Mat Fin Unidad 7 - anualidades diferidas PDF

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anualidades diferidas...

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Unidad 7 Anualidades diferidas

Objetivos A l f inalizar la unidad, el alumno:

• Calcularáelmontoproducidoporunaanualidaddiferida. • Calcularáelvalorpresenteoactualdeunaanualidaddiferida. • Calcularáelvalordelarentadeunaanualidaddiferida. • Calcularáeltiempooplazodeunaanualidaddiferida.

Introducción

E

n la actua lidad estamos muy acostumbrados a promociones en tiendas departamentales, donde nos ofrecen mercancía, para pagar con mensualidades fijas durante 3 o 6 meses,

realizando el primer pago tres meses después de realizada la compra, o promociones en agencias de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan “viaje ahora y pague después”; pues bien, situaciones como éstas, desde el pu nto de vista de las matemáticas f inancieras, se conocen como anualidades diferidas. Revisaremos a lo largo de e sta u nidad los elementos de las a nual idades d iferidas, asimismo estudiaremos cómo calcular el valor de las rentas, el número de pagos y el valor presente de la anua lidad.

7.1. Cálculo del monto En la unidad 5 se def inieron las a nua lidades diferidas como una serie de pagos igua les realizados en periodos de tiempos iguales, siempre que el primer pago se efect úe cierto tiempo después de la f irma del convenio, por ejemplo: cuando se adquiere un compromiso de pago el día de hoy, mediante abonos mensuales, pero realizando el primero de ellos dentro de 6 meses, esto lo podemos apreciar mejor si observamos la gráf ica 7.1.

Firma del contrato

R

R

R

R

R

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.1.

209

matemáticas Fina ncier as

Si observas con cuidado la f igura 7.1, podrás darte cuenta que los pagos se inician cierto tiempo después de pactada la operación. A l tiempo que se deja antes de pagar se le conoce como

tiempo de aplazamiento, el cua l repre senta remos con la letra

m

, y para efecto de operaciones,

debe estar expresado en las mismas unidades de tiempo que los pagos, es decir, si los pagos son mensua les el tiempo de apla za miento debe expre sarse en meses. A l igua l que en el caso de las anualidades anticipadas, su monto y algunos ot ros de sus valores, se pueden calcular por medio de las fórmulas para anualidades vencidas. La figura 7.2 nos permite visua lizar la relación entre las a nualidades vencida s y las diferidas.

Anualidad vencida

Firma del contrato

R

R

R

R

R

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.2.

Si observas la figura 7.2, cuando se calcula el monto, el tiempo de

¿Por qué no afecta el tiempo de aplazamiento para el cálculo del monto?

aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo previo a los depósitos, durante ese tiempo no se ganaron y ni se pagaron intereses, lo que nos permite definir el monto de una anualidad diferida de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad es poco usual el cálculo del monto de una anualidad diferida, se puede realizar con la misma fórmula que para una anualidad vencida:

Donde:

(1+ i) n −1 M =R i

M R i n

es el monto de la anualidad es la renta

es la tasa por periodo de capitalización es el número de pagos

210

uni Da D

7

Ejemplos

1. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes que le entregaron inmediatamente. Si acordó paga r media nte 4 mensualidades de $975 cada una a pa rt ir de agosto, con un cargo de 18% a nual convert ible mensualmente , ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha que se realiza rá el último pago?

Solución

Se identifican los datos:

R=$975

i

=

0.18

= 0.015

12 n=4 pagos mensuales

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una a nua lidad diferida y se realizan la s operacione s,

M

=R

(1

+ i) − 1 n

i

M

= 975

(1

+ 0 .015 ) − 1 4

0.015

M

= 975

(1 .015 )

4

0.015

−1

= 9 75

1. 061363551 0.015

−1

= 975

0 .061363551

= 975(4.0909034 )

0.015

M = 3 988.63

Los t rajes tendrá n un costo de $3 988.63 para cuando termine de pa garlos.

2. A rmando Rodríguez adquirió un equipo de cómputo, para lo cual le dieron la oport unidad de liquidar con 5 pagos mensua les de $2 700 cada uno, realiza ndo el primero

211

matemáticas Fina ncier as

de ellos 6 meses después de efectuada la compra. Si Armando liquidara su equipo con un solo pago el día que corresponde al último pago, ¿con cuá nto pagará su deuda, considerando una tasa de interés de 18% anua l compuesto mensualmente?

Solución

Se identifican los datos:

R=$2 700

i

=

0.18

= 0. 015

12 n=5 pagos mensuales

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una a nua lidad diferida y se realizan la s operacione s:

M

=

R

(1

+

i)

n

−1

i

M

= 2 700

(1

+ 0 .015) − 1 5

0.015 5

M

= 2 700

(1 .015 )

−1

0 .015

= 2 700

1 .077284004

−1

= 2 700

0.015

0 .0772 84004 0. 015

= 2 700(5.152266933) M = 13 911.12

El equipo tendrá un costo de $13 911.12 para cua ndo termine de pagarlos.

7.2. Cálculo del valor presente Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida, sin embargo es de suma importa ncia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso

212

uni Da D

7

genera intere ses en e ste periodo, ya que el dinero se t rasladó en el t iempo hacia el pasado, lo cua l podemos observar de manera sencilla en la figura 7.3.

Firma del contrato

Anualidad vencida

R

R

R

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

R

R

Pagos

Figura 7.3.

Si obt e ne mos

el

va l or

pre se nt e

c omo

si se

t ra t a ra

de

un a

anualidad vencida, tendríamos después que trasladar dicho valor al momento del inicio de la anualidad, es decir, a la fecha de la f irma del convenio, lo cua l podemos lograr rea lizando un t raslado de valores ta l como lo hicimos en la unidad 4 (ecuaciones de valor), ut i liza ndo la fórmula pa ra el cá lculo del va lor presente de una

¿Cómo afecta el valor del tiempo diferido para calcular el valor presente de una anualidad diferida?

cantidad dada:

C= M n = M +i (1

Donde

(1

)

n

+ i )− n

en realidad corresponde a l t iempo diferido, el cual, como ya se mencionó,

se ident ifica con la letra anua lidad vencida (

R

1

m

, y el monto (

− (1 +

i

i

−n

)

M

) está determinado por el valor pre sente de una

)

Se sust it uyen estos elementos (monto y

C M =

i

(1+ )

–

m

) en la fórmula para valor presente:

n

213

matemáticas Fina ncier as

C= R

1

− (1 + i)− n

i

(1

+

i

−m

)

Donde:

C= R

1

− (1 + i) −n

i

(1

C es el valor presente de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos m es el número de periodos diferidos

+ i) −m

Pa ra poder def inir el va lor de

m

(periodos diferidos), es necesario trazar la gráf ica

de tiempo.

Ejemplos

1. Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 años, si el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si consideramos una tasa de 32% capitalizable semestralmente.

Solución

Se identif ican los datos y se traza la gráf ica del tiempo (f igura 7.4) para determinar el va lor de

m

:

R

=$3 200

i= n m

0.32

= 0. 16

2

=6 (2)=12 pagos semest rales durante 6 años =2 semestres

214

uni Da D

7

Anualidad vencida

Valor actual

m=2 R2

R1

0

1

R3

R4

R11

R12

Semestres

2

n = 12

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.4.

Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida y se realizan la s operacione s:

C

=

R

1

− (1 + i) −

n

(1

+ i) −

m

i

C

= 3 200

1

− (1 + 0 .16 ) −

12

(1

+ 0 .16 )−

2

0 .16

C

= 3 200

1

− (1 .16 )−

12

(1

+ 0.16)−

2

0.16

C

=3

200

1

− (0 .168462844)

(0 .743162901 )

0 .16

C

= 3 200

0 .831537156

(0.743162901 )

= 3 200 (5 .197107225 ) (0.743162901)

0.16 C = 12 359.35

Significa que el valor act ua l es $12 359.35.

2. ¿Cuál es el precio de contado de una recámara que se compró con pagos mensuales de $2 150 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses después de entregada, con una tasa de interés de 19.2% anual capita lizable mensualmente?

215

matemáticas Fina ncier as

Solución Se identif ican los datos y se traza la gráf ica del tiempo (f igura 7.5) para determinar

m

el va lor de

:

R

=$2 150

i=

0.192

= 0. 016

12

n m

=24 =5

Valor actual

Anualidad vencida

m=5 R1

0

1

3

2

4

5

R2

R3

R4

R23

R24

Meses

6

n = 24 Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento Figura 7.5.

Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida y se realizan la s operacione s:

C= R C= C=

216

1

− (1 + i )− n

i

2 150

1

(1

+ i)− m

− (1 + 0.016) −

24

(1

+ 0. 016)−

0. 016

2 150

1

− (1. 016) −

24

0.016

−5

(1.016)

5

uni Da D

C

=2

150

1

− (0 .683204957 )

7

( 0 .923701098)

0.016

C

=2

150

0. 316795043

(0 .923701098)

0.016 C = 2 150(19.79969019) (0.923701098)=39 321.34

El precio de contado de la recámara es $39 321.34.

Ejercicio 1 1. La Señora Gómez pretende realizar 8 depósitos bimestrales de $8 000 en el banco, realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. ¿Cuál será el saldo en la cuenta después de realiza r el último depósito si el banco le paga 12% a nual capita lizable bimestra lmente?

2. Un ga nadero estima que su ganado comenzará a producir dentro de seis meses, con una producción con va lor de $120 000 mensua les y que se ma ntendrá durante 10 años. ¿Cuá l es el va lor actual de la producción si se f ija una tasa de 16% anual capitalizable mensualmente?

3. Si se compra una camioneta mediante un programa de f inancia miento que consiste en rea lizar 48 pagos mensuales de $5 400 cada uno, realiza ndo el primero de ellos 6 meses después de entregada la camioneta, ¿cuál es el precio de cont ado del automóvil si la tasa de interés e s de 18% anua l capitalizable mensua lmente?

4. Adrián compró un equipo de sonido el c ua l se compromet ió a liquidar con 10 pagos mensuales de $1 200 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después de adquirido el equipo, con una tasa de interés de 24% anua l convert ible mensual. ¿Cuál es el precio de contado del equipo?

5. ¿Cuánto ahorrará una persona que realiza 20 depósitos mensuales de $9 000 cada uno, si rea liza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un i nterés de 30% anua l con capitalización mensua l?

217

matemáticas Fina ncier as

7.3. Cálculo de la renta ¿Cómo se puede determinar el valor de la renta de una anualidad diferida?

Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en la s anualidades diferidas se presentan sit uaciones en las que se requiere conocer el valor de las rentas a realizar, esto se puede determinar despejándolo de las fórmula s para calcular el monto, o ca lcula r el valor presente, esto en f unción de los datos con

que se c uente; aunque ya se ha mencionado que en el caso de las anua lidade s diferidas la mayoría de los cálculos se rea liza n en función del valor presente, por lo cual en esta parte nos li mita remos a explic ar el cá lculo del valor de la s rent as cuando se conoce el valor presente de la anualidad.

Ejemplos

1. El señor Ramí rez deposita el día de hoy $370 000 en una instit ución banca ria que paga 18% a nua l convert ible mensualmente pa ra que dent ro de a ño y medio pueda disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro mensua l?

Solución

Se tra za el diagra ma de tiempo y se ident ifica n los datos (f igura 7.6):

Valor actual

Anualidad vencida

R1

0

1

16

17

R2

R3

R4

n = 36

Figura 7.6.

218

R36

Meses

18

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 17

R35

uni Da D

7

C

=$370 000

i=

0.18

= 0.015

12

n m

=36 =17

Se sust it uyen los datos en la fórmula:

C =R

1 − (1 + i )− n (1 + i) − m i

370 000

370 000

370 000

1

R

1

R

0.414910265

=

=

370 000= 370 000=

R=

−(1 + 0. 015) −

=R

36

(1

+0 .015 )−

17

0 .015

− (0. 585089735 )

(0 .77638526 )

0 .015

( 0. 77638526)

0. 015

R R

(27.6606843)(0.77638526) (21.4753476)

370 000

= 17

229 .06

21 .4753476

Lo que signif ica que se pueden realizar retiros de $17 229.06. .

2. Ana Patricia González contrajo una deuda con valor actual de $742 000, la cual se comprometió a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un año después de adquirida la deuda. Si la tasa de interés pactada es de 13.8% anual convertible bimestralmente, ¿cuánto pagaría A na Patricia cada bimestre?

Solución

Se tra za el diagra ma de tiempo y se ident ifica n los datos (f igura 7.7):

219

matemáticas Fina ncier as

Valor actual

Anualidad vencida

R2

R1

0

1

4

5

R3

R4

n = 24

Figura 7.7.

C

=$742 000 0.138

= 0 .023

6

n m

=24 =5

Se sust it uyen los datos en la fórmula:

C= R

1

− (1 +

742 000

742 000

742 000

i

)

−n (1

+ i )− m

− (1 + 0. 023) −

=R

1

R

1

R

0. 420591595

=

=

742 000 = 742 000 =

R=

i

R R

24

(1

+ 0 .023 )−

5

0 .023

− (0. 579408405 )

(0 .892527962 )

0 .023

(0. 892527962 )

0. 023 (18.28659109)(0.892527962) (16.32129388)

742 000

= 45 462 .08

16.32129388

Los pagos deben ser de $45 462.08 cada uno.

220

R

Bimestres

6

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m=5

i=

R

uni Da D

7

Ejercicio 2 1. Ricardo Pereira solicita un crédito para comprar una casa con valor de $1 536 000. Si acuerda liquidarlo con pagos mensua les dura nte 15 años, y el ba nco le permite iniciar sus pagos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 21% anual convert ible mensual, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual?

2. Lupita decide comprar un equipo de cómputo con valor de $28 750. La tienda ofrece una promoción que consiste en realizar 18 pagos mensuales, inicia ndo los pagos 3 meses después de rea lizada la compra. ¿Cuál es el i mporte de cada pago si la tienda aplica una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensua lmente?

3. Una persona que se va a jubilar dent ro de 6 años actua lmente t iene depositados $250 000 en una cuenta bancaria que le paga 15% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuánto podrá retirar semestralmente durante los 15 años siguientes a su jubilación?

4. A l realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantación de café, se estima que ésta tardará 4 años en producir, manteniendo dicha producción durante 20 años. Si el dueño de la plantación considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone...