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ejercicios resueltos de resistencia de materiales...

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AULA POLITÈCNICA 15

Resistencia de materiales Problemas resueltos

AULA POLITÈCNICA / ETSEIB

Resistencia de materiales Problemas resueltos Miquel Ferrer Ballester José Luis Macías Serra Frederic Marimón Carvajal M. Magdalena Pastor Artigues Francesc Roure Fernández Lluís Vilaseca Vilanova

EDICIONS UPC

La presente obra fue galardonada en el quinto concurso "Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.

Primera edición: septiembre de 1999 Reimpresión: febrero de 2001 Segunda edición: septeimbre de 2002

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

©

los autores, 1999

©

Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected]

Producción:

CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona

Depósito legal: B-30564-2002 ISBN: 84-8301-621-4

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

7

Prólogo

Prólogo El presente libro es una colección de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de la Resistencia de Materiales a través de su aplicación a la resolución de ejemplos concretos. Ha sido elaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniería y de Arquitectura, como texto complementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y nomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimón y X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos. Se supone que antes de abordar los problemas de cada capítulo, el lector habrá adquirido los conocimientos de teoría correspondientes, y por ello no se repasan de forma explícita en el presente libro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecánica de medios continuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se han incluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos. Los temas que cubre este libro son los clásicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: los temas básicos relativos a la pieza prismática. Una rápida ojeada al índice ilustra perfectamente el alcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas básicos para adaptarlo precisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulos se han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquellos lectores que deseen profundizar en dichos temas. Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas, porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teoría, y no se ha considerado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una colección exhaustiva de problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas. A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresión, estamos seguros de que algunos errores y erratas habrán conseguido colarse (confiamos en que sean sólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector. Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que, como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección del texto, las fórmulas y los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu.

Los autores Barcelona, junio de 1999

Índice

Índice 1

Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11

2

Esfuerzo normal...................................................................................................................25

3

Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35

4

Características de secciones.................................................................................................45

5

Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53

6

Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75

7

Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89

8

Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131

9

Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139

10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161 Bibliografia................................................................................................................................185

9

Bibliografía

Bibliografía COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968. LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974. LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944. NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977. ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998. ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991. ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDAETSEIB, 1998 TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967. UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.

185

1 Diagramas de esfuerzos

1 Diagramas de esfuerzos

11

12

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 1.1 Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. 600 2 N 45o

E 2m C

A

800 Nm

D

B 3m

3m

FH F

600 2

2m

2 2

600 N

2 2

600 N

Resolución: a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. b) Cálculo de las reacciones. 600 N 600 N Ejes globales

E

A

D

C

800 Nm

B RAH

RCV

RAV

Tomamos momentos respecto al punto C: Mc

100 N = -33,3 N 3

6 600 3 600 2 800 0

Suma de fuerzas verticales y horizontales: 100 3

600

1900 N 3

13

1 Diagramas de esfuerzos

c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. 100 3

TramoAB:

0

100 Nm

Tramo BC: M x MB MC

R AV x

x

100 3 0 1200 1100 Nm 3 100 6 600 3 600 2 800 Nm 3

Diagramas.

E

600 N 600 N

N

-

+ B

A

C

D B 600 N

A

C

B

E

D

+

T -

3

1900 N 3

N

B -800 N·m

E

-100 N·m M

A

-

B

C

D 1200 N·m

+

1100 N·m

Equilibrio del nudo B.

600 N

600 N 100/3 N 600 N

B 1900 N 3

B

14

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 1.2 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a una carga repartida triangular.

1600

A

B x 6m

Resolución: a) Cálculo de la reacciones. Resultante de la carga

4800 N

2

4800 N A

B 6m

RA

4m

RA

RB MA

RB R

2m

4800 0

4800 4 6 1600 N

RB 6

3200 N

4800 4

RB

N m

15

1 Diagramas de esfuerzos

b) Cálculo de los esfuerzos de sección.

1600

A

B

1600 N

3200 N

x L=6m

Sección situada a una distancia x del apoyo A: T: T 1600

T

1600

0

qd

1600

1600 2 6 2

0

1600 d 6

x

1600 2 x 12

1600 0

M: M

M

M

1600 x

1600 x

1600 x

0

q x

d

1600 x

2

1600 6

2

1600 6

x3 2

3

x

3

x3 3

0

1600 6

x

x

0

1600 x

1600 x3 6 6

d

N m

16

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

c) Diagramas. 1600 N +

T

A -

3200 N

M +

3695 Nm

d) Punto de Mmáx

M x T

T

T

1600 x x 12 1600 3,46 2 1600 3,46 12

0 1600 máx

0 12

3,46 m

3695 Nm

17

1 Diagramas de esfuerzos

Problema 1.3 Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura. 200 2 N 400 2 N

B

2m

A

2m

2m

Resolución: Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática. 200 2 400 2

B

A RAH

C

RAV

FV

RC

R AV

RC 400 2 N

FH

0

RAH

M

0

R

4 400 2 2 200 2 2 0

R

300 2 N

18

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

400

100 2 400 2

100

100

400

300

300

400 2

300 2

400 400

100

300 2 100 300 100 2

Diagrama

N

500 N B

+

-

C

A -300 N

Diagrama

T

300 N B

+

-

C

A 300 N

Diagrama

M

300

19

1 Diagramas de esfuerzos

B B

A

+

x

+

x’

C 300 N

M = 300 · x

MA

0

M

600 2 Nm

M = 300 · x’

MC

0

M

600 2 Nm

Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica. Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que 0 G F RA

200 2 // OA

B 400 2

RC

G F // OC

RA

C

RC

20

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 1.4 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. p = 600 4000 N

N ml

3000 N

B

P1

C

P2

A a=2m

L=6m

b=2m

Resolución: Cálculo de las reacciones: FV

RB

RC

M B : 4000 2 600 6 3 RC 6 3000 8

RC

4467 N

R

6133 N

Diagrama de momentos flectores: Tramo AB: M

x 0

8000 Nm

Tramo BC: M

4000 x

6133 x

8000 Nm

2

600

x

2

2

2

6000 Nm

Tramo CD: M

x 6000 Nm

x

x 0

Diagrama de esfuerzos cortantes. Tramo AB: T 4000 N

4000 N

x

D

21

1 Diagramas de esfuerzos

Tramo BC: T

x 2133 N

x 1467 N

Tramo CD: T 3000 N

3000 N

B

D

C

A a=2m

L=6m

b=2m

-8000 -6000

M ( Nm )

E xE

2133

3000

3000 +

+

T

-

-

(N)

-1467 -4000

-4000

El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es horizontal, o sea: M x ME = -4208 Nm

22

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 1.5 En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.

4 KN

0,5m 1m

5 KN/m

2m

1m

Resolución: a) Reacciones en el empotramiento. Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:

4 KN

10 KN

ME

ME

FE

0.5m 1m

FE 14 KN ME

4 KN

5 KN/m

0.5m 2m

FE

2m

Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.

23

1 Diagramas de esfuerzos

b) Diagramas 4 KN

E 0,5

5 KN/m

D

C

A

B

0,5

2m

1m x

M

T +

Tramo AB:

M=0

T=0

Tramo BC: M

5

x 1 2

KN m

0

MB

0

MC T

5 x 1

2

KN

TB T

0 10 KN

24

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Tramo CD: M

x

MC MD

T

10 KN

15 KN m

TC

10 KN

T

10 KN

Tramo DE: M

T

x

10

4

x

14 KN

MD ME

22 KN m

TD

14 KN

T

14 KN

Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en este caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico; pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).

2 Esfuerzo normal

2 Esfuerzo normal

25

26

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 2.1

módulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.

300 mm

E2 E1 A

x

B

P=500 N

600 mm

Resolución: Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de deformaciones.

RA

RB

A

B P=500 N

FV

RA B

0

A

RB

P (

) 0

27

2 Esfuerzo normal

LA

LB

Ley de Hooke : R A LA S E

3R

R

RB LB S E

500

RA

R

R B E1 E2

RB 210000 70000

500 125 N 4

De la ecuación de los momentos obtenemos x: RA L

P L

x

375 600 500(600

) 0

150 mm

R

RA

375 N

3 RB

28

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 2.2 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 . Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2·105 MPa.

A Aa=40 cm2

1m

3m Ab=80 cm2 C 1m

15 T

D

Resolución: FV

RA+ RD = 15 T = 150000 N Ecuación de deformación El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD está traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:

A E A

AB

E Aa

R A L BC E Ab

R D L CD E A

29

2 Esfuerzo normal

RA

3000 A

2 10

5

40 10

2

2 10

5

80 10

1000 2

2 10

5

1m B

Resolviendo las ecuaciones, tenemos

3m C 1m

15 T D

R

25000 N

2.5 T

RB

125000 N 12.5 T

RD

25000 N

Tramo AB:

40 10 mm 25000 N

Tramo BC:

80 10 mm 125000 N

Tramo CD:

80 10 mm

Diagrama de esfuerzos normales:

2.5 T

A

B -

C

12.5 T +

D

6.25 MPa (COMP.)

3.125 MPa (COMP.)

15.625 MPa (TRAC.)

80 10 2

30

Resistencia de materiales. Problemas resueltos

Problema 2.3 a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m Datos: E=2,1·105 MPa.

L

L

C

Resolución:

Del equilibrio del punto C se obtiene

N

P 2

sen Equilibrio del punto C

N

P 2 sen

pudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es parte: