Ejercicios DE Resistencia DE Materiales PDF

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PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR Una barra uniforme de sección 6x9cm está sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm 2 P=54000Kg.54000kg 54000kgσx = P/A σy =σx = 54000kg/6x9cm 2 xy =σx = 1000 Kg/ cm 2 C...

Description

PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR 20. Una barra uniforme de sección 6x9cm está sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=54000Kg. 54000kg

54000kg σy =0

σx = P/A

 xy

σx = 54000kg/6x9cm2 σx = 1000 Kg/ cm2 Cortante máximo:  x   y  2 

2

   J xy 2 

 máx = ±  máx = ±√ (54000-0)2/2+02

tmax=

±500 Kg/ cm2

=0

21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:

θ =20º σx = 1000 Kg/ cm2 σy =0

 xy

=0

Esfuerzo normal:

 σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ xy Sen2 θ σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º σn =116.98 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+  xy Cos2 θ t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º t= 321.39 Kg/ cm2

22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado está sometida a una

carga de compresión axial de 2.240kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg θ =30º 2240kg

2240kg σy =0

σx = P/A σx = -2240kg/2x2cm2

 xy

=0

σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal:

 σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ xy

Sen2 θ

σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+  xy Cos2 θ t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º t= -242.49 Kg/ cm2

23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de Mohr.

Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0

 xy

=0

θ=30º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=-280 a = (σx - σy)/2

R=280 2θ=60º

t

a=280 b=

 xy

=0 s n,t 280 280Sen60º 2

s min=-560

C=-280

O

smax =0

s

DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2

t= 280Cos60º t= -140 Kg/ cm2

24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones σx =210 kg / cm 2 , σx = 210 Kg/ cm 2, σy =0 σy=0 ,  xy =280 Kg/ cm2 σxy =280 kg / cm

2

, determinar analíticamente las tensiones normal y

cortante que existen en un plano inclinado φ=45 º

θ =45ºcon el eje X.

Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0

 xy

=280 Kg/ cm2

θ =45º Esfuerzo normal:

 σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ xy

Sen2 θ

σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º σn =385 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+  xy Cos2 θ t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º t= 105 Kg/ cm2

25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las

tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0

 xy

=280 Kg/ cm2

θ =45º a) Calculando los esfuerzos principales:

σ +σ σ 1,2 = x y ± 2

√(

)

2

2 σ x −σ y +τ XY 2

σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280 σmax =404.04 Kg/ cm2

2

σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ

2

=-194.04 Kg/ cm2

min

b) Hallamos las direcciones:

tan2θ p =

2 τ xy σ x−σ y

Tan2 θ p=-2x280/210 2 θ p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2 θ p=20.554 2 θ p1=20.554+90º θ p1=55º16´

2 θ p2=20.554+270º θ p2=145º16´

c) Cortante máximo: 2

 máx

 máx tmax=

= ±

  x  y    J xy 2  2  

= ±√ (210-0)2/2+2802 ±299.04 Kg/ cm2

 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 xy θ c=10º16

26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de Mohr.

Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0

 xy

=280 Kg/ cm2

θ =45º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2 C=105

-RADIO R2=a2+b2 R=299.04

a = (σx - σy)/2

b=

 xy

210

t

a=280 =280

t max= 299.04kg/cm² sx, t xy

280

2qp2

s min=-194

O

C=105 R=299

280

s max=404.04

2 qp1

2 qc

s y,t xy

105

t max=-299.04kg/cm²

DEL GRÁFICO: Sen2 θ c=105/299 2 θ c=20.55

2 θ p=20.55+90º 2 θ p=110.55 27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos: 210kg/cm2

280 kg/cm2 210kg/cm2 280 kg/cm2

s

 xy

σx =-210 kg/cm2

σy = 0

=-280 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales:

σ +σ σ 1,2 = x y ± 2

√(

)

2

2 σ x −σ y +τ XY 2

σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280

2

σmax =194.04Kg/ cm2

σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ

2

-404.04Kg/ cm2

min

Hallamos las direcciones:

tan2θ p =

2 τ xy σ x−σ y

Tan2 θ p=-2x-280/-210 2 θ p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2 θ p=20.554 2 θ p1=20.554+90º θ p1=55º16´

2 θ p2=20.554+270º θ p2=145º16´

b) Cortante máximo:

 máx  máx tmax=

= ±

  x  y  2 

2

   J xy 2 

= ±√ (-210-0)2/2+-2802 ±299.04 Kg/ cm2

 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 xy θ c=10º16 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos:

 xy

σx =-210 kg/cm2

=-280 kg/cm2

σy = 0

θ =30º Esfuerzo normal:

 σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ xy

Sen2 θ

σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º σn =-294.99 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+  xy Cos2 θ t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º t= -230 Kg/ cm2

29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σ x =560kg/cm2, σx =560 kg / cm

2

σy

=560

kg/cm2

y

σy =560 kg / cm

2

determinar

analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. Datos: σx =560 kg/cm2

 xy

=0

σy =560 kg/cm2 Cortante máximo:  x   y  2 

 máx

2

   J xy 2 

= ±  máx = ±√ 560-560)2/2+02

tmax=

0

30. ¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones

descritas en el problema 29? Datos:

 xy

σx =560 kg/cm2

=0

σy =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=560

R=0

t

a = (σx - σy)/2 a=0 b=  xy =0 El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del

O

C=560

origen.

31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σ x =560 kg/cm2 σx =560 kg / cm 2

y

σy

=-560

kg/cm2 σy=−560 kg/cm 2 .

Determinar

analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento.

s

¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos:

 xy

σx =560 kg/cm2

=0

σy =-560 kg/cm2 Cortante máximo:  x   y  2 

2

   J xy 2 

 máx = ±  máx = ±√ 560--560)2/2+02

tmax=

± 560 kg/cm2

 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 xy 2 θ c=45º

32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones Normal

y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2

 xy

=0

σy =-560 kg/cm2

θ =30º Esfuerzo normal:

 σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ xy

Sen2 θ

σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-280 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+  xy Cos2 θ t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º t= 484.974 Kg/ cm2 33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones

σx

σy =560 kg / cm

2

=560

kg/cm2

σx =560 kg / cm

2

y

σy

=-560

kg/cm2

. Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan

en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: σx =560 kg/cm2

 xy

=0

σy =-560 kg/cm2

θ =20º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=0

R=560

t

a = (σx - σy)/2 a=560

 b= xy =0 2 θ =40º

DEL GRÁFICO:

t =560sen40º t =-359.961 kg/cm2 σn =560cos40º

sn

sy,t xy -560

t

sx,t xy

40º R=560

O=centro

560

s

σn =-428.985kg/cm2 34. Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada,

sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. 560 kg/cm2 560kg/cm2

560 kg/cm2

560 kg/cm2 Datos: σx =0

 xy

=560 kg/cm2

σy =0 Calculando los esfuerzos principales:

σ +σ σ 1,2 = x y ± 2

√(

)

σ x −σ y 2 2 XY +τ 2

σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560

2

σmax =560 Kg/ cm2

σmin =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 σ

2

=-560 Kg/ cmt2

min

560

sx, txy

DEL GRÁFICO: 2 θ p=90º 2qp O=centro

s t

s

35. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la

figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 560kg/cm 1400 kg/cm2

560 kg/cm2

2

1400 kg/cm2 560 kg/cm2

560 kg/cm2

Datos:

840 kg/cm2

 xy

σx =1400 kg/cm2

=-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2 a) Calculando los esfuerzos principales:

σ +σ y ± σ 1,2 = x 2

√(

σ x −σ y 2

)

2

+τ

2 XY

σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560 σmax =1746.099 Kg/ cm2

σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 σ

=493.901 Kg/ cm2

min

b) Hallamos las direcciones:

tan2 θ p =

2 τ xy σ x− σ y

2

2

Tan2 θ p=-2x-560/1400-840 2 θ p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 θ p2=+63.435

2 θ p1=+63.435 +180º

θ p2=31º43

θ p1=121º46´57”

c) Cortante máximo: 2

 máx

 máx

= ±

  x  y    J xy 2  2  

= ±√ (1400-840)2/2+-5602

tmax=

±626.099 Kg/ cm2

 Tan2 θ c= (σx- σy)/2 xy Tan2 θ c= (1400- 840)/2(-560) 2 θ c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2

θ c=76º43

36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de Mohr.

Datos: σx =1400 kg/cm2

 xy

=-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2

MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=1120

R=626.099

a = (σx - σy)/2

t

a=280 b=

 xy

t max=626.099kg/cm²

(8400,560)

=-560

2qp O

s min =493.9kg/cm²

C=1120

s max =1746.099kg/cm²

2qc

-560

(1400,-560)

s

37. Considerar nuevamente el problema 35. Determinar analíticamente

las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos:

 xy

σx =1400 kg/cm2

=-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2

θ =20º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+

 xy

Sen2 θ

σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º σn =-280 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+  xy Cos2 θ t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º t= -249 Kg/ cm2

38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de Mohr.

Datos:

 xy

σx =1400 kg/cm2

=-560 kg/cm2

θ =20º

σy = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=1120

R=626.099

a = (σx - σy)/2

2 θ =40º

a=280 b=

 xy

t =249kg/cm² s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm²

=-560

t t max= 626.099kg/cm²

(8400,560)

s t

b

40º

a O

smin =493.9kg/cm²

-560

560

626.099

C=1120

smax =1746.099kg/cm²

(1400,-560)

626.099sena

b senb =560/626.099 b=63.435

s

b=63.435 a=23.435

626.099

a=23.435 626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

39. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la

figura, determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700kg/cm 560 kg/cm2

2

700 kg/cm2 560 kg/cm2 700kg/cm2

700 kg/cm2 840 kg/cm2

Datos: σx =-560 kg/cm2

 xy

σy = -840 kg/cm2

=700 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales:

σ +σ σ 1,2 = x y ± 2

√(

)

2

2 σ x −σ y +τ XY 2

σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700 σmax =13.863 Kg/ cm2

σmin =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 σ

=-1413.863 Kg/ cm2

min

2

2

b) Hallamos las direcciones:

tan2θ p =

2 τ xy σ x−σ y

Tan2 θ p=-2x-700/-560--840 2 θ p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 θ p1=11.3099+90º 2 θ 2 p2=11.3099+270º

θ p1=50º39

θ p2=140º39

c) Cortante máximo: 2

 máx = ±

 máx

  x  y    J xy 2  2  

= ±√ (-560--840)2/2+7002

tmax=

±713.863 Kg/ cm2



Tan2 θ c= (σx- σy)/2 xy Tan2 θ c= (-560--840)/2(700) 2 θ c=11.3099 (IIQ, IVQ)

θ c=5º39

40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.

Datos:

 xy

σx =-560 kg/cm2

=700 kg/cm2

σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=-700

R=713.86

a = (σx - σy)/2 a=140 b=

 xy

=700

t t max= 713.86kg/cm²

s x,txy

2qc R=713.86

2 qp

700

2

s min=-1413.86

C=-700

s y,t xy tmax=-713.86kg/cm² 840

O

s max=13.86

s

EJERCICIOS DE SOPORTES O COLUMNAS 22. Una barra de acero maciza de sección circular de 5 cm de diámetro está articulada en sus extremos y sometida a comprensión axial. Si el límite de proporcionalidad del material es de 2500 kg/cm2 y E=2.1 x 106 kg/cm2, determinar la longitud mínima para la que es válida la fórmula de Euler. Hallar, también el valor de la carga de pandeo de Euler si la columna tiene esta longitud mínima.

2500Kg/cm2=σ 5 cm =ø 2.1 x 106Kg/cm2=E L =?

π 2 EI L2

•Per =

•σer= π 2 EA r 2 A L2

2

• σ=

π EI A L2

→

π (2.1∗1010 )r 2 L 2

•2500 =

2

π 2 E r2 L2

2

π (2.1∗1010 )( 1.25 ) 2500 2

L=

6

→

6

2

L=113.8 cm

L = 114 cm Longitud mínima •Per=

π2 E I L2

π 2 (2.1∗106 )(30.68) Per = 2 (114 ) Per = 48928.81 kg

Carga

Per A

23. Si la Longitud aumenta 240 cm. Determinar la carga de Pandeo de Euler.

• Per = Per = Per =

π 2 EI L2 π 2 (2.1∗106 )( 30.68) (240)2 11039.56 kg

24. Determina la relación de esbeltez de un soporte de acero de sección circular maciza con 10 cm de diámetro y 2.70 m de longitud. 10 cm =

ø

2.70 m = L • Relación de esbeltez. ☼

L 2.70 m = r 2.5 cm

→

• r=

√ √

•I=

π D4 =490.9 64

270 cm =108 2.5 cm

490.9 I = → 2.5 cm A 72.54

( )

2

• A=π

D =78.54 2

25. De acuerdo con la norma AISC ¿Cuál es la capacidad de carga de soporte? La carga está articulada en sus extremos. σ =1190 −0.034 ( L/r )

2

σ =1190 −0.034 ( 108 )2

σ=

F A

F=σA

σ =793.424

F=(743.424 ) (78.54) F=62315.52 kg

26. Utilizando las normas del Código de Edificación de Chicago, determinar la capacidad de carga de soporte. σ =1120 −4.9

σ=

σ =590.8

F A

F=σA F=590.8 (78.54 ) =46401.432 kg 27. Utilizando la Teoría de Euler, determinar la carga crítica de un soporte H 140 de 4 m de longitud. La barra está articulada en sus extremos. Suponer E=2.1 x 106 kg/cm2.

Per=

π 2 (2.1∗106 )(550) (400)2

H 140=Perfil 4 m=L→ 400 cm

Per =71246.2 kg

2.1*10^6 =E

28. Determinar la carga de comprensión Axial máxima que puede soportar con seguridad un soporte H 140 de extremos articulados, de 3.40 m de longitud. Utilizar las normas AISC.

•σt=1190 – 0.034 340 (3.53 )

L ¿ ¿ ¿

H 140=Perfil 3.4=L

•utilizando las normas AISC

2

σt=1190.0 .034

• r=

σ=874.58 • σ =P/ A →

P=σA

•P=874.58*44.1

•r=

√ √

I A 550 =3.53 cm 44.1

P=38569 kg

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