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MATEMÁTICA FRENTE A | CAPÍTULO 04 LOGARITMOS

O logaritmo de um número b (chamado de logaritmando) na base a é o expoente c ao qual a é elevado para resultar no valor b. Simbolicamente podemos representar por:

Juntamente com essas duas relações, porém não sendo cobrada de maneira tão frequente, também é válida a expressão

Essas três relações são conhecidas por consequências da definição. A seguir temos alguns exemplos.

OBSERVAÇÃO A seguir temos alguns exemplos. , pois

.

, pois

.

Para evitar alguns problemas que podem ocorrer posteriormente, vamos garantir que o logaritmando e base do logaritmo sejam números positivos e que a base seja um número diferente de 1. Essas condições são chamadas de condições de existência.

, pois

.

, pois

. , pois , pois

, pois , pois

. .

. .

Os logaritmos são usados para representar números que não são possíveis determinar o valor sem a necessidade de cálculos mais complexos ou ferramentas computacionais. Por exemplo, o valor de x na equação

Observe que os dois últimos exemplos valeriam independentemente de qual fosse a base. Assim, podemos afirmar que , pois

, para todo valor de a.

, pois

, para todo valor de a.

pode ser representado

por . Esse recurso não é novo, já sendo usado em outras situações na Matemática. Por exemplo, para representar o valor positivo de x na equação

, usamos

.

849

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

Essas duas relações são extremamente úteis pois ocorrem com bastante frequência na resolução de questões.

ELEMENTOS DE UMA POTÊNCIA

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

LOGARITMOS

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS OBSERVAÇÃO As equações logarítmicas são equações em que a incógnita está no interior de um logaritmo. Para resolvermos uma equação logarítmica devemos inicialmente isolar o logaritmo em um dos lados da equação e, em seguida, aplicar a definição.

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

QUESTÕES ORIENTADAS

A base igual a 10 é a base “padrão” dos logaritmos que são chamados de logaritmos decimais. Então, em uma situação em que a base seja omitida, devemos considerar que essa base é igual a 10.

QUESTÃO 04

QUESTÃO 01

Há diversas formas de analisar a intensidade de um terremoto. Uma delas é a Escala Richter, que utiliza a

Resolva as seguintes equações logarítmicas.

fórmula

, em que R é a magnitude do

terremoto na escala Richter e E é a energia liberada pelo terremoto na unidade kWh, sendo . Considerando ., se um terremoto atingir a magnitude 7,5 na Escala Richter, a energia liberada por ele, em kWh, será igual a

QUESTÃO 02 (ESPM – Modificada) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a um pequeno povoado. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função onde P é a população, em milhares de habitantes, t anos após o início da ocupação. A população dessa cidade atingiu a marca dos 5,2 mil habitantes após 16 anos. 20 anos. 25 anos. 32 anos. 45 anos.

102,85. 109,1. 1013,4. 1015,1. 1024,1875.

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS São três as principais propriedades dos logaritmos: • logaritmo do produto:

• logaritmo da divisão:

QUESTÃO 03 (U.F.Pelotas – Modificada) A lei que mede o ruído é definida pela expressão , em que I é a intensidade sonora, medida em W/m2 e R é a medida do ruído, em decibéis (dB). Nosso ouvido capta sons a partir de 0dB, e uma conversa normal gira em torno de 60dB. Já em níveis acima de 100dB, apenas 3 minutos já são suficientes para dano às células auditivas. A intensidade sonora 10–12 W/m2 10–2 W/m2 10 W/m2 102 W/m2 1012 W/m2

850

para um som de 100 dB é igual a

• logaritmo da potência:

Ainda existem três outras propriedades de logaritmos. São elas: • logaritmo da potência na base:

• mudança de base:

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

LOGARITMOS

• igualdade de logaritmos:

As propriedades dos logaritmos são usadas em diversas situações. Uma das primeiras é no cálculo de valores de logaritmos, conforme veremos nos exercícios a seguir. QUESTÕES ORIENTADAS

QUESTÃO 05 Calcule os logaritmos a seguir.

QUESTÃO 07 Utilizando os valores encontrados na questão anterior, resolva as equações exponenciais a seguir:

QUESTÃO 08 Em todos os itens da questão anterior, o logaritmando é uma potência da base (ou vice-versa) ou na mais complexa das possibilidades, tanto o logaritmando, quanto a base são potências de um mesmo número. Entretanto, há situações em que isso não ocorre e, nesses casos, devemos recorrer a outras possibilidades (e valores numéricos previamente fornecidos) para o cálculo dos logaritmos, o que será visto no exercício a seguir.

(UFPR) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão

QUESTÃO 06 Sabendo que e um dos logaritmos a seguir.

, calcule cada

Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%?

QUESTÃO 09 Em 2016, uma indústria iniciou a fabricação de certo produto e planeja, nesse ano, alcançar a marca de 6000 unidades produzidas. O projeto de expansão dessa indústria é aumentar essa produção em 20% a cada ano. Suponha que isso realmente ocorra e use

e

, caso necessário. Qual a função que relaciona o número N de unidades produzidas com o tempo t, em anos, decorridos desde 2016? 851

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

Uma aplicação de extrema importância dos logaritmos é a resolução de equações exponenciais em que não é possível obter uma igualdade entre as bases. Nesses casos, aplicamos o logaritmo em ambos os lados da equação e, utilizando as propriedades, obtemos o resultado.

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04 Em que ano a produção atingirá 18000 unidades?

LOGARITMOS

ou

QUESTÃO 10 (EBMSP) No instante quando a quantidade presente de determinada substância radioativa começa a ser monitorada, registra-se

gramas da substância. Depois

de horas, a partir a quantidade, em gramas, de substância remanescente é calculada através da equação

Uma vez que percebemos que a função é a inversa da função , podemos conhecer os gráficos e crescimentos de modo mais simples.

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

GRÁFICO E CRESCIMENTO Considerando-se pode-se afirmar que o tempo necessário para que a quantidade presente dessa substância seja reduzida a metade da quantidade inicial é de

Teremos duas situações: 1° tipo) A base é maior que 1

54 min 1h20 min 1h32 min 1h45 min 2h9 min

OBSERVAÇÃO

2° tipo) A base está entre 0 e 1

Chamamos de logaritmos neperianos (ou logaritmos naturais) aos logaritmos na base e. O número e é um número irracional que vale aproximadamente 2,72. O logex pode ser representado de forma mais simples por ln x .

logex

ln x

Em ambos os casos, ao gráfico da função não intersecta o eixo y já que, devido às condições de existência do logaritmo, devemos ter x > 0.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA É toda função com a forma

, com

e . Para termos uma noção inicial da forma do gráfico de uma função logarítmica, devemos perceber que a função

é a inversa da função

.

Ainda em ambos os casos, o único ponto de intersecção com o eixo x (raiz da função) é x = 1. QUESTÕES ORIENTADAS

QUESTÃO 11 A expressão da inversa será:

Aplicando a definição:

(UEL) Um dos principais impactos das mudanças ambientais globais é o aumento da frequência e da intensidade de fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou regiões habitadas pelo homem, causam danos. Responsáveis por perdas significativas de caráter social, econômico e ambiental, os desastres naturais são geralmente associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas de calor etc. (Disponível em: . Acesso em: 20 maio 2015.)

Em relação aos tremores de terra, a escala Richter atribui

852

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04 um número para quantificar sua magnitude. Por exemplo, o terre-moto no Nepal, em 12 de maio de 2015, teve magnitude 7,1 graus nessa escala. Sabendo-se que a magnitude y de um terremoto pode ser descrita por uma função logarítmica, na qual x representa a energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfico dessa função.

LOGARITMOS

é possível afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da função dada por

(INSPER) Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H+ para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1. Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa (RC) definida por em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R0 é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10.) Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda, em dólares, é

QUESTÃO 12 (PUC-RS) O modelo da cobertura que foi colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo.

Colocada devidamente em um plano cartesiano, 853

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

QUESTÃO 13

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

LOGARITMOS

minutos) necessário para que a cultura tenha 10 84 bactérias é 120 150 175 185 205

QUESTÃO 03 (USF) O número de bactérias de uma determinada cultura t MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

REVISÃO NA PLATAFORMA AULAS 12 3. FUNÇÃO 3.6 Logarítmicas

APOSTILAS 1 resumo + 39 questões

EXERCÍCIOS ONLINE 30 questões CAIU NO ENEM: 7 questões

pode ser modelado utilizando a função B(t) = 800 ×2 40 , sendo B o número de bactérias presentes na cultura e t o tempo dado em horas a partir do início da observação. Aproximadamente, quantas horas serão necessárias para se observar 5.000 bactérias nessa cultura? Considere

10 horas. 50 horas. 110 horas. 150 horas. 200 horas.

QUESTÃO 04 SEÇÃO VESTIBULARES

QUESTÃO 01 (FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICINA) Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de 250 bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproximada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura poderia ser obtido pela expressão em que t é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa, Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura? 325 400 450 525 600

QUESTÃO 02 (ESPCEX) O número N de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela fórmula N(t) = (2,5)1,2t . Considere log10 2 = 0,3, o tempo (em 854

(ACAFE) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente no organismo de um paciente é calculada pela função onde t é o tempo dado em horas. O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quantidade inicial, é: Dado: log 2 = 0,3 13 horas e 33 minutos. 13 horas e 20 minutos. 8 horas e 12 minutos. 6 horas e 40 minutos. 6 horas e 06 minutos.

QUESTÃO 05 (UNICAMP) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740°C. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40°C. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

, sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e TAR a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140°C é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10: minutos. minutos. minutos.

EXERCÍCIOS

o número de 0,6% e usando a aproximação anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente 51. 115. 15. 151. 11.

QUESTÃO 08

minutos.

(INSPE) Uma empresa de transporte de carga estima em 20% ao ano a taxa de depreciação de cada caminhão de sua frota. Ou seja, a cada ano, o valor de seus veículos se reduz em 20%. Assim, o valor V, em reais, de um caminhão adquirido por R$ 100.000,00, t anos após sua compra, é

minutos.

QUESTÃO 06 (UFU) Um indivíduo com uma grave doença teve a temperatura do corpo medida em intervalos curtos e igualmente espaçados de tempo, levando a equipe médica a deduzir que a temperatura corporal T do paciente,

dado por

.

O gráfico a seguir representa os primeiros 3 anos dessa relação.

em cada instante t, é bem aproximada pela função em que t é medido em horas, e T em graus Celsius. Quando a temperatura corporal deste paciente atingir os 40 °C, a equipe médica fará uma intervenção, administrando um remédio para baixar a temperatura. Nestas condições, quantas horas se passarão desde o instante t = 0 até a administração do remédio? Utilize log10 9 = 0,95. 5 6 7 8 9

Pela política da empresa, quando o valor de um caminhão atinge 25% do valor pelo qual foi comprado, ele deve ser vendido, pois o custo de manutenção passa a ficar muito alto.

QUESTÃO 07 (UNESP) No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função

em que D(t)

representa a área de desmatamento no instante t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t = 0, e k a taxa média anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja

Considerando a aproximação log2 = 0,30 , os caminhões dessa empresa são vendidos aproximadamente: 3 anos após sua compra. 4 anos após sua compra. 6 anos após sua compra. 8 anos após sua compra. 10 anos após sua compra.

QUESTÃO 09 (ACAFE) Dentre os carros que mais desvalorizam, os carros de luxo são os que mais sofrem depreciação. Na compra de um carro de luxo no valor de R$ 120.000,00, 855

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04 o consumidor sabe que o modelo adquirido sofre uma desvalorização de 10% ao ano, isto é, o carro tem, a cada instante, um valor menor do que o valor que tinha um ano antes. Para que o carro perca 70% do seu valor inicial, é necessário que se passe entre: (Use log3 = 0,477) 9 e 10 anos. 12 e 13 anos. 10 e 11 anos. 11 e 12 anos. 13 e 14 anos.

QUESTÃO 10 (UPE) Terremotos são eventos naturais que não têm relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter consequências ambientais devastadoras, especialmente quando seu epicentro ocorre no mar, provocando tsunamis. Uma das expressões para se calcular a violência de um terremoto na escala Richter é onde M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada (em joules) e E0 = 104,5 joules é a energia liberada por um pequeno terremoto usado como referência. Qual foi a ordem de grandeza da energia liberada pelo terremoto do Japão de 11 de março de 2011, que atingiu magnitude 9 na escala Richter? 10

14

joules

10

16

joules

10

17

joules

10

18

joules

10

19

joules

QUESTÃO 11 (IFPE) Nas aplicações financeiras feitas nos bancos são utilizados os juros compostos. A expressão para o cálculo é CF = CO (1 + i)T em que CF é o montante, CO é o capital, i é a taxa e T o tempo da aplicação. Como CF depende de T, conhecidos CO e i, temos uma aplicação do estudo de função exponencial. Um professor, ao deixar de trabalhar em uma instituição de ensino, recebeu uma indenização no valor de R$ 20.000,00. Ele fez uma aplicação financeira a uma taxa mensal (i) de 8%. Após T meses, esse professor recebeu um montante de R$ 43.200,00. Qual foi o tempo T que o dinheiro ficou aplicado? Use log (1,08) = 0,03 e log (2,16) = 0,33

856

EXERCÍCIOS

10 11 12 13 14

QUESTÃO 12 O iodo-131 é um elemento radioativo utilizado em exames de tireóide e possui meia vida de 8 dias. Um material com 1 g de iodo-131 precisa aguardar um certo tempo para ser descartado de modo a não haver prejuízo ao meio ambiente. Sabendo que para o material poder ser descartado com segurança, a máxima quantidade de iodo131 na amostra deve ser 10–6 g e usando, caso necessário,

log 2 = 0,30 e log 3 = 0, 48 , o tempo mínimo que se deve aguardar para o descarte desse material é de 180 dias. 160 dias. 120 dias. 80 dias. 40 dias.

QUESTÃO 13 A dívida externa de um país é dada pela expressão , sendo D, em bilhões de dólares e t o tempo, em anos, considerando t = 0 o momento atual. Considerando log 2 = 0,30 e log1,05 = 0,021 , após quanto tempo a dívida desse país alcançara 13,55 bilhões de dólares se não houver pagamentos desde então? 25 anos. 37 anos. 49 anos. 63 anos. 96 anos.

QUESTÃO 14 O nível de ruído sonoro R, em decibéis (dB), é dado pela expressão R = 120 + 10log I , sendo I a intensidade sonora, em W/m2. Se duas fontes sonoras F1 e F2 produzem ruídos iguais a 100 dB e 80 dB, respectivamente, e possuem

intensidades sonoras I1 e I2, calcule vezes I1 é maior que I2? 10 20 50 100 1000

I1 I2

, ou seja, quantas

MATEMÁTICA - FRENTE A - CAPÍTULO 04

EXERCÍCIOS

QUESTÃO 15 (UFP) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:

t = log

t=

log15 2logQ

1 Q t = log 2 15 t = log

Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?

15 Q

Q2 225

QUESTÃO 18 (UDESC) No século XVII, os logaritmos foram desenvolvidos com o objetivo de facilitar alguns cálculos matemáticos. Com o uso dos logaritmos e com tabelas previamente elaboradas era possível, por exemplo, transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações. Com o auxílio dos logaritmos era possível também realizar, de forma muito mais rápida, as operações de radiciação.

150 lumens. 15 lumens. 10 lumens. 1,5 lumens. 1 lúmen.

QUESTÃO 16

A tabela a seguir é um pequeno exemplo do que era uma tabela de logaritmos...