Lista ejercicios segundo parcial II 2019 PDF

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICAFACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE MATEMATICA ́DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA ́MA-1003 Calculo III ́ II CICLO 2019Ejercicios Segundo Parcial del curso MA-1003. Coordinador del curso: Jose Rosales-Ortega ́ Contents 1 Introduccion. ́ 2 Integrales dobles 3 Integrales triples 4...

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alculo III Ejercicios para MA–1003: C´

1

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA

MA-1003 C´alculo III II CICLO 2019

Ejercicios Segundo Parcial del curso MA-1003.

• Coordinador del curso: Jos´e Rosales-Ortega

Edicion ´ del 2019

alculo III Ejercicios para MA–1003: C´

2

Contents 1

Introducci´on.

3

2

Integrales dobles

3

3

Integrales triples

6

4

Segundo parcial I-2019

9

Edicion ´ del 2019

alculo III Ejercicios para MA–1003: C´

3

1 Introducci´on. Este material tiene como objetivo presentar una cierta cantidad de ejercicios, los cuales han endolos aprecido en ex´amenes de semestres pasados, para que el estudiante pueda ir resolvi´ comforme avance el semestre. En una buena cantidad de estos ejercicios se presenta la respuesta para que los estudiantes puedan ir cotejando con sus soluciones, y para un mejor control han sido ordenados por los temas que ser´an evaluados en cada parcial. Cualquier duda sobre la redaccion ´ de cada uno uno de estos ejercicios, o sugerencias para mejorar la presentacion ´ pueden escribir al profesor Jos´e Rosales Ortega al correo: [email protected]

2

Integrales dobles

2.1. Calcular la integral x + y = 4, x + y = 12. 2.2. Calcular I :=

ZZ

(x + y) dydx donde R es la regi´on limitada por las curvas y2 = 2x, R

Z π/2 Z π/2

−π/2 −π/2

2.3. Calcular el valor de I :=

sen |x + y| dydx.

Z πZ π 0

0

| cos(x + y)| dydx.

Z √πZ √π

2.4. Evaluar la integral doble I =

0

x

sen(y2 ) dydx.

2.5. Con x > 0, evaluar la integral doble I=

Z 2 Z ln x 1

(x − 1)

0

p

1 + e2y dydx.

2.6. Dada la expresi´ on integral I=

ZZ p

1 + e2y dydx =

R

Z 1 Z 4p

1 + e2y dydx +

0

0

Z e4 Z 4 p 1

1 + e2y dydx,

ln x

(a) dibujar la region ´ R de integraci´on; on a dx√dy, luego calcular el valor de I. [[ Indicacion: ´ (b) cambiar el orden R √ de integraci´ recordar que 1 + u2 du = log(u + 1 + u2 ) +C. ]] 2.7. Dada la integral doble I :=

Z aZ b c

b a

√

a2 −x2

f (x, y) dydx donde c < a, dibujar la regi´ on de

integraci´on y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integracion. ´ Edicion ´ del 2019

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2.8. Para la integral doble

4

Z 2a Z √ 4ax √

0

2ax−x2

f (x, y) dydx, donde a > 0,

(a) dibujar la region ´ de integraci´on; (b) expresar el resultado obtenido al cambiar el orden de integracion. ´ 2.9. Dada la suma de integrales dobles: √ Z Z 5 3

0

5+ 3

5− 35

√

9−y2

9−y2

f (x, y) dx dy +

Z 0 Z 5+ √25 (y+6) 6 −6 5− √256 (y+6)

f (x, y) dx dy,

dibujar la region ´ de integraci´on y luego escribir la nueva expresion ´ que resulta de cambiar el orden de integraci´on dx dy en el orden dydx. 2.10. Dada la siguiente suma de integrales dobles: Z 0Z π

f (x, y) dx dy +

−1 arccos y

Z 0 Z 2π−arccos y −1 π

f (x, y) dx dy +

Z π Z 3π/2 0

f (x, y) dx dy,

y+π/2

dibujar la region ´ de integraci´on y mostrar la expresi´ on que resulta de cambiar el orden de integraci´on. 2.11. Dada la integral doble I=

Z π Z 4+sen x

3− 122 (x− π2 )2

0

f (x, y) dydx,

π

(a) dibujar la region ´ de integraci´on; (b) escribir la suma de integrales que resulta al cambiar el orden de integracion. ´ 2.12. Evaluar la integral doble Z a Z √ax−x2 0

0

a dydx p

a2 − x2 − y2

,

donde a > 0, con un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. 2.13. Usando coordenadas polares e integrales dobles, calcular el volumen del “cono de helado” limitado superiormente por la semiesfera x2 + y2 + z2 = 96, z ≥ 0 e inferiormente por el semicono 5x2 + 5y2 − z2 = 0, z ≥ 0. 2.14. Con el uso de coordenadas el´ıpticas x = a r cos θ , y = br sen θ , calcular la integral  ZZ  2 x y2 3/2 I= dx dy, + 2 b R a2 donde R es el interior de la elipse

x2 y2 + = 1. a2 b2 Edicion ´ del 2019

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5

ZZ

(x+y)ex−y dx dy, donde R es el rect´angulo acotada por las cuatro rectas R x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1, x − y = 1. 2.15. Calcular I =

2.16. Calcular la integral doble

ZZ

R

on del primer cuadrante limitada 2y dx dy, si R es la regi´

por las rectas y = 21 x, y = 2x, y por las hip´erbolas xy = 2, xy = 8, mediante el cambio de variable u = xy, v = y/x. 2.17. Determinar el area ´ de la regi´on en el primer cuadrante acotada por las curvas y = x2 ,

y = 2x2 ,

x = y2 ,

x = 4y2 ,

mediante el cambio de variables u = y/x2 , v = x/y2 . 2.18. Sea R la regi´ on limitada por las cuatro hip´erbolas xy = 2, xy = 5, 4x2 − y2 = 2, 4x2 − y2 = 6. Mediante la transformacion ´ de coordenadas u = xy, v = 4x2 − y2 , calcular I=

ZZ

(4x2 + y2 )3 dx dy. R

2.19. Usar el cambio de variables u = x2 + y2 , v = x2 − y2 para calcular la integral doble I :=

ZZ

S

(x5 y − xy5 ) dx dy,

donde S es la regi´on determinada por 25 ≤ x2 + y2 ≤ 36, 4 ≤ x2 − y2 ≤ 9 en el primer cuadrante x ≥ 0, y ≥ 0. 2.20. Mediante una transformacion ´ conveniente de coordenadas, encontrar el area ´ de la regi´on limitada por las curvas xy = 4,

xy = 8,

xy3 = 5,

xy3 = 15,

en el primer cuadrante del plano xy. 2.21. Calcular el area ´ de la regi´ on en el primer cuadrante del plano xy, limitada por las dos √ √ 3 x, y = 3 x y por las dos hip´erbolas xy = 1, xy = 2. rectas y = 3 2.22. Utilizando un cambio de variables adecuado, calcular la integral ZZ

xy(y + 2x2 ) dx dy R

donde R es la regi´on encerrada por las curvas y = x2 + 1, y = x2 + 3, xy = 1, xy = 3. 2.23. Sea R la regi´on dentro del c´ırculo x2 + y2 = 1, pero fuera del c´ ırculo x2 + y2 = 2y, con x ≥ 0, y ≥ 0. (a) Dibujar esa region. ´ Edicion ´ del 2019

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(b) Sean u := x2 + y2 , v := x2 + y2 − 2y. Dibujar la regi´ on S en el plano uv que corresponde a R bajo ese cambio de coordenadas. (c) Calcular

ZZ

xey dx dy usando ese cambio de coordenadas.

R

2.24. Sea R la regi´ on en el primer cuadrante acotada por los c´ırculos x2 + y2 = 2x,

x2 + y2 = 6x,

Usar la transformacion ´ u=

x2 + y2 = 2y,

x2 + y2 = 8y.

2x 2y para evaluar la integral ,v= 2 2 2 x + y2 x +y

ZZ

dx dy R(x2 + y2 )2

.

2.25. Expresar como integral doble y luego calcular el volumen del s´ olido T limitado por los 2 2 2 2 2 paraboloides z = x + y , z = 4x + 4y , el cilindro y = x , y el plano y = 3x.

3

Integrales triples

3.1. Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen del s´ olido limitado por las superficies x2 + y2 + z2 = 20, z = 0, x − y2 = 0; con z ≥ 0, x ≥ y2 . 3.2. Calcular la integral

ZZZ

T

dz dydx, donde T es el s´olido limitado por los paraboloides

z = x2 + y2 , z = −5x2 − 5y2 , los cilindros y = 3x2 , y = −3x2 y el plano y = x. 3.3. Calcular el volumen

ZZZ

dx dy dz del s´olido T limitado por el par de paraboloides

T

z = x2 + y2 , z = 4x2 + 4y2 , el cilindro y = x2 y el plano y = 3x. 3.4. Plantear on, la integral ZZZcomo suma de integrales iteradas, en cualquier orden de integraci´

triple I =

T

el plano z = 0.

x2 dV , donde T es la pir´amide limitada por la superficie |x| + |y| + z = 4 y por

3.5. Obtener una integral triple, en el orden dz dx dy, que representa el volumen del poliedro en el primer octante limitado por los planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 y por los planos x + y + z = 11, 2x + 4y + 3z = 36, 2x + 3z = 24. (No es necesario evaluar la integral.) 3.6. Calcular, usando coordenadas cil´ındricas, el volumen del cuerpo limitado por la parte superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el paraboloide x2 + y2 = z. 3.7. Usando coordenadas esf´ericas, calcular Z Z √ 2Z √

9−x2 −y2

9−x

3

I :=

0

0

0

dz dydx p

9 − x2 − y2 − z2

.

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3.8. Calcular la integral triple I :=

Z 3 Z √9−x2 Z √9−x2 −y2 p

z

√ −3 − 9−x2

x2 + y2 + z2 dz dydx,

0

mediante un cambio de variables a coordenadas cil´ındricas o esf´ericas. 3.9. La integral I=

Z π Z 4 Z √16−r2 0

0

2

(16 − r 2 − z2 ) r dz dr dθ

est´a dada en coordenadas cil´ındricas. Expresarla en coordenadas esf´ericas. ZZZ p e ricas, calcular la integral x2 + y2 dx dy dz, donde T es 3.10. Usando coordenadas esf´ T

la bola s´olida x2 + y2 + z2 ≤ 16.

3.11. Usar coordenadas esf´ericas para evaluar I :=

ZZZ

dx dy dz T (x2 + y2 + z2 )3/2

,

donde T es el s´olido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9 y el semicono x2 + y2 − z2 = 0, z ≥ 0. 3.12. Calcular mediante una integral triple el volumen del s´ olido limitado por las superficies x2 + y2 = 4, z = 0, z = x − y, con z ≥ 0. 3.13. Usar coordenadas cil´ındricas o esf´ericas para evaluar la integral I :=

ZZZ

(x2 + y2 + z2 ) dx dy dz, T

donde T es la regi´on determinada por las condiciones 3.14. Consid´erese la integral triple I :=

ZZZ

determinada por las condiciones 1 ≤ z ≤ 2,

1 2

≤ z ≤ 1, x2 + y2 + z2 ≤ 1.

(x2 + y2 + z2 ) dz dydx, donde T es la regi´on

T x2 + y2 + z2

≤ 4.

(a) Expresar la integral I en coordenadas cil´ındricas. ericas. (b) Expresar la integral I en coordenadas esf´ (c) Evaluar I por cualquiera de las expresiones (a) o (b). 3.15. Hallar el volumen del s´ olido limitado inferiormente por el paraboloide 2az = x2 + y2 , con a > 0; y limitado superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2 . on de la bola x2 + y2 + z2 ≤ a2 que queda dentro del 3.16. Encontrar el volumen de la porci´ cilindro r = a sen θ , usando coordenadas cil´ındricas. Edici´on del 2019

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3.17. Calcular el volumen del s´olido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y envuelto por el cilindro x2 + y2 = 2x. 3.18. Encontrar el volumen del s´olido formado por la intersecci´ on de los tubos cil´ındricos x2 + y2 ≤ 36, x2 + z2 ≤ 36. 3.19. Calcular mediante una integral triple el volumen del s´ olido limitado por las superficies x2 + 2y2 = 2, z = 0, x + y + 2z = 0. √ 2 3.20. Usar el cambio ZZZde variables x = v cos w, y = v sen w, z = u − v para calcular la integral triple I = z dx dy dz, donde el s´olido T es la intersecci´ on del casco esf´erico T

9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 16 con el casco cil´ındrico 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, con z ≥ 0. 3.21. En la integral triple I=

Z a Z yZ z 0

0

3

e(a−x) dx dz dy,

0

con a > 0, cambiar el orden de integraci´ on dx dz dy al orden dz dy dx. Luego evaluar I , usando este u´ ltimo orden. 3.22. Calcular la integral triple I :=

ZZZ

dx dy dz

1 , T x2 + y2 + (z − 2 )2

donde el s´olido T es la bola unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1.

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Segundo parcial I-2019

Universidad de Costa Rica atica Escuela de Matem´ MA-1003 C´alculo III

8 de Junio de 2019 Segundo Semestre

Examen Parcial # 2 • Cuenta con tres horas para realizar el examen. El examen consta de seis preguntas. Usted debe realizar cinco cualesquiera e indicar cu´ales. Debe justificar cada ejercicio que realice con los m´etodos vistos en su clase ∗ o establecidos en la carta al estudiante. 1. 20 puntos Se sabe que I =

RR

Ω

iterada en el orden dydx: I =

f (x, y) dA se puede escribir como la siguiente integral Z Z √ 4−(x−2)2

2

1

x2 −2

f (x, y) dy dx. Dibuje la region ´ Ω y exp-

rese a I en el orden de integraci´on dx dy. 2. 20 puntos Utilice coordenadas polares para encontrar el valor de

RR

D

donde D es la regi´on del plano tal que x2 + y2 ≤ 4; x ≥ 0; y ≤ 0. 3. 20 puntos Calcule el valor de la siguiente integral doble, I =

ZZ

  cos x2 + y2 dA,

3y dA, donde R es x2

R

on del plano definida por 2 ≤ xy ≤ 4; 2x2 ≤ y ≤ 4x2 , por medio del cambio de la regi´ variable u = xy; v = y/x2 . 4. 20 puntos Considere la integral I =

Z 1 Z 1 Z 1−y 0

√

4

12e(1−z) dz dydx. Utilice el dibujo

x 0

on dx dy dz. de la regi´on para calcular el valor de I cambiando al orden de integraci´

∗ Su

clase es por definici´on el grupo donde est´a matriculado

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5. 20 puntos Sea Q la regi´on s´olida del espacio definida por x2 +y2 +z2 ≤ 1, y z ≥ ZZZ 1 dV . Use coordenadas esf´ericas para hallar el valor de 2 (x + y2 + z2 )2

√

2/2.

Q

6. 20 puntos Calcule, por medio de coordenadas cil´ındricas, el volumen del s´olido limitado inferiormente por el paraboloide z = x2 + y2 , y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 4z. Carl Sagan El entendimiento es una especie de extasis. ´

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