultando en r = p = rmin = rmax = a = b y A = πr2.

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SEGUNDA LEY DE KEPLER Una línea que une un planeta y el Sol durante intervalos de tiempo iguales. El radio orbital y la velocidad angular del planeta en la órbita elíptica variarán. Esto se muestra en la animación: el planeta viaja más rápido cuando está más cerca del sol, y más despacio cuando está más lejos del sol. La segunda ley de Kepler establece que el sector azul tiene una superficie constante. En poco tiempo el planeta barre un pequeño triángulo que tiene la línea de base y la altura

y el área y por lo tanto la velocidad de área constante es:

EL área delimitada por la órbita elíptica es

Así que el período P satisface

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y el movimiento medio del planeta alrededor del Sol

satisface

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TERCERA LEY DE KEPLER Bajo la constante mirada de las leyes de Kepler se redactaron diferentes investigadores, por ejemplo, Claudio Ptolomeo, Nicolás Copérnico y Tycho Brahe, cuyos principales compromisos con el avance de la ciencia fueron haber obtenido estimaciones excepcionalmente exactas de los lugares de planetas y estrellas. Kepler, que era alumno de Tycho Brahe, aprovechó cada una de estas estimaciones para planificar su tercera ley. El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del eje semimayor de su órbita. Esto captura la relación entre la distancia de los planetas del Sol y sus períodos orbitales. Kepler enunció en 1619 esta tercera ley en un laborioso intento de determinar lo que él consideraba la “música de las esferas” según leyes precisas, y expresarla en términos de notación musical. Así que se le conocía como la ley armónica. Usando la Ley de la gravitación de Newton (publicada en 1687), esta relación se puede encontrar en el caso de una órbita circular estableciendo la fuerza centrípeta igual a la fuerza gravitacional:

Luego, expresando la velocidad angular en términos del período orbital y luego reordenando, encontramos la Tercera Ley de Kepler:

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Una derivación más detallada se puede hacer con órbitas elípticas generales, en lugar de círculos, así como orbitar el centro de la masa, en lugar de sólo la masa grande. Esto resulta en el reemplazo de un radio circular, , con el eje semi mayor elíptico a así como en el reemplazo de la gran masa M por M + m Sin embargo, dado que las masas de los planetas son mucho más pequeñas que el sol, esta corrección a menudo se ignora.

La fórmula completa correspondiente es: Donde M es la masa del sol, m es la masa del planeta, y G es la constante gravitacional, T es el período orbital y a es el semieje mayor elíptico.

Ley gravitacional

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El enunciado formal de esta ley newtoniana sostiene que: “La fuerza con que se atraen dos objetos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”. Esto significa que dos cuerpos cualquiera se atraen con una fuerza mayor o menor según su masa sea mayor o menor, y según la distancia entre ellos. Para formular esta ley, Newton dedujo que la fuerza con que dos masas se atraen es proporcional al producto de sus masas dividido por la distancia que las separa al cuadrado. Estas deducciones son el resultado de la comprobación empírica mediante la observación. La fórmula fundamental de la Ley de Gravitación Universal es la siguiente: F = | (G . m1 . m2) / r² | . r* En donde:      

F es la fuerza de atracción entre dos masas G es la constante de gravitación universal ( 6,673484.10-11 N.m2/kg2) m1 es la masa de uno de los cuerpos m2 es la masa de otro de los cuerpos r la distancia que los separa. r* es el vector unidad que indica la dirección de la fuerza.

Si se calculan las fuerzas atractivas de cada cuerpo (la fuerza que la masa 1 le hace a la 2 y viceversa), se tendrán dos fuerzas iguales en módulo y de sentido opuesto. Para obtener esta diferencia de signos, es necesario escribir la ecuación de la siguiente manera: F12 = | G . m1.m2 / (r11-r2)3 | . (r1-r2) Donde cambiando 1 por 2 obtenemos la fuerza para cada caso. Escrita de esta forma, el vector (r1-r2) da la dirección (el signo) correcto para cada fuerza.

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APLICA LO APRENDIDO PARA AMBAS LEYES. 1. Explica lo más importante para las leyes de Kepler.

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2.Describe lo que significa: a) Fuerza centrípeta. es cuando un objeto que tiene una trayectoria circular, por cuestión de fuerza ejercida por quien hace la acción tiene la sensación de que es llevado al interior del centro de la circunferencia b) Fuerza centrífuga. Entendemos la fuerza centrífuga como aquella fuerza aparente de una masa que la mueve hacia afuera cuando gira. 3.¿Como le explicarías a una persona la diferencia entre la masa y el peso de un cuerpo? La masa es la cantidad de materia que contiene un cuerpo y el peso es la acción que ejerce la fuerza de gravedad sobre el cuerpo

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4.Describe lo que significa la ley de la gravitación universal. es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. 5. Desarrolla el siguiente ejercicio con su respectivo procedimiento apoyándote de la fórmula matemática de la ley de la gravitación universal.

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a) Determina la fuerza gravitacional entre 2 personas de 63 kg y 82 kg respectivamente, si se encuentran separados 2 metros. DATO S

FÓRMULA Y DESPEJE

m1=63kg m2=82kg r=2m G=6.67x

F=Gm1m2

r

2

SUSTITUCIÓN

RESULTAD O

F=6.67x 10−11 (63) (82)

F= 8.61 x 10-8 N

2

(2)

−11

10

Resultado: La fuerza de atracción entre las dos personas es de 8.61 x 10 -8 N.

a) Un cuerpo de 20 kg. Se encuentra a 5 metros de distancia de otro cuerpo, y entre ambos existe una fuerza de atracción de 60 x 10-11 N. Calcula la masa del otro cuerpo.

DATO S

FÓRMULA Y DESPEJE

m1=20kg d=5m f=60 x 10-11 N

F=G*m1*m2

d2 m2=(F* d 2 ) (G*m1)

SUSTITUCIÓN

m 2 ) ¿¿ -11 2 (60 x 10 N m / kg 2

M2=(60 x 10-11 N(5

*20kg)

Resultado: La masa del cuerpo 2 es de 11.24 kilogramos.

RESULTAD O m2= 11.24 Kg....