Mat fin 2 Fi R - Notatki z wykładu 1-20 PDF

Preview

Summary

ćwiczenia...

Description

MATEMATYKA FINANSOWA

RACHUNEK RENT Rentą lub ciągiem płatności okresowych nazywamy ciąg rat (wpłat lub wypłat) płaconych w równych odstępach czasu. Podział rent 1) renta czasowa (okresowa) – …………………………………………………………………………… 2) renta nieskończona (wieczysta) – …………………………….……………………………………….. 1) renta płatna z dołu – …………………………………………….…………………………………….. 2) renta płatna z góry – ………………………………………..…………………………………………. 1) renta płatna natychmiast – ……………………………………………………………………………… 2) renta odroczona – ………………………………….…………………………………………………... 1) renta zgodna (prosta) – ………………………………………………………………………………... 2) renta niezgodna (uogólniona) – ………………………………………………………………………… Założenia Kapitalizacja odsetek jest jednoczesna z płaceniem rat. i – stopa procentowa odnosząca się do jednego okresu kapitalizacji R1, R2, ..., Rn – wartości kolejnych rat płatnych w równo odległych momentach t = 1,2,...,n W ten sposób została określona renta ........................................................................ RENTY ZGODNE POCZĄTKOWA WARTOŚĆ RENTY PŁATNEJ Z DOŁU Początkowa wartość renty czasowej płatnej z dołu K o  R1v  R2v 2    Rnvn Jeśli raty są równej wysokości R, to 1  vn K o  R v  v2    v n  R  i Ko  R  an (3.1)





gdzie wyrażenie

an 

(3.2)

1  vn i

jest wartością początkową renty ................................................................................................................

an 0

i

1

1

1

1

1

2

3

n

czas

Początkową wartość renty nieskończonej płatnej z dołu możemy obliczyć, jeśli następujący szereg jest zbieżny: 

Ko   Rjvj j 1

Jeśli mamy do czynienia z rentą nieskończoną o ratach równej wysokości R, to R (3.3) K o  R  a|  i 9

MATEMATYKA FINANSOWA

KOŃCOWA WARTOŚĆ RENTY PŁATNEJ Z DOŁU Końcowa wartość renty czasowej płatnej z dołu K n  R1 (1 i) n1  R2 (1  i) n 2   Rn Między kwotą Ko i Kn można zauważyć związek: K n  K o (1  i) n Oznacza to, że kapitały Ko i Kn …………………………………………………………. Jeśli raty są równej wysokości R, to





K n  R (1  i) n  (1  i) n   1  R  1

2

(1  i) n  1 i

K n  R  s n|

(3.4) gdzie wyrażenie

sn | 

(3.5)

(1 i )n  1 i

jest wartością końcową renty ..................................................................................................................... Można wykazać, następującą zależność (3.6)

sn|  an| (1 i )n

POCZĄTKOWA WARTOŚĆ RENTY PŁATNEJ Z GÓRY Rentę prostą płatną z góry otrzymamy, jeśli raty R1, R2, ..., Rn będą płatne w momentach ...................... Początkowa wartość renty czasowej n-okresowej płatnej z góry

K o  R1  R2 v  R3v 2    Rnv n1 Jeśli raty są równej wysokości R, to





K o  R 1  v  v 2    v n1  R  (1  i)  (3.7)

1  vn i

K o  R  a n

gdzie (3.8)

an  (1 i ) 

1  vn i

jest wartością początkową renty ................................................................................................................. Zauważmy, że (3.9) (3.10)

an  (1  i)  a n   a 1 a n n 1

Początkową wartość renty nieskończonej płatnej z góry możemy obliczyć, jeśli następujący szereg jest zbieżny: 

Ko 

R v

j 1

j

j 1

W przypadku renty nieskończonej o równych ratach (3.11)

K o  R  a|  10

R R i

MATEMATYKA FINANSOWA

KOŃCOWA WARTOŚĆ RENTY PŁATNEJ Z GÓRY Końcowa wartość renty n-okresowej płatnej z góry K n  R1 (1  i )n  R2 (1  i )n 1    Rn (1  i)

Jeśli raty są równej wysokości R, to





K n  R (1  i) n  (1  i) n 1    (1  i)  R (1  i) 

(1  i ) n  1 i

K n  R  sn|

(3.12) gdzie

sn|  (1 i ) 

(3.13)

(1  i ) n 1 i

jest wartością końcową renty ..................................................................................................................... Można zauważyć zależności (3.14)

s  (1  i)  s n n

(3.15)

sn  sn 1 1

oraz (3.16)

sn|  an| (1 i)n WARTOŚĆ RENTY W DOWOLNYM MOMENCIE

 Wartość renty jednostkowej płatnej z dołu zaktualizowana na m okresów przed momentem t = 0 m (3.17) a m| a  v an |  a n m

n

m

Jeśli moment aktualizacji oznaczymy jako t = 0, to płatności przypadną na momenty t = ........................ W ten sposób otrzymamy rentę płatną z dołu odroczoną o m okresów.  Wartość renty jednostkowej zaktualizowana na m okresów po ostatniej płatności (3.18) (1  i)m sn |  s s m| s  n m

n

m

 Wartość renty jednostkowej płatnej z dołu zaktualizowana na dowolny moment m = 1, ..., n – 1  (3.19) (1 i )m a n|  v n msn|  s m  an  m ZMIENNA STOPA OPROCENTOWANIA LOKATY W przypadku zmiennego oprocentowania stosowane są dwa różne podejścia w obliczaniu wartości renty. Niech ik będzie stopą procentową obowiązującą w k-tym okresie, gdzie k = 1, ..., n. 1) Jeśli stopa ik związana jest z k-tym okresem, to a n|  v1  v1  v2  v1  v2  v3   v1  v2   vn ,

1 gdzie vk  (1 ik ) 

sn |  (1 in) (1 in)(1 in 1)   (1 in)(1  i n 1) (1  i1) 2) Jeśli stopa ik związana jest z k-tą płatnością, to an|  v1  v 22  v33    vnn ,

sn |  (1  in )  (1  in 1 ) 2   (1  i1) n 11

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 1. Pan X ma spłacić pożyczkę 4 000 zł w 4 równych ratach płatnych na koniec kwartałów. Oblicz wysokość raty, jeśli stopa procentowa wynosi 9%, a kapitalizacja jest kwartalna. Przykład 2. W 2014 r. na koniec kolejnych kwartałów wpłacano na konto odpowiednio: 800 zł, 1 000 zł, 1 200 zł, 1 400 zł. Jaki był stan konta na koniec roku, jeśli stopa procentowa wynosi 5%, a kapitalizacja jest kwartalna. Przykład 3. Samochód kosztuje 42 000 zł. Można za niego zapłacić w 120 równych miesięcznych ratach (pierwsza rata w dniu zakupu). Oblicz wysokość raty, jeśli oprocentowanie w skali roku wynosi 6%, a kapitalizacja jest miesięczna. Przykład 4. Posługując się symbolami an i s n , podaj wzór na wartość 6-okresowej renty jednostkowej płatnej z dołu na moment: a) początkowy, c) na 2 okresy przed momentem początkowym, b) końcowy, d) na 4 okresy po ostatniej płatności, e) na moment czwarty. Przykład 5. Znajdź końcową wartość 10-letniej renty płatnej na koniec roku w wysokości 1 000 zł, jeśli 1) przez pierwsze 4 lata obowiązywała stopa 5%, następnie przez 3 lata stopa 4%, a przez ostatnie 3 lata stopa 3% (stopa procentowa związana z okresem); 2) pierwsze 4 wpłaty zainwestowano przy stopie 5%, następne 3 wpłaty przy stopie 4%, a ostatnie 3 wpłaty przy stopie 3% (stopa procentowa związana z płatnością). Przykład 6. Oprocentowanie renty wynosi 6% z kapitalizacją miesięczną. Raty opłacano przez 4 lata co miesiąc z dołu. Wysokość rat zmieniała się co roku i wynosiła w kolejnych latach: 500 zł, 550 zł, 600 zł, 650 zł. Oblicz wartość początkową i końcową renty. Przykład 7. Pożyczka w wysokości 100 000 zł ma być spłacana w ciągu 2 lat w równych ratach miesięcznych przy stopie 7,2% z kapitalizacją miesięczną. Po roku stopa procentowa wzrosła do poziomu 8,4% z kapitalizacją miesięczną, co wymagało aktualizacji wysokości raty. Wyznacz a) wysokość raty w pierwszym roku oraz b) zaktualizowaną wysokość raty w drugim roku. Przykład 8. Pracownik przez 20 lat pracy odkładał na fundusz emerytalny kwotę 150 zł na końcu każdego miesiąca. Przyjmując stopę 4,5% z kapitalizacją miesięczną oblicz: a) stan konta na koniec okresu oszczędzania, b) wysokość miesięcznej renty wieczystej płaconej z dołu, jaką można uzyskać z tego funduszu, c) wysokość miesięcznej renty płatnej z dołu przez 15 lat z tego funduszu, d) liczbę wypłat miesięcznych z dołu o wysokości 500 zł, jaką można uzyskać z tego funduszu.

12

MATEMATYKA FINANSOWA

RATY ZMIENIAJĄCE SIĘ W POSTĘPIE ARYTMETYCZNYM Rozważmy rentę taką, że raty zmieniają się w postępie arytmetycznym, tzn. R1 = R, R2 = R + Q, R3 = R + 2Q, ..., Rn = R + (n – 1)Q, gdzie Q jest różnicą postępu (rosnącego, gdy ...................; malejącego, gdy .......................). W przypadku, gdy Q < 0 musi być spełniony warunek Rn = R + (n – 1)Q > 0, więc R Q . 1 n Renta płatna z dołu Wartość początkową takiej renty obliczymy następująco K o  Rv  (R  Q )v 2  (R  2Q)v 3   (R  (n 1)Q)vn , co prowadzi do wzoru a n  nv n K o  R  an  Q  (3.20) i Wartość końcową renty wyznaczymy aktualizując wartość początkową na moment t = n sn  n Kn  Ko (1  i )n  R  s n  Q  (3.21) i Wartość początkową renty wieczystej wyznaczymy, gdy Q > 0  a n  nv n  R Q    Ko  lim R  an  Q  (3.22)  i i2 n   i   Wśród rent o ratach zmieniających się w postępie arytmetycznym wyróżnia się dwie renty podstawowe. 1) Renta rosnąca, dla której R = 1 i Q = 1. Wartość początkowa renty (3.23)

( Ia) n|  an 

an  nvn i



a  nv n n i

Wartość końcowa renty (3.24)

( Is)n |  sn 

s n n i



s  n n i

Wartość początkowa renty wieczystej (3.25)

1 1 1 ( Ia) |   2  i i i d

2) Renta malejąca, dla której R = n i Q = –1. Wartość początkowa renty an  nv n n  a n  ( Da) n|  nan  (3.26) i i Wartość końcowa renty sn  n n(1  i) n  s n  ( Ds) n|  nsn  (3.27) i i Renta płatna z góry Ponieważ raty renty płatnej z góry są przyśpieszone o jeden okres płatności w stosunku do renty płatnej z dołu, więc wzory dla renty płatnej z góry otrzymamy przemnażając wzory dla renty płatnej z dołu przez czynnik (1+ i). 13

MATEMATYKA FINANSOWA

RATY ZMIENIAJĄCE SIĘ W POSTĘPIE GEOMETYCZNYM Rozważmy rentę taką, że raty zmieniają się w postępie geometrycznym, tzn. R1 = R, R2 = R1 + kR1 = R(1+ k), R3 = R2 + kR2 = R(1+ k)2, …, Rn = Rn-1 + kRn-1 = R(1+ k)n-1, gdzie q = 1+ k > 0 jest ilorazem postępu (rosnącego, gdy ...................; malejącego, gdy .......................). Renta płatna z dołu Wartość początkową takiej renty obliczymy następująco K o  Rv  R (1 k )v2  R (1 k )2 v3   R(1  k)n 1 vn , skąd otrzymamy dla i  k n

(3.28)

1 k  1   1 i   Ko  R  i k

Jeśli i = k, to Ko = .......................... Wartość końcową renty wyznaczymy aktualizując wartość początkową na moment t = n i dla i  k otrzymamy n n (1  i)  (1  k) (3.29) K n  Ko (1 i )n  R  i k Jeśli i = k, to Kn = ............................. 1k 1 Wartość początkowa renty wieczystej istnieje, gdy 0  1 i n    1   1  k   R  1 i    Ko  lim  R  (3.30)  n  ik ik       Renta płatna z góry ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

Przykład 9. Oblicz wartość początkową i końcową ciągu opłat leasingowych płaconych co miesiąc przez 4 lata. Pierwsza opłata wynosi 500 zł, a każda następna będzie o 10 zł niższa od poprzedniej. Do wyceny ciągu opłat zastosuj stopę 6% w skali roku z kapitalizacją miesięczną. Rozważ przypadek, gdy płatności są dokonywane: a) z dołu, b) z góry. Przykład 10. Jaką kwotę powinniśmy wpłacić na rachunek, aby móc przez 10 lat pobierać rentę o realnej wartości 6 000 zł na koniec każdego roku, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 5% z kapitalizacją roczną oraz zakłada się, że stopa inflacji będzie stała w tym okresie i wyniesie 3% rocznie.

14

MATEMATYKA FINANSOWA

RATALNA SPŁATA DŁUGÓW METODA AMORTYZACYJNA Mówimy, że dług w wysokości L w momencie 0 został spłacony w n ratach o wysokości R1, R2, ...,Rn płatnych w momentach 1, 2, ..., n, jeśli kwota długu jest równoważna ciągowi rat, co można zapisać m. in. jako (4.1) L = vR1+ v2R2 + ...+ vnRn Obsługa długu obejmuje ratalną spłatę części głównej długu oraz naliczanych odsetek. Dlatego każdą ratę można zapisać jako sumę (4.2) Rk = Pk + Ik dla k = 1, ..., n, gdzie Pk – rata kapitałowa, tzn. kwota przeznaczona na spłatę kapitału (części głównej długu) w k-tej racie, Ik – odsetki od pozostałej niespłaconej części długu płatne w k-tej racie. Zadłużenie Bk pozostałe bezpośrednio po spłacie k-tej raty (czyli B0 = L) można obliczyć dwiema równoważnymi metodami. 1) Metoda prospektywna – pozostałe zadłużenie jest równe sumie zaktualizowanych na rozważany moment pozostałych płatności (4.3) Bk = vRk+1+ v2Rk+2 + ...+ vn-kRn , dla k = 1, ..., n 2) Metoda retrospektywna – pozostałe zadłużenie jest równe różnicy zaktualizowanej na rozważany moment części głównej długu i dokonanych już płatności Bk  L(1  i) k  R1 (1  i) k  1  R2 (1  i) k 2    Rk 1(1  i)  Rk , dla k = 1, ..., n (4.4)



Ułożenie planu spłaty długu polega na obliczeniu ciągu wartości Bk, Pk , Ik, Rk, dla każdego k = 1, ..., n. W k-tej racie spłaca się odsetki za poprzedni okres, czyli od zadłużenia Bk-1 (4.5) Ik = Bk-1i , dla k = 1, ..., n Wobec tego w k-tej racie na spłatę kwoty głównej pozostaje (4.6) Pk = Rk  Ik = Bk-1  Bk , dla k = 1, ..., n Zauważmy, że w rozważanym planie spłaty otrzymujemy sumy  

odsetek

n

n

k 1

k 1

I   Ik   Rk  L n

rat kapitałowych L  Pk k 1



rat do zapłaty

n

L  I   Rk k 1

Plan spłaty przy równych wysokościach rat Jeśli wysokości rat są równe R = R1= R2 = ...= Rn , to dla k = 1, ..., n otrzymujemy wzory L R I k  R (1 vn k 1) (4.9) (4.7) an| (4.8)

Bk  R  a n k |

(4.10)

Pk  R  vn k 1

Plan spłaty przy jednakowych ratach kapitałowych (malejące raty do zapłaty) Jeśli wysokości rat kapitałowych są równe P = P1= P2 = ...= Pn , to dla k = 1, ..., n otrzymujemy wzory L (4.13) I k  Pi (n  k  1) (4.12) Bk  L  kP  P(n  k ) (4.11) P  n (4.14) Rk  P1  i (n  k  1) 15

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 1. Ułożyć plan spłaty długu w wysokości 200 tys. zł w 4 rocznych ratach, jeżeli ustalono, że pierwsze trzy raty będą w wysokości: R1 = 40 tys. zł, R2 = 58 tys. zł, R3 = 74 tys. zł. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi 10%. Rata Nr raty Zadłużenie kapitałowa k Bk-1 Pk 1 2 3 4 Suma

Odsetki Ik

Do zapłaty Rk

Przykład 2. Ułożyć plan spłaty długu w postaci tabeli w trzech ratach, jeżeli L=1500, R1=R2=R3, I =150. Rata Nr raty Zadłużenie kapitałowa k Bk-1 Pk 1 2 3 Suma

Odsetki Ik

Do zapłaty Rk

Przykład 3. Ułożyć plan spłaty długu w postaci tabeli w czterech ratach, jeżeli P1 = P2 = P3 = P4 = 30, i = 8%. Rata Nr raty Zadłużenie kapitałowa k Bk-1 Pk 1 2 3 4 Suma

Odsetki Ik

Do zapłaty Rk

Przykład 4. Pożyczka w wysokości 15 tys. zł ma być spłacona w trzech rocznych ratach. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi 9%. Ułożyć plan spłaty długu w postaci tabeli, jeżeli: a) raty kapitałowe są równe Rata Do zapłaty Nr raty Zadłużenie kapitałowa Odsetki k Bk-1 Pk Ik Rk 1 2 3 Suma b) raty do zapłaty są równe Rata Nr raty Zadłużenie kapitałowa k Bk-1 Pk 1 2 3 Suma

Odsetki Ik

Do zapłaty Rk

16...