M3 Koordinatentrafo TM Tumbwl WS1819 PDF

Preview

Summary

Formelsaamlung...

Description

WS 2019/20 Koordinatentransformation

3. Merkblatt zur Technischen Mechanik für TUM-BWL im WS 2019/20 Basis eines Vektorraums Ein System von n unabhängigen Vektoren ei , i = 1, . . . n, stellt eine Basis des n-dimensionalen Raums Rn dar, d.h. jedes Element v des Rn ist darstellbar als Linearkombination der Basisvektoren:   v1 .   .  v = v1 e1 + v2 e2 + · · · + vn en ,  .  ist die Koordinatendarstellung von v bzgl. der Basis. vn

Wir beschränken uns auf orthonormale Basen, d.h. die Basisvektoren ei haben alle die Länge 1 und stehen senkrecht aufeinander, d.h. ausgedrückt über das Skalarprodukt zweier Basisvektoren: ( 1, i = j . ei · ej = 0, i 6= j Sonderfall R2 - die Ebene Die Standardbasis des R2 besteht aus den orthonormalen Vektoren ex , ey . Diese definieren die Achsen des Standard-xy-Koordinatensystems. Koordinaten eines Punkts im R2

Die Lage eines Punktes P in der Ebene, aufgespannt durch die Basis ex , ey , wird durch ein Koordinatenpaar P xy = (px , py ) beschrieben. Ausführlich sind die Koordinaten die Koeffizienten derjenigen Linearkombination der Basisvektoren, die den Vektor p liefert der den Ursprung des Koordinatensystems mit dem Punkt P verbindet. y

P p

ey 2ex ex

P : P xy = (px , py ) = (2, 2.5) 2.5ey

p = px ex + py ey = 2 ex + 2.5 ey x

Skizze eines einfachen Beispiels: Koordinaten eines Punktes im R2

Basiswechsel - Koordinatentransformation Ein typisches Problem ist es, die Koordinaten eines Punktes in einem anderen Koordinatensystem angeben zu wollen. D.h. gegeben sei die Basis ex , ey sowie die Koordinaten eines Punktes P bzgl. des von ihnen gebildeten Koordinatensystems, P xy = (px , py ). Weiter ist eine zweite orthonormale Basis eξ , eη gegeben. Wir beschränken uns auf den Fall, dass beide Koordinatensysteme denselben Ursprung haben, d.h. durch Drehung um einen Winkel ϕ ineinander überführt werden können. Die Basisvektoren eξ , eη , selbst Vektoren des R2 , können als Linearkombination der Basisvektoren ex , ey dargestellt werden: eξ = a11ex + a12 ey , eη = a21 ex + a22 ey

↔

" # eξT eηT

=T

" # exT eT y

,

wobei T =

a11 a21

a12 a22

!

.

Mit eT ∗ bezeichnen wir den transponierten, d.h. als Zeilenvektor dargestellen Basisvektor.

Betreuer: M.Sc. C. Wölfle Lehrstuhl c für Werkstoffkunde und Werkstoffmechanik, TUM

3. Merkblatt zur TM TUM-BWL im WS 2019/20 Seite 1

WS 2019/20 Koordinatentransformation

Die Koordinaten des Punktes P im ξη-System, P ξη = (pξ , pη ), berechnen sich dann gemäß ! ! pξ px . =T · py pη Beispiel: y

Gegeben ist der Punkt P mit Koordinaten P xy = (1, 1) im Koordinatensystem xy. Bestimmen Sie seine Koordinaten im Koordinatensystem ξη , welches aus Drehung um 45◦ aus dem System xy hervorging.

ξ

η P ϕ= 45◦

x

Ausdrücken der Basisvektoren eξ und eη in Abhängigkeit von ex und ey liefert: 1 1 eξ = √ (ex + ey ) , eη = √ (−ex + ey ) 2 2

⇒

Damit ergeben sich die neuen Koordinaten: ! ! ! ! 1 √ √1 pξ px 1 2 2 = = =T · · 1 py pη − √1 2 √12

T =

√ ! 2 0

√1 2 − √12

→

√1 2 √1 2

!

=

cos ϕ

sin ϕ

!

− sin ϕ cos ϕ

.

P ξη = (2, 0) ,

was mit der Anschauung übereinstimmt.

Anwendung auf Tensoren Tensoren (2. Stufe) beinhalten richtungsabhängige Information über eine gerichtete Größe. Beispiel: Spannungen in die verschiedenen Richtungen in einem orientierten Schnitt werden in der Gestalt des Spannungstensors (2. Stufe) beschrieben. So beinhaltet der Spannungstensor im Raum, dargestellt als 3 × 3 - Matrix, Information über die Spannungen in Richtung der Koordinatenachsen auf den möglichen Schnittflächen senkrecht zu den 3 Koordinatenachsen (Würfelflächen → 9 Einträge).

Beschränken wir uns wieder auf den R2 , also etwa den Spannungstensor des ebenen Spannungszustandes, so gibt dieser in Form einer 2 × 2 - Matrix Auskunft über die Spannungen in Richtung der beiden Achsen auf den Flächen senkrecht zu beiden Achsen: ! σ x τxy xy σ = . τxy σ y Um nun die Spannungen auf davon abweichend orientierten Flächen abzuleiten bietet es sich an, das allgemeine Konzept der Koordinatentransformation zu nutzen. Für Tensoren gilt die Transformationregel: σ ξη = T · σ xy · T −1 , wobei bei der vorliegenden Einschränkung auf Koordinatensysteme, die durch Drehungen um den Ursprung ineinander übergehen, T eine orthonormale Matrix ist, und damit T −1 = T T . Geht das ξη-System durch positive Drehung (=gegen den Uhrzeigersinn) um den Winkel ϕ aus dem xy-System hervor, so ergibt sich konkret:

Betreuer: M.Sc. C. Wölfle Lehrstuhl c für Werkstoffkunde und Werkstoffmechanik, TUM

3. Merkblatt zur TM TUM-BWL im WS 2019/20 Seite 2

WS 2019/20 Koordinatentransformation

σξ ση τξη

1 1 (σx + σy ) + (σx − σy ) cos 2ϕ + τxy sin 2ϕ = 2 2 1 1 (σx + σy ) − (σx − σy ) cos 2ϕ − τxy sin 2ϕ = 2 2 1 = − (σx − σy ) sin 2ϕ + τxy cos 2ϕ 2

Betreuer: M.Sc. C. Wölfle Lehrstuhl c für Werkstoffkunde und Werkstoffmechanik, TUM

ση

σy

y

η

τyx

τηξ

τξη σξ

ξ

τxy σx

σx τxy

x

τyx

ϕ

σy

3. Merkblatt zur TM TUM-BWL im WS 2019/20 Seite 3...