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GUIA DE CONJUNTOS...

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCI ´ON CONCEPCI ´ON ´ ´ FACULTAD CS. FISICAS Y MATEMATICAS

Departamento Ingenier´ıa Matem´atica.

LISTADO 1 -Elementos de Matem´atica (225020) Capitulo II-Conjuntos.

1. Considerando U = {x : x es alumno del curso Elementos de Matem´aticas} y los conjuntos: A = {x ∈ U : x estudia clase a clase} y B = {x ∈ U : x viene a todas las clases}. Usando las operaciones ∩ (Intersecci´on), ∪ (Uni´on), c (Complemento) y − (Diferencia) describa los siguientes conjuntos en funci´on de A y B . a) S1 = {x ∈ U : x no estudia clase a clase} b) S2 = {x ∈ U : x no estudia clase a clase ni viene a todas las clases} c) S3 = {x ∈ U : x estudia clase a clase o viene a todas las clases pero no ambos} Adem´as describa por comprensi´on y con palabras los siguientes conjuntos: d) Ac ∩ B

e) B − A

f) Ac ∪ B c En pr´ actica b) y e)

2. Dado el conjunto A = {2, {3, 4}, 5, 6}. ¿Cu´al o cuales de las siguientes afirmaciones es correcta? a) {3, 4} ∈ A

b) {2, 3, 4} ∈ A

c) {{5}} ⊂ A En pr´ actica

3. Suponga que a ∈ A y b ∈ B. ¿Cu´al o cu´ales de las siguientes afirmaciones es falsa? a) {a, b} ∈ (A ∩ B)

b) {a, b} ∈ (A ∪ B)

c) {{a}, {b}} ⊂ (A ∪ B )

4. Considere U = R y los conjuntos: A = {x ∈ N : x ≤ 7}, B = {x ∈ Z : 0 ≤ x < 3} y C = {x ∈ R : −10 < x − 5 ≤ 10}. Describa por extensi´on los siguientes conjuntos: (a) A y B .

(c) (B − C) ∪ A

(e) P(B )

(b) A ∩ C

(d) A ∩ B

(f) A ∩ B ∩ C

c

En pr´ actica a), e) y f ) 5. Para A y B conjuntos cualesquiera, complete la siguiente tabla: A⊂B A∩B =φ A=φ (A ∩ B)c A−B B−A En pr´ actica la segunda fila

6. Haga un diagrama de Venn con tres conjuntos no vac´ıos A, B y C de modo que: (a) A ⊂ B, C ⊂ B, A ∩ C = φ (b) A ⊂ B, C * B, A ∩ C 6= φ (c) A ⊂ C, A 6= C, B ∩ C = φ (d) A ⊂ (B ∩ C), B ⊂ C, C 6= B, A 6= C En pr´ actica a) y d) 7. Durante una sesi´on de la c´amara de diputados se vot´o una importante Ley que propuso el gobierno. Los resultados fueron los siguientes: Total de votos Votos a favor Votos en contra

21 13 8

Entre los diputados que votaron hab´ıa 10 de oposici´on y 11 de la concertaci´on. Sabiendo que exactamente 2 de estos u ´ltimos votaron en contra de la ley, determine cu´antos diputados de oposici´ on apoyaron la ley del ejecutivo. 8. En un grupo de 1000 estudiantes de Ciencias Biol´ ogicas, 630 toman un curso de Biolog´ıa, 390 toman Qu´ımica, 740 toman Matem´ atica, 440 toman Matem´atica y Biolog´ıa, 250 toman Matem´atica y Qu´ımica y 200 toman Biolog´ıa y Qu´ımica. Adem´as 130 estudiantes toman las tres asignaturas. (a) Trace un diagrama de Venn que ilustre el problema. (b) ¿Cu´antos de los 1000 estudiantes toman s´ olo una asignatura? (c) ¿Cu´antos estudiantes toman exactamente dos asignaturas? 9. Un producto para el aseo, llamado Limpieza sali´ o al mercado. Se encuest´o a mil familias de las cuales 275 contestaron que lo usaban. A las familias encuestadas se ofreci´o a una muestra gratis. Una semana despu´es se pregunt´ o si se estaba usando el producto y 400 familias dijeron que s´ı. Luego se lanz´o una gran campa na publicitaria a trav´es del peri´odico y la televisi´on. Una vez m´as se pregunt´o en los mismos mil hogares si se utilizaba el producto, de los cuales 550 contestaron afirmativamente. Algunos de los resultados de las encuestas est´ an resumidos en la siguiente tabla: Entrevista Primera y Segunda Primera y Tercera Segunda y Tercera Primera, Segunda y Tercera

Usuarios que contestaron si 150 110 250 100

(a) ¿Cu´antas familias aceptaron el producto s´olo despu´es de la muestra gratis?. (b) ¿Cu´antas familias aceptaron el producto s´olo despu´es de la campa na publicitaria?. (c) ¿En cu´antos hogares se utiliz´o siempre el producto?. 10. En un vivero con 1000 matitas de albahaca se aplicaron los fertilizantes F1 , F2 y F3 . Se sabe que a 215 se le aplica F1 ; a 220 se le aplica F2 ; a 205 se le aplica F3 ; a 45 se le aplican F1 y F2 ; a 30 F1 y F3 ; a 35 F2 y F3 . Finalmente 10 reciben los tres fertilizantes. Sin usar diagrama de Venn determine:

(a) ¿Cu´antas plantas no fueron fertilizadas? (b) ¿A cu´antas plantas se les aplic´o solo F1 ? (c) ¿A cu´antas plantas se les aplic´o F1 y F2 , pero no F3 ? En una encuesta a 200 estudiantes se encontr´o que (i) 68 prefieren matem´aticas, 138 son deportistas y 160 son artistas, (ii) 120 son artistas y deportistas, (iii) 20 prefieren matem´aticas pero no son deportistas, (iv) 13 prefieren matem´aticas y son deportistas pero no artistas, (v) 15 prefieren matem´aticas y son artistas pero no deportistas. Determine: (a) ¿Cu´antos prefieren matem’aticas, son artistas y son deportistas?. (b) ¿Cu´antos son artistas y deportistas pero no prefieren matem’aticas?. (c) ¿Cu´antos no prefieren matem’aticas, no son deportistas ni artistas?.

MARZO 2017 FST/fst...