.- Libro Resistencia de Materiales edicion PDF

Preview

Summary

Lima –1 Perú 2015 PROLOGO La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de oponerse a la rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformación y ...

Description

Lima –1 Perú 2015

PROLOGO La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de oponerse a la rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformación y estabilidad a la capacidad de mantener su condición original de equilibrio. Por lo general, los textos base de Resistencia de Materiales, son muy voluminosos y, principalmente, se centran en la descripción teórica, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje a través de trabajos domiciliarios e investigación, conducentes a un mejor dominio de la materia. El presente libro nació, después de comprobar las grandes dificultades mostradas por los alumnos en la realización de sus trabajos domiciliarios. Es por ello, que tomé el reto de escribir un libro, que haga más didáctico el proceso de estudio individual, describiendo, para ello, la teoría en forma sucinta, seria y con el rigor científico, resolviendo en forma detallada 155 problemas tipo, propiciando de manera más amena la convivencia con la Resistencia de Materiales. En el presente libro, se tratan temas que en la mayoría de programas de las universidades se analizan y que son muy importantes en la formación profesional de los ingenieros civiles. Como base se tomó la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Mecánica de Materiales en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas y Resistencia de Materiales en la Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego. En mi modesta opinión, el presente libro es único en su género, tanto en la forma de su descripción teórica, como en la forma de resolución de problemas; así como en su contenido, que no es una repetición de otros textos, editados anteriormente. El presente libro consta de 10 capítulos y bibliografía. En el primer capítulo se analizan estructuras determinadas e indeterminadas, sometidas a tracción y compresión, efectos de temperatura y errores de fabricación o montaje estructural. En el segundo capítulo se estudian los esfuerzos en los estados lineal, plano y espacial; así como la aplicación de la Ley de Hooke generalizada y las teorías o criterios de resistencia como forma de comprobación de destrucción de los materiales. En el tercer capítulo se analiza el efecto de torsión para estructuras determinadas e indeterminadas de sección circular y no circular; así como resortes helicoidales de paso pequeño. En el cuarto capítulo se analiza la flexión de vigas determinadas, calculando los esfuerzos normal y tangencial para vigas de uno y dos materiales, como es el caso de vigas de madera reforzadas con planchas de acero y vigas de concreto armado. En el quinto capítulo se calcula la pendiente y deflexión para vigas determinadas e indeterminadas por el método de la doble integración, método de los parámetros iniciales, método del área de momentos y método de la viga conjugada. En el sexto capítulo se estudian los métodos energéticos del trabajo virtual y teoremas de Castigliano, resolviendo armaduras, vigas, pórticos y arcos. En el sétimo capítulo se resuelven estructuras indeterminadas por la ecuación de los tres momentos para vigas continuas y método de las fuerzas para vigas continuas, pórticos y armaduras. 2

En el octavo capítulo se analizan los efectos de flexión desviada; flexión y carga axial; carga axial excéntrica; flexión, torsión y carga axial, comprobando la resistencia de los elementos estructurales sometidos a los efectos combinados. En el noveno capítulo se analiza la estabilidad de barras, sometidas a flexión longitudinal y el efecto combinado de flexión longitudinal y transversal. En el décimo capítulo se calculan los esfuerzos y deformaciones para estructuras sometidas a las cargas dinámicas de impacto. El presente texto está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y docentes que imparten los cursos de Resistencia de Materiales; así como a ingenieros civiles, postgraduandos e investigadores en el área de estructuras. Este libro se lo dedico a mis alumnos de Mecánica de Materiales de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas y Resistencia de Materiales de la Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego; quienes con sus consultas me motivaron a escribir el presente libro y con su energía renovada me permitieron culminar con éxito este trabajo. De manera muy especial, dedico el presente libro a mi cuñada Susana, por haber sido un digno ejemplo de lucha diaria por alcanzar los ideales familiares y desde lo alto, le pido siempre me guíe por el camino del éxito, para seguir aportando al desarrollo integral de la sociedad.

Ph.D. Genner Villarreal Castro [email protected] Lima, Julio de 2015

3

CAPITULO 1 TRACCION Y COMPRESION 1.1 DEFINICIONES Y DEPENDENCIAS PRINCIPALES En la figura 1.1 se muestra un caso sencillo de tracción y en la figura 1.2 el caso de compresión. En tracción y compresión, las fuerzas internas son elásticas y surgen en las secciones transversales de las barras. Las fuerzas internas son conocidas como fuerzas axiales o normales y se los denota por

Nx o N . P

x

L1

L

L1

L

a

a

a1

a1



 P

P

Fig. 1.1 P

P





a

a

L L1

a1

L1

a1

L

P

Fig. 1.2 La fuerza axial N x se determina por medio del método de las secciones, por la cual numéricamente es igual a la suma algebraica de las proyecciones sobre el eje longitudinal (OX) de las fuerzas externas, ubicadas a un lado del corte (figura 1.3). Se considera que las fuerzas axiales son positivas en tracción y negativas en compresión.

4

P2 P1

 X



P3 = P2 P2 P1



Nx = P1 + 2P2 cos



P3 = P2

Fig. 1.3 En las secciones transversales de las barras cargadas en tracción o compresión, solo surgen esfuerzos normales, los cuales se determinan por la fórmula 1.1.



Nx A

(1.1)

Donde:

A - área de la sección transversal de la barra Los signos para los esfuerzos normales son los mismos que para N x y las unidades de medida son

kgf / cm 2 , lb / p lg 2 o N / m 2 . Al alargamiento relativo en tracción (o acortamiento relativo en compresión) de la barra, se le conoce como deformación longitudinal y se determina por la fórmula 1.2.



 L

(1.2)

Donde:

  (L1  L) - alargamiento o acortamiento absoluto de la barra L

- longitud inicial de la barra

L1

- longitud final de la barra

A la deformación relativa de las dimensiones transversales de la barra, se le conoce como deformación transversal y se determina por la fórmula 1.3.

' 

a1  a a

(1.3)

Donde:

a - ancho inicial de la barra a 1 - ancho final de la barra

En tracción se considera que  > 0 , en consecuencia  < 0 y en compresión sucede lo opuesto. '

A las magnitudes  y  también se les conoce como deformaciones lineales. '

5

A la relación entre  y  se le conoce como coeficiente de deformación transversal o coeficiente de '

Poisson y su valor es adimensional, calculándose por la fórmula 1.4.

' 



(1.4)

El coeficiente de Poisson para materiales isótropos es 0    0,5 . Entre el esfuerzo normal y la deformación, existe una dependencia lineal, llamada Ley de Hooke y se lo determina por la fórmula 1.5.

  E

(1.5)

Donde:

E - módulo de elasticidad longitudinal o módulo de elasticidad de primer género La unidad de medida de E es la misma que para el esfuerzo normal.

El alargamiento o acortamiento absoluto, cuando A  const y N x  const , se determina por la fórmula 1.6.



NxL EA

(1.6)

Cuando N x y A varían por la longitud de la barra o una de estas magnitudes, entonces el alargamiento o acortamiento absoluto se determina por la fórmula 1.7.



N x dx EA x L

(1.7)

Para el caso de barras escalonadas o cuando la fuerza axial es constante en cada tramo analizado, se recomienda utilizar la fórmula 1.8, para determinar el alargamiento o acortamiento absoluto.

 in

i 1

N x ,i L i EiAi

(1.8)

Cuando A y N x son constantes, la energía potencial de deformación se determina por la fórmula 1.9.

N 2x L U 2EA

(1.9)

En el caso, que N x y A varíen a lo largo de la barra, entonces la energía potencial de deformación se determinará por la fórmula 1.10.

U

N 2x dx 2EA x L

(1.10)

Para el caso de barras escalonadas o cuando la fuerza axial es constante en cada tramo analizado, se recomienda utilizar la fórmula 1.11, para determinar la energía potencial de deformación.

U in

i 1

6

N 2x ,i L i 2E i A i

(1.11)

La condición de resistencia es:

N máx   A

 máx 

(1.12)

Donde:

 máx - esfuerzo normal máximo en la sección más peligrosa N máx - fuerza axial máxima en la sección más peligrosa

 A

- área de la sección transversal más peligrosa - esfuerzo normal permisible o admisible

Cuando se trata de barras escalonadas, se recomienda analizar cada tramo, ya que el esfuerzo

N

normal máximo puede surgir donde la fuerza axial no es máxima, pero el área la menor. Para determinar la fuerza axial permisible

o el área mínima requerida A min , se obtienen

despejando dichos valores de la fórmula 1.12. 1.2 ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS PROBLEMA 1.1 Una varilla de acero de 100cm de longitud y 5mm de diámetro está sometida a

tracción y se mide que su alargamiento es 0,3mm y el incremento de volumen V  2,28mm . 3

Determinar el coeficiente de Poisson  . Solución:

Se sabe que para barras prismáticas se cumple:



N x L PL  EA EA

Donde:

P - carga de tracción a la que está sometida la varilla Reemplazamos valores y obtenemos:

 E. .5 2.10 6 4 P.1

 0,3.10 3

De donde:

P  5,89.10 9 E Luego, aplicamos la fórmula de variación de volumen:

V  Vo

 (1  2) E

Donde:

Vo - volumen inicial Reemplazamos valores:

2,28.10 9  A.L. 7

P (1  2) EA

2,28.10 9  1.5,89.10 9.(1  2) De donde:

  0,306

PROBLEMA 1.2 Se diseñará un tirante de acero para resistir una fuerza de tracción de 50 toneladas, siendo la longitud del tirante 50 metros y la sección transversal rectangular con proporción de lados en relación 2/3. Considerar que el esfuerzo de fluencia del acero es  y  4200kgf / cm , el factor 2

de seguridad n  2 , el módulo de elasticidad E  2,1.10 kgf / cm 6

  0,25 . Determinar las deformaciones longitudinal y transversal.

2

y el coeficiente de Poisson

Solución: Esquematizamos al tirante sometido a la fuerza de tracción y su sección transversal. SECCIÓN TRANSVERSAL

P = 50T

P L = 50m

2a

Fig. 1.4 Se sabe que:

 

3a

y n



4200  2100kgf / cm 2 2

  

Como, por condición de resistencia se debe de cumplir que:

50.10 3  2100 6a 2 De donde.

a  1,99cm

Asumimos:

a  2cm

En consecuencia, la sección transversal será:

6cm

4cm

Fig. 1.5

8

Calculamos el alargamiento:



PL 50.10 3.50.10 2   4,96cm EA 2,1.10 6.24

La deformación longitudinal será



 4,96   9,92.10 4 2 L 50.10

La deformación transversal lo obtenemos a través de Poisson:



' 

 '     0,25.9,92.10 4  2,48.10 4 PROBLEMA 1.3 Se tiene la siguiente estructura, cuyo cimiento y sobrecimiento está construido con concreto ciclópeo, el muro de albañilería con ladrillo sólido macizo y la viga de concreto armado. Sabiendo que el peso de la estructura es de 9142kgf, determinar el radio “r” del agujero circular y la capacidad portante del terreno. MATERIAL

PESO ESPECIFICO

Concreto ciclópeo

2300 kgf/m

3

Muro de albañilería sólido – macizo

1800 kgf/m

3

Concreto armado

2400 kgf/m3

0,35 m 0.25 m

VIGA

2m

r

0,5 m

SOBRECIMIENTO 0,8 m

CIMIENTO 0,5 m

4m

Fig. 1.6

9

Solución: Calculamos los pesos de cada parte de la estructura, conocido como metrado de cargas. En este caso se trata de la carga muerta, es decir, el peso propio de la estructura.

Pcimiento   c .A cimiento .h cimiento  2300.0,5.4.0,8  3680kgf

Psobrecimiento  2300.0,5.4.0,25  1150kgf

Pmuro  1800.0,25.(4.2  .r 2 )  450.(8  .r 2 )kgf

Pviga  2400.0,25.0,35.4  840kgf

Sumamos todos los pesos y obtenemos:

3680  1150  450.(8  .r 2 )  840  9142

r  0,3m

Ahora, calculamos la capacidad portante del terreno, que viene a ser la resistencia mínima del suelo:

qa 

P A contacto



9142  4571kgf / m 2  0,457kgf / cm 2 (SUELO FLEXIBLE) 4.0,5

PROBLEMA 1.4 Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el

acortamiento de la barra mostrada, si E  2.10 MPa y A  2cm . 5

2

B P3= 30KN

A

0,4 m

P1= 10KN

C P2= 20KN 0,4 m

D

0,2 m

Fig. 1.7 Solución:

10 +

N 10

20

(kN)



50 + 50

(MPa)

100

Fig. 1.8 Previamente graficamos el diagrama de fuerza axial o normal y determinamos los esfuerzos para cada tramo de la barra. 10

 AB 

N AB 20.10 3   100MPa A AB 2.10 4

 BC 

N BC 10.10 3   50MPa A BC 2.10 4

 CD 

N CD 10.10 3   50MPa A CD 2.10 4

Luego, calculamos el acortamiento de la barra como una sumatoria, ya que las fuerzas axiales varían a lo largo de la misma.

 i 3 i 1

Ni Li 10.10 3.0,2 10.10 3.0,4 20.10 3.0,4     1,5.10 4 m  0,15mm 5 6 4 11 4 11 4 EA 2.10 .10 .2.10 2.10 .2.10 2.10 .2.10

El signo (-) corrobora que se trata de un acortamiento total de la barra. PROBLEMA 1.5 Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el

alargamiento total. Considerar E al  0,7.10 MPa , E c  10 MPa , E a  2.10 MPa. 5

5

5



ACERO

N (kN)

A3=4 cm2

(MPa)

150

60

1m

A2=3 cm2

1m

+

P2=20kN

ALUMINIO

COBRE

P3=30kN

A1=1 cm2

30

+ 100

1m

10

P1 =10kN Fig. 1.9 Solución: Graficamos el diagrama de fuerza axial o normal y determinamos los esfuerzos en cada parte de la barra escalonada, por ser de áreas diferentes.

 al 

10.10 3  100MPa 10 4

30.10 3 c   100MPa 3.10 4 a 

60.10 3  150MPa 4.10 4 11

Luego, determinamos el alargamiento de la barra escalonada, analizando cada material por separado, en virtud de tener diferentes fuerzas axiales y material.



10.10 3.1 30.10 3.1 60.10 3.1    3,178.10 3 m  3,178mm 0,7.10 5.10 6.10 4 10 5.10 6.3.10 4 2.10 5.10 6.4.10 4

PROBLEMA 1.6 El cable de acero AB tiene un área A  5cm y sostiene a la viga CD. Determinar 2

el esfuerzo normal en el cable, así como su alargamiento y graficar el diagrama de fuerza axial para la viga CD. Considerar E  2.10 kgf / cm . 6

2

A D B

45º

1T

m 0,5

C

1m

6T

25º

2m

Fig. 1.10 Solución: Hacemos un corte en el cable AB y determinamos el equilibrio en la viga CD.

PAB D 45º

B

1T

65º

C

25º

65º

1m

6T

0 ,5 m

1 ,5 m

M

C

0 

Fig. 1.11

(6.sen65 )(1,5)  (1.sen650 )(3)  (PABsen 450 )(2)  0 0

De donde:

PAB  7,69T (TRACCION)

Luego, determinamos el esfuerzo en el cable:

 AB 

7,69.10 3  1538kgf / cm 2 (TRACCION) 5 12

Ahora calculamos el alargamiento, para ello, utilizamos la ley de senos para determinar la longitud del cable AB.

L AB 2  0 sen 65 sen 70 0



L AB  1,929m

Luego:

 AB 

7,69.10 3.1,929.100  0,148cm 2.10 6.5

A L AB

70º

B

45º

2m

65º

C Fig. 1.12 Posteriormente, graficamos el diagrama de fuerza axial o normal en la viga CD.

N DB  1. cos 650  0,422T

N BE  1. cos 650  7,69. cos 450  5,86T

N EC  1. cos 650  7,69. cos 450  6. cos 650  8,396T B

E

D

N (T )

C

Fig. 1.13 PROBLEMA 1.7 La figura muestra un cartel publicitario rectangular de espesor constante, cuyo peso específico es "" y volumen " V" . Dicho cartel está sostenido por tres cables (1), (2) y (3) que tienen la misma área de sección transversal " A" y son del mismo material con módulo de elasticidad " E" . De las siguientes afirmaciones, diga cuales son verdaderas y justifique su respuesta:

13

a) El módulo de tracción en el cable (1) es

b) El módulo de tracción en el cable (3) es

V 3

2V cos  3(cos sen  cos sen) VLtg 6EA

c) La deformación longitudinal en el cable (1) es



 (2)

(1)

(3)

3L/4

L/4 Fig. 1.14

Solución: Efectuamos un corte y analizamos su equilibrio:

P1



C

L/2

a)

M

P3

P2

P=V

L/4

D



L/4

Fig. 1.15

D

0



 3L  L  P1    V   0  4  4 P1  14

V (VERDADERO) 3

b)

F

0

F

0

x

y

P3 cos   P2 cos 



P2  P3



cos  cos 

P1  P2 sen  P3sen  V

V  cos     P3 sen  P3sen  V 3  cos  

P3 

2V cos  (VERDA...