MARY - Appunti presi da me in preparazione all’esame PDF

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Appunti presi da me in preparazione all’esame...

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PERCENTUALI !

Problema Il valore di un titolo azionario è aumentato del 7%. Se x era il suo valore all’inizio, quale delle seguenti espressioni rappresenta il suo valore alla fine?! !

Problema Sono dati un rettangolo di dimensioni x, y e il rettangolo ottenuto aumentando del 10% una! dimensione del primo e diminuendo del 10% l’altra.! Com’è l’area del secondo rettangolo rispetto a quella del primo?! UGUALE, MAGGIORE, MINORE, NON SI PUÒ DIRE DIPENDE DAI CASI. Consideriamo un quadrato di lato 10 cm.! Area: 100 cm2! Dopo la trasformazione, si ha un rettangolo di lati 9 cm e 11 cm. Area: 99 cm2 —> In questo caso diminuisce.!

A: b x h

Consideriamo un rettangolo di base 9 cm e altezza 1 cm.! Area: 9 cm2! Aumentando la base e diminuendo l’altezza si ha un rettangolo di base 9.9 cm e altezza 0.9 cm.! Area: 8.91 cm2 —> Anche in questo caso diminuisce! Stesso rettangolo di base 9 cm e altezza 1 cm, area: 9 cm2.! Aumentando l’altezza e diminuendo la base si ha un rettangolo di base 8.1 cm e altezza 1.1 cm.! Area: 8.91 cm2 8.91=0.99x9 —> In tutti gli esempi visti diminuisce! !

Problema Il numero di batteri di una coltura aumenta in un’ora del 30%. Nell’ora successiva viene sperimentato un antibiotico che porta il numero dei batteri a ridursi del 30%. Che si può dire del numero dei batteri presenti dopo 2 ore rispetto al numero iniziale?! Se x è il numero iniziale, allora dopo un’ora sono presenti 1.3 x batteri.! Il 30% di 1.3x è 0.39x.! Quindi dopo due ore i batteri rimanenti sono 1.3x-0.39x = 0.91x!

Problema Una partita di angurie dal peso (massa) iniziale di 500 kg viene stoccata per una settimana in un magazzino. All’inizio la percentuale di acqua contenuta nelle angurie è il 99% del loro peso, alla fine dello stoccaggio, a causa dell’evaporazione, tale percentuale è scesa al 98%. Quanto pesano alla fine le angurie?! La componente secca delle angurie (tutto ciò che non è acqua) rimane invariata.! Componente secca = 1% di 500 kg = 5 kg! Alla fine la componente secca è sempre di 5 kg,! Calcolare proporzioni come! ma rappresenta il 2% del peso finale (x).! 500 : 99 = x : 98! non ha senso in quanto 99% e 98% sono legate alla quantità di acqua, non alla massa totale. Problema

Problema ! Il valore di un titolo azionario è aumentato del 25%. Se x è il suo valore alla fine, quale espressione rappresenta il suo valore all’inizio?! Il valore di un titolo azionario è aumentato del 25%. Se x è il suo valore alla fine, quale espressione rappresenta il suo valore all’inizio?! Se y è il valore iniziale, allora x=1.25y. Quindi:! Problema Una ditta stabilisce che il prezzo di alcuni interventi su un appartamento è di 12000€ più IVA al 10%. Qual è il prezzo degli interventi comprensivo dell’IVA?! 12000 +

10 100

×12000=12000 ×1,1=13200!

Problema ! Una ditta stabilisce che il prezzo di alcuni interventi su un appartamento è di 18000€ più IVA. Su una parte degli interventi, corrispondenti al prezzo di 11000€ l’aliquota dell’IVA è del 10%, mentre sulla parte rimanente dei lavori l’aliquota è del 22%. Qual è il prezzo degli interventi comprensivo dell’IVA?! Problema Una ditta presenta a un cliente, come compenso per alcuni interventi su un appartamento, un conto di 9760€ comprensivo di IVA al 22%. Il cliente paga. Successivamente si scopre che i lavori erano esentati dall’IVA e che quindi il la ditta dovrà restituire al cliente quanto ha pagato per l’IVA. Quanto dovrà restituire la ditta?!

Nel corso del 2018 il prezzo di un prodotto è aumentato del 10%. Nel corso del 2019 il prezzo dello stesso prodotto è ancora aumentato del 10%. Di quanto è aumentato il prezzo di quel prodotto nel corso dei due anni?! Nel corso del 2016 il prezzo di un prodotto è aumentato del 10%. Nel corso del 2017 il prezzo dello stesso prodotto è aumentato del 10%. Di quanto è aumentato il prezzo di quel prodotto nel corso dei due anni?! Se x è il prezzo iniziale, allora dopo un anno il prezzo sarà 1,1 x.! Il 10% di 1,1x è 0,11x.! Quindi dopo due anni il prezzo sarà! 1,1x + 0,11x = 1,21x Quindi il prezzo è aumentato del 21%! In altre parole, aumentare del 10% equivale a moltiplicare per 1,1.! Quindi aumentare del 10% due volte equivale a moltiplicare per 1,1 due volte, cioè moltiplicare per 1,12=1,21.! Problema Nel corso del 2018 il prezzo di un prodotto è diminuito del 10%. Nel corso del 2019 il prezzo dello stesso prodotto è ancora diminuito del 10%. Di quanto è diminuito il prezzo di quel prodotto nel corso dei due anni?! Se x è il prezzo iniziale, allora dopo un anno il prezzo sarà 0,9x.! Il 10% di 0,9x è 0.09x.! Quindi dopo due anni il prezzo sarà! 0,9x - 0,09x = 0,81x Quindi il prezzo è diminuito del 19%! Nel corso del 2016 il prezzo di un prodotto è diminuito del 10%. Nel corso del 2017 il prezzo dello stesso prodotto è diminuito del 10%. Di quanto è diminuito il prezzo di quel prodotto nel corso dei due anni?! In altre parole, diminuire del 10% equivale a moltiplicare per 0,9.! Quindi diminuire del 10% due volte equivale a moltiplicare per 0,9 due volte, cioè moltiplicare per 0,92=0,81.! Problema ! In un negozio un abito è messo in vendita con uno sconto del 30% sul prezzo originario. Durante la stagione dei saldi il prezzo già scontato viene ancora abbassato del 10%. Se uno dei valori che seguono è la percentuale complessiva di sconto rispetto al prezzo originario dell’abito, indicalo, altrimenti scegli la voce «Nessuno dei valori proposti corrisponde alla percentuale complessiva di sconto».!

Supponendo che 100 sia il prezzo originario, con lo sconto del 30% viene ridotto a 70; se su 70 scontiamo un ulteriore 10% lo riduciamo a 63.! Quindi, rispetto al prezzo iniziale, lo sconto complessivo applicato é di 37 (dato da 100-63), pari al 37%.! Problema ! Il numero di batteri di una coltura aumenta in un’ora del 30%. Nell’ora successiva viene sperimentato un antibiotico che porta il numero dei batteri a ridursi del 30%. Che si può dire del numero dei batteri presenti dopo 2 ore rispetto al numero iniziale?! Un aumento del 30% corrisponde a moltiplicare il numero per 1,3.! Una diminuzione del 30% corrisponde a moltiplicare il numero per 0,7.! Quindi un aumento del 30% seguito da una diminuzione del 30% corrisponde a moltiplicare il numero iniziale per 1,3x 0,7= 0,91! !

Problema Nel corso del 2018 una tariffa aumenta dell’5% ogni due mesi. Di quanto è aumentata la tariffa nel corso del 2018?! Un aumento dell’5% corrisponde a moltiplicare la tariffa iniziale per 1,05.! 6 aumenti del 5% corrispondono a moltiplicare il valore iniziale per 1,056 = 1,3400956406250004, cioè circa 1,34.! Se la tariffa iniziale era x, quella finale sarà circa 1,34x, con un aumento di circa il 34%.! Problema ! Un cappotto ha un prezzo di listino di 320€. Un cliente ottiene uno sconto e paga soltanto 240€. Di quanto è stato lo sconto in percentuale?! Quando un valore varia la percentuale di variazione si calcola prendendo come base il valore iniziale (VI) Quindi:!

Problema ! Il prezzo di un prodotto deve essere aumentato per due anni consecutivi. ! Un negoziante decide di aumentare il prezzo del 10% alla fine del I anno e del 30% alla fine del II. Un altro negoziante, partendo dallo stesso prezzo iniziale, aumenta il prezzo del 30% alla fine del I anno e del 10% alla fine del II. ! Quale dei due negozianti ha praticato l’aumento maggiore? Oppure i prezzi sono ancora uguali?! Aumentare del 10% equivale a moltiplicare per 1,1. ! Aumentare del 30% equivale a moltiplicare il prezzo risultante per 1,3.! 1, 1 x 1, 3 = 1, 3 x 1, 1! Se x è il prezzo iniziale, il prezzo finale è x × 1,11,3 = 1,41x! Quindi in due anni c’è stato un aumento del 41%. ! Per la proprietà commutativa della moltiplicazione l’ordine in cui vengono praticati gli aumenti è irrilevante.! ! Problema Il prezzo all’ingrosso di una varietà di frumento sulla piazza di Vercelli rilevato alla fine del 2013 era di 219 € alla tonnellata. ! Il prezzo della stessa varietà rilevato un anno prima era di 242 € alla tonnellata.! a) Di quanto è diminuito in percentuale il prezzo nel corso del 2013? (Tronca alla prima cifra esatta dopo la virgola)! !

b) Se nel corso del 2014 dovesse esserci un aumento del 10% del prezzo all’ingrosso della stessa varietà, quale sarebbe il prezzo alla tonnellata alla fine del 2014? (Arrotonda all’intero più vicino)! Problema ! Nel corso del 2016 il prezzo di un prodotto è aumentato di 30€. Nel corso del 2017 il prezzo dello stesso prodotto è aumentato di 20€. Quanto è l’aumento medio annuale?! 30€+ 20€=50€! Aumentare di 30€ il primo anno e poi di 20€ il secondo equivale ad aumentare di 25€ all’anno.! Media aritmetica: (30 x 20)/2 = 25.!

MEDIA GEOMETRICA La media geometrica di un insieme di n valori positivi x1, x2, ..., xn di un carattere quantitativo X è pari alla radice n-esima del prodotto dei singoli valori:!

MEDIA ARITMETICA ! Problema! Un giocatore di pallacanestro, dopo quattro partite, ha la media di 24 punti a partita. Nella partita successiva il giocatore segna 14 punti. Qual è la sua media dopo cinque partite?! Uno studente calcola la media fra 24 e 14 e dice che la media dopo 5 partite è 19. Ha ragione?! NO= il calcolo corretto è !

Problema ! Nel corso del 2016 il prezzo di un prodotto è aumentato del 30%. Nel corso del 2017 il prezzo dello stesso prodotto è aumentato del 20%. Quanto è l’aumento medio annuale?! Aumentare del 30% equivale a moltiplicare per 1,3. ! Aumentare del 20% equivale a moltiplicare il prezzo risultante per 1,2.! Se x è il prezzo iniziale, il prezzo finale è x × 1,3 x 1,2 = 1,56x! Quindi in due anni c’è stato un aumento del 56%.! Problema ! Nel corso del 2016 il prezzo di un prodotto è aumentato del 30%. Nel corso del 2017 il prezzo dello stesso prodotto è aumentato del 20%. ! Nel corso del 2018 è aumentato del 10%. ! Quanto è l’aumento medio annuale nei tre anni considerati?! Trovare l’aumento medio significa trovare un aumento percentuale che praticato per due anni di fila produca un aumento finale del 56%.! Il valore richiesto è ricavato dalla media geometrica dei numeri indice:! 1,56 = 1,249! Quindi per ottenere un aumento complessivo del 56% in due anni è possibile praticare due aumenti uguali di circa il 24,9%.! Aumentare del 30% equivale a moltiplicare per 1,3. ! Aumentare del 20% equivale a moltiplicare il prezzo risultante per 1,2.! Aumentare del 10% equivale a moltiplicare il prezzo risultante per 1,1.! Se x è il prezzo iniziale, il prezzo finale è! x × 1,3 x 1,2 x 1,1 = 1,716x! Quindi in tre anni c’è stato un aumento del 71,6%.! Trovare l’aumento medio significa trovare un aumento percentuale che praticato per tre anni di fila produca un aumento finale del 71,6%.! Il valore richiesto è ricavato dalla media geometrica dei tre numeri indice:! 3 1,716 =1,197! Quindi per ottenere un aumento complessivo del 71,6%! in tre anni è possibile praticare tre aumenti uguali di circa il 19,7%.! Problema ! Nelle ultime elezioni svoltesi in un paese europeo è andato a votare il 70% degli aventi diritto al voto. Il 20% dei partecipanti ha votato per il partito A. Quale percentuale di aventi diritto al voto ha votato per il partito A?! Se x è il numero degli aventi diritto, il numero di chi è andato a votare è 0,7 × x. ! Il numero di chi ha votato per il partito A è x × 0,2 × 0,7= 0,14x. ! Quindi la percentuale richiesta è 14%.!

Problema ! Nelle elezioni svoltesi in un paese europeo ha partecipato al voto l’80% degli aventi diritto al voto. Il 20% degli aventi diritto al voto ha votato per il partito A. Quale percentuale di partecipanti al voto ha votato per il partito A?! Se x è il numero degli aventi diritto, il numero di chi ha partecipato al voto è 0,8 x . ! Il numero di chi ha votato per il partito A è 0,2 x . ! La percentuale richiesta è data da:! Problema Un giocatore ha disputato 18 partite di un solitario (in cui le partite si vincono o si perdono) vincendone 5 e perdendo le altre. ! a) A partire da questo momento vince un certo numero di partite senza perderne più, fino a registrare esattamente il 50% di vittorie. ! Quante partite ha disputato dopo la diciottesima?! b) A partire da questo momento vince 9 partite consecutive. ! Qual è la sua percentuale di vittorie alla fine? Arrotondate all’intero più vicino.!

Problema ! Nel test di valutazione delle competenze iniziali del DiSIT (1° turno 2018) si sa che il 17% dei 673! partecipanti non l’ha superato. ! Sapendo che tale percentuale è arrotondata all’unità, è possibile calcolare quanti non hanno superato il test?!

Problema ! Nel test di valutazione delle competenze iniziali del DiSIT si sa che il 16,6% dei partecipanti (673) non l’ha superato. ! Sapendo che tale percentuale è arrotondata alla prima cifra decimale dopo la virgola, è possibile calcolare quanti non hanno superato il test?!

Problema ! a)Una tariffa telefonica aumenta del 2% ogni 2 mesi. Qual è l’aumento percentuale annuale?! Se x è il valore iniziale della tariffa, dopo un anno il valore è x (1,02)6!

b) Una tariffa telefonica aumenta del 5% ogni 2 mesi. Qual è l’aumento percentuale annuale?! Se x è il valore iniziale della tariffa, dopo un anno il valore è x (1,05)6.!

C) Una tariffa telefonica aumenta del 10% ogni 2 mesi. Qual è l’aumento percentuale annuale?! Se x è il valore iniziale della tariffa, dopo un anno il valore è x (1,10)6 ! 1,16 = 1,771! L’aumento annuale è circa il 77,1%.! Problema ! In commercio esistono due soluzioni, A e B, (del medesimo soluto nel medesimo solvente) a diversa concentrazione. ! La soluzione A è al 7% mentre la soluzione B è al 50%. ! In quale proporzione vanno miscelate le due soluzioni in modo da ottenere una terza soluzione (C) al 15%?! Per fissare le idee, supponiamo di avere 1000 g di soluzione B. ! Calcoliamo la quantità di soluzione A da aggiungere. ! Chiamiamo x il numero di grammi di soluzione A da aggiungere. ! La concentrazione di C è:!

! QUIZ SULLE PERCENTUALI:...