Mas sobre el argumento(z) PDF

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Teoría adicional sobre Números Complejos....

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Argumento de un número complejo Como hemos visto en el primer apunte, tenemos la posibilidad de expresar a los números complejos utilizando coordenadas polares. Y, a partir de ello, podemos obtener la forma trigonométrica y la forma exponencial para expresar tales números. Vamos ahora a profundizar algunas cuestiones relacionadas con las coordenadas polares, en particular con el ángulo correspondiente a un número complejo determinado, a partir del cual obtendremos su argumento. En primer lugar, recordemos que al utilizar coordenadas polares y al emplear funciones trigonométricas, medimos los ángulos en radianes. Para recordar el significado de la medición en radianes, pensemos en una circunferencia centrada en el origen, con un radio igual a 1. Dentro de la misma representaremos ángulos, colocando siempre el vértice en el origen y midiendo el mismo a partir del semieje positivo de las abscisas (correspondiente al semieje real positivo en el plano complejo), tal como debemos hacerlo para obtener el argumento correspondiente a un número complejo. Luego, asignamos al ángulo considerado una medida igual a la longitud del arco de circunferencia cubierto por el mismo. Dicha medida será positiva si el ángulo es descripto en sentido antihorario o negativa si es descripto en sentido horario.

En ciertos casos, para algunos ángulos, podemos deducir sin mucha dificultad su medida en radianes recordando, en primer lugar, que la longitud de una circunferencia es igual a 2𝜋𝑅. De este modo, si el radio 𝑅 es igual a 1, la longitud de la circunferencia es igual a 2𝜋. Es decir, la circunferencia completa mide 2𝜋. Luego, por ejemplo: -Una vuelta completa a la circunferencia (lo cual, en grados sexagesimales, correspondería a un ángulo de 360°) equivale a 2𝜋 radianes. -A un ángulo de 180° le corresponde media circunferencia y, siendo su longitud igual a 𝜋, tendrá una medida de 𝜋 radianes.

-A un ángulo de 90°, dado que cubre un cuarto de la circunferencia, le corresponde una medida de 𝜋/2 radianes (la cuarta parte de 2𝜋). Del mismo modo, podemos deducir las medidas de otros ángulos. Y, en general, observando que la longitud del arco descripto por un ángulo es proporcional a su medida en grados, podemos determinar la medida en radianes de un ángulo, cuya medida en grados es conocida, mediante, por ejemplo, una regla de tres simple.

Hablemos ahora de las coordenadas polares de un número complejo z, al cual le corresponde, tal como vimos en el apunte, un punto o un vector del plano complejo. La primera de dichas coordenadas es el módulo de z y es igual a la distancia entre el punto correspondiente a z y el

origen, sobre el plano complejo; o, visto de otro modo, es igual a la longitud del vector correspondiente. Puede verse que tal valor es único para cada z posible. Por otro lado, la segunda coordenada polar de z, es decir, el argumento de z, puede interpretarse como la medida, en radianes, del ángulo comprendido entre el vector correspondiente a z y el semieje real positivo, la cual puede obtenerse del modo visto anteriormente. Es importante comprender que, a diferencia de lo que ocurre con el módulo de z, el argumento de z no es un valor único. Para entender esto, veamos lo que ocurre en los dos últimos gráficos anteriores: si consideramos al complejo 𝑧 = −1 (o cualquier otro número complejo que se encuentre sobre el semieje real negativo, al cual le corresponderá el mismo ángulo), vemos que es posible medir el ángulo correspondiente de dos maneras distintas obteniendo, en el primer caso, un argumento igual a 𝜋; mientras que, en el segundo caso, se obtiene un argumento igual a – 𝜋. Más aun, podríamos pensar que el ángulo correspondiente a z= -1 es aquel que se obtiene luego de dar una vuelta completa a la circunferencia, en sentido antihorario, lo cual nos llevaría de vuelta al inicio, seguido de media vuelta más hasta llegar a z. Esto equivaldría a 2𝜋 + 𝜋 = 3𝜋 radianes. Tal como puede verse en la siguiente figura:

Del mismo modo, podríamos haber realizado la vuelta y media en sentido horario, en cuyo caso el argumento sería −3𝜋 radianes. O también podríamos realizar dos vueltas y media (5𝜋) o tres vueltas y media (7𝜋), etc.; y obtener, en cada caso, un argumento diferente para el mismo complejo z. Lo mismo ocurre para cualquier otro complejo z distinto de cero (z=0, al no tener un ángulo asociado, no puede expresarse en coordenadas polares), sin importar cuál sea su ubicación en el plano. Si podemos obtener un argumento para z, podremos obtener otros infinitos argumentos posibles para el mismo número complejo z con solo sumar o restar 2𝜋 una cantidad entera de veces. En algunos casos, dado un complejo z, es suficiente con conocer uno de los posibles argumentos del mismo. Pero, en otros casos, por ejemplo cuando queremos hallar raíces de z, es necesario poder expresar, de modo general, cuáles son todos los argumentos posibles de z. Teniendo en

cuenta lo dicho en el parrafo anterior, si 𝜃 es un argumento de z, diremos que todos los argumentos posibles de z tienen la forma 𝜃 + 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ 𝑍. A su vez, en algunos casos es necesario que establezcamos un cierto orden y convengamos que el argumento de cualquier complejo z que hemos de considerar estará contenido en un intervalo determinado. Para que dicho intervalo pueda contener exactamente un argumento para cualquier complejo z, es necesario que tenga una longitud igual a 2𝜋. Una convención muy común, es utilizar el argumento que se encuentre contenido en el intervalo (−𝜋; 𝜋]. Así, decimos que el argumento de un complejo z contenido en dicho intervalo es el argumento principal de z: Arg(z), mientras que, si nos referimos a un argumento cualquiera, no necesariamente contenido en el intervalo mencionado, nos referimos a él como arg(z) (sin mayúscula). Ejemplo: Consideremos el número complejo z = 1+i.

Podemos calcular el módulo de z: |𝑧| = √2 . Por otro lado, dado que su parte real y su parte imaginaria son iguales, z se encuentra ubicado sobre la recta y=x que divide al primer cuadrante en dos partes iguales, por lo cual se deduce que el vector correspondiente a z forma un ángulo de 45° 𝜋 con el semieje real positivo, es decir, en radianes, un ángulo igual a 4 . Por lo tanto, podemos decir

que: arg(𝑧) =

𝜋 4

+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ 𝑍 . Mientras que, en particular, 𝐴𝑟𝑔(𝑧) =

𝜋

4

En este ejemplo, se pudo determinar el argumento de z sin necesidad de realizar cálculos. A continuación veremos cómo proceder cuándo el argumento de un número complejo no es evidente a simple vista. ¿Te das cuenta de cuál es el motivo por el cual el intervalo en el cual ha de hallarse el argumento principal es abierto en – 𝜋 y cerrado en 𝜋?

Obtención del argumento de un número complejo a partir de sus coordenadas rectangulares: Hemos visto en el apunte de números complejos cómo obtener las coordenadas polares de cualquier número complejo 𝑧 = (𝑥; 𝑦) = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 , distinto de cero, a partir de sus coordenadas rectangulares x, y. Vimos que para calcular el radio de un número complejo z solo es necesario aplicar la fórmula:

|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦 2 .

Por otro lado, el cálculo del argumento, a partir de la fórmula: tan(𝜃) =

𝑦 𝑥

, puede ser más

complejo o dar lugar a confusiones. En primer lugar, observemos que la fórmula dada no nos permite calcular de modo directo el valor de 𝜃 , sino el valor de su tangente. Luego, necesitaremos deducir el valor de 𝜃 a partir del valor de tan(𝜃). Es decir que debemos aplicar la función inversa 𝑦

de la función tangente, o sea, la función arcotangente, de modo de obtener 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑥 ).

Si bien tenemos la posibilidad de calcular cualquier arcotangente mediante la calculadora, debemos tener en cuenta algunas limitaciones importantes de este procedimiento y algunas cuestiones que nos permitirán interpretar y utilizar correctamente el valor obtenido. Empecemos por recordar que la función tan(𝜃) =

𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos (𝜃)

, al igual que las funciones seno y

coseno, a partir de las cuales puede definirse, es periódica. Aunque, en el caso dela función tangente, el periodo es igual a 𝜋. Otra diferencia importante con respecto a las funciones seno y coseno es que no es una función continua en R, presentando discontinuidades en aquellos puntos

donde se anule 𝑐𝑜𝑠(𝜃), es decir, en 𝜃 =

𝜋

2

+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ 𝑍, tal como podemos observar en su gráfico:

Notemos que, en cada ciclo, la función tan(𝜃) = 𝑡 alcanza todos los valores reales, por lo cual, en principio, podríamos determinar 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡) para cualquier valor de 𝑡. Por otro lado, recordemos que, al definir una función, debe cumplirse el requisito fundamental de que la función asigne un único resultado a cada valor de su Dominio. Es decir que, en el caso particular de 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡), a cada valor de 𝑡 debe corresponderle un único resultado 𝜃. Pero dado que para cada valor posible de 𝑡 existen infinitos valores de 𝜃, tales que tan(𝜃) = 𝑡 , en principio, tendríamos infinitos valores posibles para 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡). Para solucionar esto, recurriendo a un recurso habitual en estos casos, podemos redefinir la función 𝑡𝑎𝑛(𝑡), restringiendo su dominio, por ejemplo, al intervalo ( tendríamos:

−π 2

π

; 2 ). Gráficamente, sólo

Así redefinida la función tangente, tenemos que, por un lado, la imagen no se ha alterado y continúa siendo igual a R. Además, gracias a la restricción realizada en el Dominio, se cumple ahora que no hay dos valores distintos de 𝜃 en los cuales tan(𝜃) arroje un mismo resultado. Es decir que la función tangente es inyectiva en este nuevo dominio. Por lo tanto, se cumplen los requisitos necesarios para definir una función inversa 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡), la cual tendrá como dominio el conjunto de los reales y como imagen el intervalo ( único valor 𝜃 ubicado en el intervalo (

−𝜋 2

𝜋

; 2 ).

−𝜋 2

𝜋

; 2 ) y asignará a cada número real t un

La restricción en el dominio de la función tangente aquí realizada es la que usualmente se utiliza en las calculadoras para la definición de la función arcotangente. Por otro lado, esta definición genera una limitación importante. Dado que la función 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡) solo arroja resultados en el

intervalo (

−𝜋 2

𝜋

𝑦

; 2 ) y recordando que, dado un complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖, el resultado de 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑥 ) ha

de ser igual al argumento de 𝑧, solo podremos obtener, mediante esta función, el argumento

principal de números complejos que se encuentren en el primer cuadrante (argumento principal 𝜋 𝜋 entre 0 y ) o en el cuarto cuadrante (argumento principal entre − 2 𝑦 0). 2

¿Qué ocurre entonces si queremos hallar el argumento principal de un número complejo que se encuentre en el segundo cuadrante o en el tercer cuadrante? Para resolver este inconveniente, podemos proceder del siguiente modo. Dado un complejo z, ubicado en el segundo o el tercer 𝑦

|𝑦 |

cuadrante, en lugar de realizar el cálculo de 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑥 ) , calcularemos 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( |𝑥|) . Al hacer esto,

no estaremos calculando el argumento de 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 , sino que calcularemos el argumento de 𝑧 ∗ = |𝑥| + |𝑦 |. 𝑖 . Por otro lado, es posible apreciar gráficamente que siempre puede deducirse el argumento del primero a partir del argumento del segundo mediante algún razonamiento geométrico. Así , si 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 se encuentra en el segundo cuadrante (𝑥 < 0, 𝑦 > 0) , 𝑧 ∗ = |𝑥| + |𝑦 |. 𝑖 tendrá la misma coordenada imaginaria que 𝑧, mientras que la coordenada real tendrá el mismo valor pero con diferente signo.

Y podemos deducir que en este caso 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜋 − 𝐴𝑟𝑔(𝑧∗ ) . Luego, podemos deducir la siguiente regla general: Si un número complejo si 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 pertenece al segundo cuadrante, entonces: |𝑦 |

𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( |𝑥|) En el caso en que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 se encuentre en el tercer cuadrante (𝑥 < 0, 𝑦 < 0) , las dos coordenadas de 𝑧 ∗ = |𝑥| + |𝑦 |. 𝑖 , tendrán el mismo valor que las de 𝑧 pero con diferente signo.

Y podemos deducir que en este caso 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = −𝜋 + 𝐴𝑟𝑔(𝑧∗ ) . Es decir, podemos deducir la siguiente regla: Si un número complejo si 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 pertenece al tercer cuadrante entonces |𝑦 |

𝐴𝑟𝑔(𝑧) = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( |𝑥| ) Observación: En este último caso, el argumento de 𝑧 tambíen puede obtenerse como 𝜋 + 𝐴𝑟𝑔(𝑧 ∗ ) , e incluso puede parecer una opción más natural. Aunque, en este caso, si bien obtendríamos un argumento válido para 𝑧, éste no sería el argumento principal de 𝑧. ¿Te das cuenta del porqué de esto? En resumen: Antes de ver algunos ejemplos, resumamos el conjunto de reglas que nos permiten calcular el argumento de un número complejo a partir de sus coordenadas rectangulares: Dado 𝑧 ∈ 𝐶: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. 𝑖 (𝑧 ≠ 0), 𝑦

-Si 𝑧 pertenece al primer o al cuarto cuadrante: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) 𝑥 |𝑦|

-Si 𝑧 pertenece al segundo cuadrante: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( |𝑥| ) |𝑦 |

- Si 𝑧 pertenece al tercer cuadrante: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( |𝑥| ) Observación: En todos los casos, la fórmula no puede aplicarse a números complejos con parte real igual a 0. Por otro lado, esto no debería ser un problema, ya que puede determinarse a simple vista cuál es el argumento principal correspondiente a un número complejo ubicado sobre el eje real o sobre el eje imaginario.

¿Podrías determinar, para cada semieje del plano, cuál es el argumento principal de los complejos ubicados sobre el mismo? Ejemplos: 1) Sea 𝑧 = 1 + √3. 𝑖

Tenemos que: |z| = √12 + (√3)2 = √4 = 2 𝑦

Dado que z se ubica en el primer cuadrante del Plano, tenemos que: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑥 ) = 3

𝑎𝑟𝑐𝑡 (√1 ) =

𝜋

3

2) De modo similar al ejemplo anterior, si tuviéramos 𝑧 = 1 − √3. 𝑖 , en cuyo caso 𝑧 se ubica en el 𝑦

cuarto cuadrante, podemos verificar que |z| = 2 y 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 𝑎𝑟𝑐𝑡 ( 𝑥

−√3 1

)=−

𝜋

3

3) Sea 𝑧 = −3 + 3. 𝑖 ,

En este caso, 𝑧 se ubica en el segundo cuadrante. Tenemos que |z| = √18 = 3√2 . Mientras que, aplicando la regla correspondiente a los complejos ubicados en el segundo cuadrante, obtenemos: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

|−3| ) |3|

= 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1) = 𝜋 −

𝜋

4

=

3π 4

4) Sea 𝑧 = −2 − 𝑖

En este caso, 𝑧 se ubica en el tercer cuadrante. Tenemos que |z| = √5 . Mientras que, aplicando la regla correspondiente a los complejos ubicados en el tercer cuadrante, obtenemos: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = |−2|

−𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( |−1| ) = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2) ≅ −𝜋 + 0,35𝜋 ≅ −0,65𝜋...