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Lara Martin

07.09.2020

Gruppe: 14.9 Betreuer: Jürgen Seehase

Versuchprotokoll: M1a freie und erzwungene Schwingungen 1. Inhaltsverzeichnis 2. Einleitung -------------------------------------------------------------------------------- Seite 1 3. Theoretische Grundlagen -------------------------------------------------------------- Seite 1 4. Versuchsaufbau und -durchführung -------------------------------------------------- Seite 4 5. Tagesprotokoll des Experimentierens ------------------------------------------------ Seite 6 6. Auswertung und Diskussion ----------------------------------------------------------- Seite 10 7. Fazit --------------------------------------------------------------------------------------- Seite 16 8. Literaturverzeichnis --------------------------------------------------------------------- Seite 16

2. Einleitung In den folgenden Versuchen sollen die freie und die erzwungene Schwingung am Beispiel der Drehschwingung des Pohlschen Pendels untersucht werden. Dabei werden unter anderem Eigenfrequenz, Dämpfung und diverse Grenzfälle der freien Schwingung betrachtet. Außerdem führt man mit einer Erregerfrequenz eine erzwungene Schwingung herbei. Hierbei sollen Amplitude, Phasenverschiebung, Abhängigkeit von der Erregerfrequenz und Resonanz untersucht werden. [1]

3. Theoretische Grundlagen - Energien und Kräfte bei Schwingungen Eine Schwingung entsteht dadurch, dass ein System durch äußere Krafteinwirkung aus seinem Gleichgewichtszustand gebracht wird. Man teilt Schwingungen in zwei Gruppen ein, die gedämpften und ungedämpften freien Schwingungen und die erzwungenen Schwingungen. Eine freie Schwingung entsteht, wenn man ein System nach der äußeren Krafteinwirkung frei Schwingen lässt, ohne weiter drauf einzuwirken. Bei einer erzwungenen Schwingung wird (z.B. durch eine Erregerfrequenz) ständig auf das System eingewirkt. Für jede Schwingung gilt generell der Energieerhaltungssatz. Das ergibt für das Beispiel des Federpendels folgende Gleichung: Eges = Epot + Ekin. Die Gesamtenergie eines idealen Pendels 1

ist somit immer konstant. Ein solches Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist das Kennzeichen einer Schwingung. [2] - Größen einer Schwingung Amplitude:

Betrag der maximalen Auslenkung in y-Richtung (Wellenberg,

Wellental) Schwingungsdauer T: kleinstes Zeitintervall in dem die Schwingung einmal durchlaufen wird Frequenz f:

Anzahl

der

Schwingungen

pro

Zeitintervall,

Kehrwert

der

Schwingungsdauer Periodizität:

Das wiederkehrende Auftreten einer Schwingung in einem bestimmten Zeitintervall

Wellenlänge λ:

kleinster Abstand zwischen zwei Punkten gleicher Phase [3]

- Eigenfrequenz und Eigenenergie Ein System schwingt mit seiner Eigenfrequenz, wenn keine äußeren Kräfte auf es einwirken. Eine solche Schwingung wird freie Schwingung genannt. [4] - Dämpfung Einer Schwingung kann durch äußere Reibung Energie entzogen werden. Dieser Effekt nennt sich Dämpfung und führt zu einer Abnahme der Amplitude. In Stoßdämpfern, die z.B. in Autos und Fahrrädern verbaut werden, macht man sich die Dämpfung zunutze, um Schäden durch Materialermüdung zu verhindern und den Fahrkomfort zu erhöhen. [1] - aperiodischer Grenzfall

Als aperiodischen Grenzfall bezeichnet man eine freie gedämpfte Schwingung, bei der 𝛽! = 0

ist. Dann folgt aus der allgemeinen Lösung der Gleichung für ungedämpfte Schwingungen: 𝜑 (𝑡) = ' 𝑒 "#$ (𝐴𝑒 %$ + 𝐵𝑒 "%$ ) 𝜑(𝑡) = ' 𝜑& (1 + 𝛿𝑡) ∙ 𝑒 "#$

Nach der Auslenkung bewegt sich das Pendel damit sofort, ohne eine Schwingung auszuführen, in die Nulllage. [1] - Kriechfall

Als Kriechfall bezeichnet man eine freie gedämpfte Schwingung, bei der 𝛽! > '0 ist. Dabei ist

𝛽 reel und der Ausschlag des Pendels nimmt aufgrund von 𝜑(𝑡) = ' 𝑒 "#$ (𝐴𝑒 %$ + 𝐵𝑒 "%$ )

exponentiell ab. Der Unterschied zwischen den beiden Fällen liegt darin, dass der Kriechfall eine größere Abklingzeit hat. [1]

2

- Translations- und Rotationsschwingungen Bei einer Translationsschwingung erfahren alle Punkte des schwingenden Objekts gleichzeitig dieselbe Verschiebung. Das Objekt schwingt innerhalb der drei Freiheitsgrade der Translation (x,y,z). [5] Bei einer Drehschwingung bewegt sich das schwingende Objekt um eine Rotationsachse. Es schwingt also innerhalb der drei Freiheitsgrade der Rotation (rollen, gieren, nicken). [6] - Winkelrichtgröße Die Winkelrichtgröße oder auch Direktionsmoment ist die Proportionalitätskonstante und wird in

' angegeben. (

Sie entspricht der Feldkonstanten beim Hook’schen Gesetz. [7]

- Schwingungsbewegungsgleichung für den ungedämpften und gedämpften Fall Die Schwingungsbewegungsgleichung für den ungedämpften Fall lautet:

𝜃𝜑)) + 𝐷𝜑 = '0

Hierbei steht 𝜃 für das Trägheitsmoment, D für die Winkelrichtgröße und 𝜑 für den

Drehwinkel. Um

die

Gleichung

für

den

gedämpften

Fall

zu

erhalten,

muss

man

einen

geschwindigkeitsabhängigen Term hinzufügen, damit folgt dann: 𝜃𝜑)) + 𝑟𝜑′ + 𝐷𝜑 = '0

r wird dann als Reibungskonstante bezeichnet. [1] - Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung Die Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung ist der, der gedämpften ähnlich und lautet:

𝜃𝜑)) + 𝑟𝜑 ) + 𝐷𝜑 = ' 𝑀* cos'(𝜔𝑡)

wobei 𝑀* das Drehmoment des Erregers ist. Berechnet wird 𝑀* durch das Produkt aus D und 𝜑* , der Amplitude des Erregers. 𝜔 ist in diesem Fall die Erregerfrequenz. [1]

- Resonanz und Resonanzkatastrophe

Als Resonanz bezeichnet man einen Vorgang, wenn die Amplitude bei einer erzwungenen Schwingung maximal wird. Sie tritt auf, wenn 𝜔 ≈ ' 𝜔& ist. Es gilt: 𝜔! = ' 𝜔!+ = ' 𝜔!& − 2𝜕 !.

> gegen unendlich strebt, da die Eine Resonanzkatastrophe tritt dann auf, wenn die Amplitude 𝜑

Dämpfung verschwindet. Die Resonanzkatastrophe beendet damit das schwingende System. [1] - Phasenverschiebung und deren Abhängigkeit von Frequenz und Reibung

Allgemein gibt die Phasenverschiebung 𝜑 den Versatz einer Schwingung an. [8] Sie lässt sich mit 𝜑 = arctan(.

!∙-#. !"

# "-.$

) berechnen.

3

Es gibt drei Fälle zwischen denen unterschieden wird: 𝜔/0 < ' 𝜔& : Phasenverschiebung < 90°

𝜔/0 = ' 𝜔&- : Phasenverschiebung = 90° 𝜔/0 > ' 𝜔& : Phasenverschiebung > 90° [9]

4. Versuchsaufbau und -durchführung Beschreibung des Versuchsaufbau Die Schwingungsphänomene werden mit dem Pohl’schen Drehpendel untersucht. Für die Aufgabenteile, bei denen die Schwingung gedämpft wird, wird ein Labornetzteil verwendet, an das die Spulen der Wirbelstrombremse angeschlossen sind. Spannung und Strom können direkt abgelesen werden; zum Einstellen des Dämpfungsstroms nicht den Stromregler, sondern den Spannungsregler verwenden. Der Stromregler am Netzteil bleibt auf Rechts- anschlag. Mit einer elektronischen Stoppuhr wird mit dem Initiator I die Eigenfrequenz des Oszillators gemessen. Der Initiator I ist hinter dem Zeiger des Drehpendels befestigt. Was folgt für die Anzahl der gemessenen Schwingungen?

4

Versuchszubehör

Abb. 2: Versuchsaufbau •

Drehpendel mit Wirbelstrombremse und Erregermotor

•

Motorsteuergerät

•

Netzgerät

•

Frequenzgenerator

•

elektronische Stoppuhr

Versuchsdurchführung Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Eigenfrequenz ω ≈ ω0 der schwach gedämpften Schwingung (Spulenstrom I = 0 A). Aufgabe 2 Messen Sie für die Stromstärken 0,2A und 0,4A die Dämpfungskonstante δ der freien Schwingung. Hierzu wird die Amplitude φ als Funktion der Zeit bestimmt. Die Abhängigkeit φ(t) liefert in einer halblogarithmischen Darstellung eine Gerade, deren Steigung ergibt die Dämpfungskonstante. Ermitteln Sie daraus die Dämpfungszeit τ. Aufgabe 3 Realisieren Sie den aperiodischen Grenzfall und den Kriechfall. Geben Sie die Dämpfungsstromstärke für den aperiodischen Grenzfall an. Bei der Bestimmung des aperiodischen Grenzfalles und des Kriechfalles darf die Dämpfungsspule nur kurzzeitig (maximal 15 s) belastet werden. 5

Aufgabe 4 Bestimmen Sie zum einen die Resonanzkurven der erzwungenen gedämpften Schwingungen für die Dämpfungsstromstärken I1 = 0,2 A und I2 = 0,4 A. Hierbei ist das Verhältnis φ v(ω)/φE gegen die Erregerfrequenz aufzutragen. Zum anderen geben Sie durch Beobachtung und Rechnung die Phasendifferenz ψ an für die Fälle: a) ω ≪ ω0 (Erregerfrequenz klein gegen Eigenfrequenz) b) ω = ω0 (Erregerfrequenz gleich Eigenfrequenz) c)

ω

≫

ω0

(Erregerfrequenz

groß

gegen

Eigenfrequenz)

Ermitteln Sie die Halbwertsbreite ∆ω der Resonanzkurven und zeigen Sie, dass ∆ω ≈ 2/τ gilt.

Anmerkung zur Versuchsdurchführung Zu Aufgabe 1 Messen Sie die Dauer von jeweils zehn Schwingungen. Wiederholen Sie die Messung

mehrmals

und

mitteln

Sie

die

Einzelmessungen.

Zu Aufgabe 2 Lesen Sie den Endausschlag jeder Schwingung auf einer Seite (wahlweise links oder rechts) ab; nehmen Sie die Periodendauer T = 2π/ω0 als konstant an. Zu Aufgabe 4 Warten Sie immer den Einschwingvorgang ab (Amplitude nahezu konstant). Lesen Sie sowohl den Linksausschlag als auch Rechtsausschlag ab und berechnen Sie die Amplitude. Führen Sie dies für mindestens sieben verschiedene Frequenzen durch. Dabei soll die Erregerfrequenz so gewählt werden, dass die komplette Resonanzkurve dargestellt werden kann. Der Schrittmotor für die Erregerfrequenz hat eine Schrittweite von 1,8°; die Schrittmotorsteuerung steuert den Motor mit Halbschritten an. Deshalb werden für eine komplette Umdrehung des Schrittmotors 400 Impulse benötigt. Die Steuerfrequenz wird von einem Funktionsgenerator geliefert.!

5. Tagesprotokoll des Experimentierens Amplitudenangaben alle in Skt („Skalenteilen“) ∆Skt = 0,01 A ∆I = 0,001 A 6

∆t = 0,01 s Aufgabe 1: Bestimmen der Eigenfrequenz ω ≈ ω0 Tabelle 1: für I= 0 A

Aufgabe 2: Ermitteln der Dämpfungszeit τ Tabelle 2: für I= 0,2 A •

Auslenkung x = - 70 Skt

•

Messdauer: 17,7 s

7

Tabelle 3: für I=0,4 A •

Auslenkung x = - 92 Skt

•

Messdauer: 21,4 s

8

Aufgabe 3: Realisieren des aperiodischen Grenzfalls und dem Kriechfalls Aperiodischer Grenzfall: • I = 1,564 A • U = 17,48V Kriechfall: •

I = 1,604 A

•

U = 17,80 V

Aufgabe 4: Resonanzkurve Tabelle 4: für I= 0,2 A

9

Tabelle 5: für I= 0,4 A

Für die Erstellung des Resonanzdiagramms: Welche Rolle spielt Φerr dabei für den qualitativen Verlauf der Resonanzkurve?

6. Auswertung und Diskussion Aufgabe 1 In diesem Versuch soll die Erregerfrequenz eines Pohlschen Pendels bestimmt werden. Dazu wurde die Schwingungsdauer des Pendels über jeweils 5 Messungen bei 5 verschiedenen Anfangsamplituden bestimmt.

Auslenkung in Skt 35

1 𝑛G = ' ' × J 𝑍1 𝑛1 𝑍 1

Mittelwert 𝑛G von T in s 1,774

50

1,778

70

1,778

90

1,776

110

1,778

Tabelle 6: Mittelwerte der Periodendauer mit zugehörigen Auslenkungen Mittelwert der Periodendauer der verschiedenen Auslenkungen:

𝑛G = ' 3 ' × ∑ 1 𝑍1 𝑛1 = 4 × (1,774's + 1,778's + 1,778's + 1,776's + 1,77's)= 1,7768 s 2

2

10

2𝜋

s1 2𝜋 =' = 3,5362' !5 !5 2 W × ∆𝑡 = ' W− W × 0,01𝑠 = ±0,0199' < '' Fehlerrechnung: ∆𝜔 = W W´ × ∆𝑡 = '𝑇W− % 1,7768𝑠 % !5

𝜔& = '

6

(2,99:; 180° + (- 0,315)°= 179,69° Die Werte der Phasendifferenz zeigen bei 𝜔2 < 𝜔& eine annähernde Phasengleichheit, bei

𝜔! ≈ 𝜔& eine annähernde Phasenverschiebung von 90° und bei 𝜔B > 𝜔& eine annähernde

Gegenphasigkeit. Bei einer Identität müssten die Phasendifferenzen genau die Werte 0°, 90°

und 180° annehmen. Dadurch stellt sich heraus, dass die berechneten Werte von den Idealwerten, aufgrund von Ablesefehlern und Schwankungen der Dämpfungsstromstärke, abweichen. Halbwertsbreite: I = 0,2 A: Δ𝜔 = 3,675'

I = 0,4 A: Δ𝜔 = 3,875'

IJK <

IJK <

− 3,25'

IJK

− 3,075'

für I = 0,2 A: ∆𝜔 = 0,1325' für I = 0,4 A: ∆𝜔 = 0,4651

IJK

<

= 0,425'

IJK <

= 0,8'

IJK <

''

IJK <

2 Δ𝜔' ≈ ' 𝜏

<

IJK <

Das Gesetz konnte nicht nachgewiesen werden, da die graphischen Werte eine große Abweichung von den rechnerischen darstellen.

15

7. Fazit In Aufgabe eins wurde festgestellt, dass Schwingungsdauer und Eigenfrequenz nicht von der Amplitude abhängen. Aus Aufgabe zwei folgt eine Antiproportionalität von Dämpfungsstromstärke und Dämpfungszeit,

sowie

eine

Proportionalität

von

Dämpfungsstromstärke

und

Dämpfungskonstante. In Aufgabe drei stellt sich heraus, dass man durch Variation der Dämpfungsstromstärke das resultierende Schwingungsphänomen beeinflussen kann. Aufgabe vier macht deutlich, dass die Amplitude mit Zunahme der Frequenz steigt und sich daraus eine typische Resonanzkurve ergibt. Aus dem Graphen lässt sich die Halbwertsbreite bestimmen. Als Fehlerquelle dieses Versuchs sind Ablesefehler durch Erschütterung und zu wenig Nachkommastellen in der Anzeige des Geräts zu nennen.

8. Literaturverzeichnis [1] Skript zum Praktikum: Physikalische Anfängerpraktikum für Chemiker/-innen. 2020. Leven, Britta. Veröffentlich von der TU Kaiserslautern. [2]

https://www.leifiphysik.de/mechanik/mechanische-

schwingungen/grundwissen/energiebetrachtung-bei-harmonischen-schwingungen Zugriff am 06.09.2020 [3]

https://www.ingenieurkurse.de/physik/schwingungen/ungedaempfte-harmonische-

schwingungen/amplitude-schwingungsdauer-frequenz.html Zugriff 04.09.2020 [4]

https://studyflix.de/ingenieurwissenschaften/eigenfrequenz-und-freie-schwingung-1531

Zugriff am 04.09.2020 [5] https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Translation_(Physik) Zugriff 04.09.2020 [6]

https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Translation_(Physik)

Zugriff

am

04.09.2020 [7] Ulrich Haas. Physik. 7. Auflage. Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft Stuttgart, 2012. [8]

chemgaPedia,

Aufzeichnung

und

Darstellung

von

Schwingungen;

(http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/schwingungen/aufzei

16

chnung/aufzeichnung.vlu/Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/schwingungen/aufzeichnung/auf _phase.vscml.html) aufgerufen am 05.09.2020 [9] Skript zur Vorlesung: Experimentalphysik für Chemiker und Biologen. 2019 und 2020. Stefan Lach

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