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Problemas de resistencia ejercicios...

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Universidad Autónoma de Baja California Facultad de ingeniería

Tarea: problemas de esfuerzo normal y deformación unitaria

Problemas capítulo 1 Esfuerzo normal y deformación normal unitaria 1.2.1 Un poste circular hueco ABC (consulte la figura) soporta una carga P1=1700 lb que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 está distribuida uniformemente alrededor de la placa cubierta del poste B. El diámetro y el espesor de las partes superior e inferior del poste son d AB=1.25 in, tAB=0.5 in, dAB=2.25 in y tBC=0.375 in, respectivamente. a) Calcule el esfuerzo normal σAB en la parte superior del poste. b) Si se desea que la parte inferior del poste tenga el mismo esfuerzo de compresión que la parte superior. ¿Cuál será la magnitud de la carga P2? c) Si P1 permanece en 1700 lb y P2 ahora se fija en 2260 lb. ¿Qué espesor nuevo de BC resultara en el mismo esfuerzo de compresión en las dos partes? Solución a) 2

1.125∈¿ 0.5∈¿ ¿ 1.125−2 (¿ 2 ¿) ¿ ¿ (¿)−¿ ¿ π A= ¿ 4 lb ρ P 1 1700lb =1443 2 =1443 psi = σ AB = = A A AB 1.178 ¿2 ¿ b) σ AB =

ρ A

despejando “P”

ρ= ( σ AB ) ( A ) ρ= ρ1 + ρ2 ρ2=ρ−ρ1

2

2.25∈¿ ((¿)−(1.52 ) ]=2.208 ¿2 π A= ¿ 4 ρ= ( σ AB ) ( A )= ( 1443 psi) ( 2.208 ¿2) =3187.48 lb ρ 2=ρ – ρ1=3187.48 lb −1700=1487.4 lb

c) p1=1700 lb y p 2=2260 lb σ AB = A=

ρ A

despejando “A”

ρ ρ1 + ρ2 3960lb =2.744 ¿ 2 = = 1443 psi σ AB σ AB

π π 2 A= ( dBC ) − ( dBC −2(tBC ) ) 2 4 4 2

A−

2 4 dBC −π (dBC−2 ( tBC )) = 4 π

√(

π ( 2.25 ) 4

2

4 2.744 ¿ 2− −π −2

) =tBC

tBC=0.498∈≈ 0.5∈¿

1.2.4 Un tubo circular de aluminio con longitud L=400 mm está cargado en compresión por fuerzas P (consulte la figura). Los diámetros interior y exterior son 60 mm y 50 mm, respectivamente. Se coloca un deformímetro en el exterior de la barra para medir las deformaciones unitarias normales en la dirección longitudinal. a) Si la deformación unitaria es ϵ = 550x10-6. ¿Cuál es el acortamiento δ de la barra? b) Si el esfuerzo de compresión en la barra se propone sea de 40 MPa, ¿Cuál debe ser la carga P?

Solución a) d1=60 mm d2=50 mm −6

ε =550 x 10 δ=ε L

δ=(550 x 10−6 ) ( 400 mm )= 0.22mm b) P σ = =40 MPa A A=

Despejando “P”

P= ( σ ) ( A )

π 2 π 2 2 2 2 d 1 −d 2 ) = ( ( 0.06 m ) − (0.05 m ) ) =0.00086393 m ( 4 4

P= ( σ ) ( A ) = ( 40000000 Pa ) ( 0.00086393 m2 ) =34557.5 N =34.5 KN

1.3.6 una muestra de un plástico metacrilato se ensaya en tensión a temperatura ambiente (consulte la figura), produciendo los datos de esfuerzo-deformación unitaria que se listan en la tabla siguiente. Trace la curva esfuerzo-deformación unitaria y determine el límite de proporcionalidad, módulo de elasticidad (es decir, la pendiente de la parte inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria) y el esfuerzo de fluencia a un desplazamiento de 0.2 porciento. ¿Es dúctil o frágil el material?

Solución

Grafico esfuero-deformacion unitaria 62 58.1 53.9 48.2 esfuerzo

44 39.8 31.1 25.6 17.5 8 0

0.01

0.01

0.02

0.02

0.03

0.03

0.04

0.04

0.05

deformacion unitaria

limitede proporcionalidad =( 2.4 GPa)( 0.0198 )=47520000 Pa ≈ 47 MPa

Modulo de elasticidad=

17.5 MPa =2397.2 MPa ≈ 2.4 GPa 0.0073

Esfuerzo de fluencia para desplazamiento de 0.2 porciento=¿ (0.02208)(2.4 GPa)=52992000 Pa=53 MPa

0.05

Es un material frágil ya que este empieza a deformarse con poco esfuerzo y termina rompiéndose. 1.4.5 Un alambre con longitud L = 4 ft y diámetro d=0.125 in se estira mediante fuerzas de tensión fuerzas de tensión P = 600 lb. El alambre esta hecho de una aleación de cobre que tiene una relación esfuerzo-deformación unitaria que se puede describir matemáticamente mediante la ecuación siguiente: σ=

18000 ϵ 0 ≤ϵ ≤0.03(σ=ksi) 1+300 ϵ

En donde ϵ es adimensional y σ cuadrada (ksi). a) b) c) d)

tiene unidades de kips por pulgada

Elabora un diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material. Determine la elongación del alambre debida a las fuerzas P. Si se quitan las fuerzas, ¿Cuál es la deformación permanente de la barra? Si se aplican de nuevo las fuerzas, ¿Cuál es el límite de proporcionalidad? Solución

a) σ=

18000(0.005) =36 1+300 ( 0.005 )

σ=

18000(0.01) =45 1+300 ( 0.01)

σ=

18000(0.03) =54 1+300 ( 0.03 )

σ=

18000(0.02) =51.42 1+300 ( 0.02)

esfuerzo-deformacion unitaria 60 54

51.42

50 45 40 esfuerzo

36 30 20 10 0 0

0.01

0.01

0.02

0.02

deformaciojn unitaria

b) P=600 lb , d=0.125∈, L=4 ft=48∈¿ 2

0.125∈¿ ¿ ¿ π A= ¿ 4

P 600 lb σ= = =48900 psi=48.9 ksi A 0.0122 ¿2 ε =0.0147 δ=εL=( 0.0147 )( 48) =0.71∈¿

c) σ =48.9 ksi , ε =0.0147

εE=

48.9 ksi σ = =0.00272 declive 18000 ksi

εR =ε− εE =0.0147− 0.0027=0.00272 Deformación permanente =

48∈¿ ¿ εRL=(0.0120 ) ¿

0.03

0.03

0.04

d) El limite proporcional=48.9 ksi 1.5.2 Una barra redonda de 10mm de diámetro está hecha de una aleación de aluminio 075-T6. Cuando la barra se estira por fuerzas axiales “P”, su diámetro disminuye 0.016mm. Determine la magnitud de la carga “P”.

Solución Δ d =−0.016 mm

d=10 mm =.01 m 9

E=72 GPa =72 X Pa Relacionde Poisson V =0.33

Δ d =ε ' ( d ) ∴ ε ' = Δ d ε ' = d

−3

'

V=

−0.016 mm =1.06 X 10−3 10 mm

−1.06 X 10 −ε −ε ' ε= =4.84 X 10−3 ∴ε= V 0.33 ε

−3 9 6 σ =Eε ∴ σ =( 72 X Pa) ( 4.84 X 10 )=348480000 Pa=384.48 X 10 Pa

( )

π ( d) P σ = ∴ P= ( σ ) ( A ) ∴ P=( σ ) 4 A

(

P= 384.48 X 106

N m2

)(

2

)

π (.01 m)2 =27369.55 N 4

1.6.3 La plataforma superior de un estadio de futbol esta soportada por puntales que transfieren cada uno, una carga “P” = 160 kips a la base de la columna. una

placa de soporte en la parte inferior del puntal distribuye la carga “P” a cuatro planchas de ala ( t f =1∈¿ mediante un perno ( d p=2∈¿ a dos placas de unión ( t g=1.5∈¿ . Determine las cantidades siguientes: a. El esfuerzo cortante promedio τ prom en el pasador.. b. El esfuerzo de soporte promedio entre las planchas de ala y el pasador ( σ bf ¿ y entre las placas de unión y el pasador ( σ bg ¿

Solución a) V 4 V τ = ∴ τ prom= 2 A π (d ) 4 2∈¿ ¿ ¿2 ¿ ¿4 ¿ 2∈¿ ¿ ¿2 ¿ π¿ ¿ 160 kips 4 τ prom = ¿

b) P 4 P σ = ∴ σ bf = A ( d p )( t f ) 1∈¿ ¿ 2∈¿ ¿ ¿ 160 kis 4 σ bf = ¿

1.5∈¿ ¿ 2∈¿ ¿ ¿ 160 kis 2 σ bg = ¿

1.7.5 Una plataforma de acero que soporta maquinaria pesada se apoya sobre cuatro tubos cortos, huecos, de fundición gris. La resistencia ultima del hierro colado en compresión de 50ksi. El diámetro exterior de los tubos e d=4.5in y su espesor de pared es t=0.40in Utilice un factor de seguridad de 3.5 con respecto a la resistencia última, para determinar la carga total “P” que puede soportar la plataforma:

Solución:

kips 2 ¿ =14.28 kips σ uperm = 2 3.5 ¿ 50

σ=

(

π (d)2 π ( d−2 t ) P ∴ P= 4 σA = 4 σ − 4A 4 4

2

)

4.5∈¿ ¿ ¿2 ¿ 4.5 −2(0.40 )∈¿ ¿ ( ¿2 ¿ ¿ 4 ) =294.29 kips ¿ π¿ ¿ kips P=4 14.28 2 ¿ ¿

(

)

1.8.12 Una columna de acero de sección circular hueca se soporta sobre una placa de base circular y un pedestal de concreto. La columna tiene un diámetro exterior d=250mm y soporta una carga “P” =750kN. a) Si el esfuerzo permisible en la columna es de 55MPa, ¿Cuál es el espesor mínimo necesario ‘t’? Con base en su resultado, seleccione un espesor para la columna. b) Si el esfuerzo de soporte permisible sobre el pedestal de concreto es 11.5MPa, ¿Cuál es el diámetro mínimo necesario D de la placa de base si se diseña para la carga permisible P perm que la columna con el espesor seleccionado puede soportar?

Solución: a) A columna =

2 π (d) π (d−2t ) 2 − 4 4

P perm=σ perm∗A

σ perm=

P A

σ perm=

P P despejando→ A= σ perm A

AB=

sustituyendo la formula delarea →

despejando el espesor t=

√

4

P

π (d)2 4

π (d )2 π ( d−2 t )2 P − = 4 4 σ perm 2

−π ( d )

σ perm −π −2

−d

Sustituyendo los datos

→t=

b)

√

4

750 x 103 N 2 −π (.25 m ) N 55 X 10 6 2 m −.25 m −π =0.01877 m=18.77 mm . −2

P perm=σ perm∗A B

A B =πt ( d B −t ) P perm=σ perm πt ( d−t )

π (d B )2 σ perm πt ( d−t ) = 4 σ

√

dB =

√

4 t (d −t ) P perm 4 ( 55 X 106 Pa ) ( 20 mm) 230 mm 2 = √ 87971.55 mm =296.59 mm = 6 σ 11.5 X 10 Pa...