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"Aprender sin reflexionar, es malgastar la energía" energía". — Confucio

LOGARITMOS Por M.Sc. Carlos Cifuentes Cruz

Un poco de historia •  A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, eran debido a la: •  Expansión comercial, •  Cálculo de las riquezas acumuladas, •  Perfeccionamiento en técnicas de navegación, •  Cálculos aplicados a la astronomía.

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•  Los logaritmos se inventaron con el propósito de simplificar, en especial a los astrónomos, las engorrosas multiplicaciones, divisiones y raíces de números con muchas cifras. •  El concepto de logaritmo se debe al suizo Jobst Burgi (1552-1632), relojero y matemático, su nombre tiene un significado muy explicativo: logaritmo significa ´´ número para el cálculo ´´ y la desarrolló en 1586. 10/07/15

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•  El escocés JOHN NAPIER (1550-1617) enseguida lo aprovechó para publicar en 1614 su obra ´´ Descripción de la maravilla regla de los logaritmos ´´. La palabra se origina de ´´logos ´, razón y ´´ árithmos ´, número. •  La idea clave: Trabajar con los exponentes de potencias es más fácil. •  Henry Briggs (1561-1630) propuso a Napier la creación de tablas utilizando potencias de 10, fue quien construyó estas tablas llamadas logaritmos vulgares o de Briggs 4 10/07/15

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Logaritmación

•  Logaritmación es una operación inversa de la potenciación, consiste en calcular el exponente cuando se conocen la base b y la potencia N. 10/07/15 M,Sc. Carlos Cifuentes Cruz

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Definición de logaritmo •  Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N. 10/07/15

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Expresión de los logaritmos •  Los logaritmos se expresan de dos formas: Forma exponencial y forma logarítmica. Estas expresiones son convertibles de la una a la otra. Propuesta por Leonhard Euler (1707-1783) en su ´Íntroductio in analysin infinitorum ´´en 1748.

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Identidad fundamental de los logaritmos •  Si el logaritmo de un número es exponente de su propia base, entonces es igual número N.

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Observaciones generales de los logaritmos i) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.

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Observaciones generales de los logaritmos ii) El logaritmo de la base es igual a la unidad.

"Aprendí Aprendí que no se puede dar marcha atrás, que la esencia de la vida es ir hacia adelante. La vida, en realidad, es una calle de sentido único único”. Agatha Christie

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Propiedades generales de los logaritmos 1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores factores.

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Propiedades generales de los logaritmos 2) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Calcula

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log 3 18

si

log 3 12 = a

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Propiedades generales de los logaritmos 3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

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Cambio de base

Consecuencia:

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Toda persona merece tener a otra que la valore, que la respete, que la ame, y sobre todo, que se lo demuestre. carcifu

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Simplificar: 7log 16 + 5log 25 + 3log 81 15) 24 ) 80)

(

36

log6 5

1"log 2

+10

1 log 5 3

(

log9 36

"3

" 27log 9 36 " 3

81

# log%11"log 1 3•log $ 3

(

)

log 7 + 5 2 + 8log 2 3

"1 % 8 +$ ' # 3& 10/07/15

(

(

(

4 log 7 9

1& 3 ( 3'

)

(

2 + 1 + 7log

)

(

2 " 1 + 2log 3 " 2 2

)

1 2

+ log 81 27 M,Sc. Carlos Cifuentes Cruz

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GRÁFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

f ( x) = a

Dominio = R

x

Rango=]]0 ;∞ ∞[

y

y

4

4

3

3

2

2

1

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−3

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

Gráfica de f para a > 1 10/07/15

x −4

2

3

4

Gráfica de f para 0 < a < 1

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Despejar la variable indicada •  Despejar x

•  Despeja t

# x% " y = 1"e z% $

zt 2 & w

q(x) : 3x+1 + 3x + 3x"1 = 39

( ( '

x

2 "2 y= 2

"x

ln (x+4)=2y+ln c

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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO La gráfica de la función logaritmo se obtiene r e fl e j a n do l a f u nc i ó n exponencial en la función identidad

y = ax

y

Características: FUNCION y = a x y = log a x

a >1 DOMINIO

IR

(0, ∞)

(0, ∞)

IR

ASÍNTOTA

Horizontal y =0

Vertical x =0

CRECIMIENTO

creciente

creciente

RANGO

4

3

2

f ( x) = a

x

y = log a x

1

xx −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

a >1

FUNCIONES UNO A UNO

−1

y=xy = x

−2

−3

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−4

f ( x) = log a x M,Sc. Carlos Cifuentes Cruz

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Función logarítmica y exponencial Creciente a=2 • Creciente Pasa por P(1,0) • Pasa Asíntota x=0 • Asíntota Dominio: R+ • Dominio: y= log2 x (FUNCIÓN LOGARÍTMICA LOGARÍTMICA) 10/07/15

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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO Si 01 $ $ f (x) > g(x) # f (x) > 0 $ $ g(x) > 0 % M,Sc. Carlos Cifuentes Cruz

"0 < a 0 $ $ g(x) > 0 % 56

Calcula p(x) :

3

2

3 x"1 x"1...